1、1平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。1、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。结论 1： 是 三 角 形 的 重 心所 在 平 面 内 一 点 ， 则为若 GGCBAABC 0的 重 心为故 上在 中 线同 理 可 得 上在 中 线这