1、 平面直角坐标系知识结构图：一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对。记作（a ，b）（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；1、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（ ）一一对应；其ba,中， 为横坐标， 为 纵坐标坐标；ab2、 轴上的点，纵坐标等于 0； 轴上的点，横坐标等于 0；坐标轴上的点不属于任何象xy限（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：1、点 P（ ）所在的象限 横、纵坐标 、 的取值的正负性； yx, xy2、点 P（ ）所在的数轴 横、纵坐标 、 中必有一数为零；（四）在平面直
2、角坐标系中，已知点 P ，则),(ba1、点 P 到 轴的距离为 ； xb2、点 P 到 轴的距离为 ；y3、点 P 到原点 O 的距离为 PO 2ba（五）平行直线上的点的坐标特征：1、在与 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；x点 A、B 的纵坐标都等于 ； m2、 2、在与 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；y点 C、D 的横坐标都等于 ；n（六）对称点的坐标特征：1、点 P 关于 轴的对称点为 ， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；),(nmx),(1nmP象限 横坐标 x纵坐标 y第一象限 正 正第二象限 负 正第三象限 负 负第四象限 正 负P（ ）ba,xOXYA BmBXYC
3、Dn2、点 P 关于 轴的对称点为 ， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；),(nmy),(2nmP3、点 P 关于原点的对称点为 ，即横、纵坐标都互为相反数；3关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1、若点 P（ ）在第一、三象限的角平分线上，则 ，即横、纵坐标相等；nm, nm2、若点 P（ ）在第二、四象限的角平分线上，则 ，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方
4、向；2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。（九）用坐标表示平移：见下图XyP1nO XyP2mO XyP3mnOXyPmnOyP mnO XP（x，y）P（x，ya）P（xa，y）P（xa，y）P（x，ya）向上平移 a 个单位长度向下平移 a 个单位长度向右平移 a 个单位长度向左平移 a 个单位长度二、题型分析：题型一： 代数式与点坐标象限判定此类问题通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由字母的取值范围确定点所在的象限【例 1】在平面直角坐标系中，点 在（ ）32，第一象限 第二
5、象限 第三象限 第四象限【解析】由各象限点的特征知，点 在第四象限，故选 D，【点评】解答这类问题所需的知识点是第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+） 、 （-，+） 、 （-，-） 、 （-，+） 【例 2】若点 （ ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点 一定在（ ）P12m PA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】由题意知 ，解得 于是点 P 的坐标为（1，-1） ，于是点 P 在0.m第二象限选 B【点评】本题设置了一个小小的障碍，即先根据横坐标与纵坐标互为相反数列出方程解出m，然后才能根据会标特点确定象限【例 3】若点 P（a，b）在第四象限，则点 M（b-
6、a， a-b）在 （ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 答案：B分析：第四象限横坐标大于0，纵坐标小于0.【例 4】如果 ab0,且 ab0,那么点(a，b)在 ( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限.答案：B 【例 5】对任意实数 x，点 P（x，x 22x）一定不在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案：C【例 7】点 P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2 ，则 P 点的坐标是 。答案：（3，-2）【例 8】若点 M (1 x，x + 2 ) 在第二象限内，则 x 的取值范围为 ；答案：x2习题演练：1、在平面直
7、角坐标系中，点 P（ ）一定在 象限。4,2m2、点 P（x1 ，x 1）不可能在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限3、如果点 M（ a b， ab）在第二象限，那么点 N（ a， b）在第_象限。4、点 Q (3 a，5 a )在第二象限，则= ；a 2 - 4a + 4 + a 2 - 10a + 255、点 M（a，a-1）不可能在 （ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 6、如果 xy0，那么点 P（x，y）在 （ ）A、 第二象限 B、第四象限 C、第四象限或第二象限 D、第一象限或第三象限 题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标例 1：在
8、平面直角坐标系中，已知点 P（ ）在 轴上，则 P 点坐标为 2,5mx答案： （7，0）例 2：已知:A(1,2),B(x,y),ABx 轴,且 B 到 y 轴距离为 2,则点 B 的坐标是 . 答案：（-2，2）或（2，2）习题演练：1、已知点 A（m，-2） ，点 B（3，m-1） ，且直线 ABx 轴，则 m 的值为 。2、已知线段 AB=3，AB 轴，若点 A 的坐标为（ ，2 ） ，则 B 点的坐标为 x1；3、已知点 P（x 2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则 x= .题型三：求对称点的坐标解答此类问题所需知识点是：点（a,b）关于 x 轴的对称点是(a,-b)，关于 y
9、轴的对称点是(-a,b)，关于原点的对称点是（-a,-b） 【例 1】在如图 1 所示的方格纸中，每个小正方形的边长为 1，如果以 所在的直线为MN轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使 点与 点关于原点对称，y AB则这时 点的坐标可能是（ ）C (13)，(21)， 23【解析】根据题意， 点与 点关于原点对称，MN 所在直线为 y 轴，于是可确定原点为图AB中 O 点位置，即 x 轴为过 O 点的一条横线，于是 C 点的坐标为（2，-1） ，即选 B图 1【点评】本题逆向考查了两点关于原点对称问题，求 C 点坐标的关键是确定直角坐标系的原点所在例 1：点 M（2，3）关于
10、轴的对称点 N 的坐标为 ； 关于 轴的对称点 Px y的坐标为 ；关于原点的对称点 Q 的坐标为 。答案：（2，3） ； （-2，-3） ； （3，-2）例 2 已知点 A（a，5） ，B（8，b）根据下列要求，确定 a，b 的值（1）A，B 两点关于 y 轴对称；（2）A，B 两点关于原点对称；（3）ABx 轴；（4）A，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上【分析】 （1）两点关于 y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同；（2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数；（3）两点连线平行于 x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同） ；（4）当两点位于一，三象限两坐
11、标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同【解答】 （1）当点 A（a，5） ，B（8，b）关于 y 轴对称时有：ABxyb（2）当点 A（a，5） ，B（8，b）关于原点对称时有 85ABxayb（3）当 ABx 轴时，有 85ABxayb（4）当 A，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：xA=yB 且 xA=yB 即 a=5，b=8【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键习题演练：1、点 P( ， )关于 轴的对称点的坐标是 ，关于 轴的对称点的坐标2x y是 ，关于原点的对称点的坐标是 ；2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于 y 轴对称的点是（ ）A
12、、 （3，2） （3，2） B、 （0，3） （0，3） C、 （3，0） （3，0） D、 （3，2） （3，2）题型四：根据坐标对称求代数式的值例 1：已知点 P 和点 A 关于 轴对称，那么 = ；(2,)a),1(bxba答案：23习题演练：1、已知点 A（2a+3b， 2）和点 B（8，3a+2b）关于 x 轴对称，那么 a+b=（ ）A、2 B、2 C、0 D、4答案：A2、已知：点 P 的坐标是( , )，且点 P 关于 轴对称的点的坐标是( , )，则m13n2；_,nm答案：-3 ； 2题型五：根据到坐标轴的距离求坐标例 1：过点 A（2，-3）且垂直于 y 轴的直线交 y
13、轴于点 B，则点 B 坐标为 （ ） A、 （0，2） B、 （2，0） C、 （0，-3） D、 （-3，0）答案：C例 2：已知点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则 M 点的坐标为（ ） A、 （3，2） B、 （-3，-2） C、 （3，-2） D、 （2，3） ， （2，-3） ， （-2，3） ， （-2，-3）答案：D例 3：若点 P（ ， ）到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，则这样的点 P 有 （ abxy）、个 、个 、个 、个答案：D习题演练：1、点 P 位于 x 轴下方，y 轴左侧，距离 x 轴 4 个单位长度，距离 y 轴 2 个单位长度，那么点
14、P 的坐标是 （ ）A、 （4，2） B、 （2，4） C、 （4，2） D、 （2，4）答案：B2、点 E（a,b）到 x 轴的距离是 4，到 y 轴距离是 3，则有 （ ）A、a=3, b=4 B、a=3,b=4 C、a=4, b=3 D、a=4,b=3 答案：D3、已知点 P 的坐标为（2 a，3a + 6） ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 坐标是 ( )A、 （3，3) B、(3，3) C、(6，一 6) D、(3，3)或(6，一 6)答案：D题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标例 1：在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为（0，0） ， （0，-5） ， （-
15、2，-2） ，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_象限答案：一习题演练：1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（1,1） 、 （1，2） 、 （3,1） ，则第四个顶点的坐标为（ ） A、 （2，2） B、 （3，2） C、 （3，3） D、 （2，3）答案：B题型七：根据点的坐标求图形的面积例 1：已知点 A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3） 。 （1）求 A、B 两点之间的距离。 （2）求点C 到 X 轴的距离。 （3）求ABC 的面积。答案：（1）6 ； （2）3 ； （3）9习题演练：1、在坐标系中，已知 A（2，0） ，B（3，4） ，C （0，0
16、） ，则ABC 的面积为（ ）A、4 B、6 C、8 D、3答案：A技巧：割补法求面积题型八： 求平移后的坐标例 1：已知三角形的三个顶点坐标分别是（1，4） 、 （1，1） 、 （4，1） ，现将这三个点先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）A、 （2，2） ， （3，4） ， （1，7） B、 （2，2） ， （4，3） ， （1，7）C、 （2，2） ， （3，4） ， （1，7） D、 （2，2） ， （3，3） ， （1，7）答案：A例 2：线段 CD 是由线段 AB 平移得到的.点 A（1，4）的对应点为 C（4，7） ，则点 B（
17、4， 1）的对应点 D 的坐标为（ ） A、 （2，9） B、 （5，3） C、 （1，2） D、 （ 9， 4）答案：C习题演练：1、已知点 ，将它先向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位后得到点 ，32M，则点 的坐标是 答案：（-1,1）题型九：图形变换后点的坐标【例 4】将点 沿 轴的正方向平移 个单位得到点 的坐标是（ ）(2)P， x4P (6)， 6， (2)， (2)，【解析】将点 P 沿 轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于x是点 的坐标为（2，2） ，即选 C【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿 x 轴正方向平移时，纵坐标的不
18、变性就很直观了【例 5】如图 2，将 绕点 逆时针旋转 ，AOB 90得到 若点 的坐标为 ，AB ()ab则点 的坐标为 【解析】从图形上可以看出，逆时针旋转 后，得到的 所在位置也很特殊，90AOB即 B恰好落在 y 轴上，于是点 的纵坐标为 a,横坐标应该为-b;故点 的坐标为（-Ab,a） 【点评】本题分析出得到的 所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容OB易粗心致错，即认为点 的横坐标应该为 b，忽视逆时针旋转后点 A所在象限变化到第二象限了例 1：如图 4 所示，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2006 次，点 P依次落在点 P1，P 2，P 3，P
19、 4，P 2006 的位置，则 P2006 的横坐标 x2006=_答案：2006 图 2yABAab， x图1 图2例 2：已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图 8 所示，将ABC 向右平移 6 个单位，则平移后 A 的坐标是（ ）A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1）答案：B题型十：寻点构造等腰三角形例 1：在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，已知 A 点的坐标为（1，1） ，请你在坐标轴上找出点 B，使AOB 为等腰三角形，则符合条件的点 B 共有（ ）A6 个 B7 个 C8 个 D9 个答案：C题型十一、平面直角坐标系下的作图问题【例 8】如图 6，网络中每个小正方形的边长为 1，点 的坐标为 C(01)，（1）画出直角坐标系（要求标出 轴， 轴和原点）并写出点 的坐标；xyA（2）以 为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创ABC意 图 6
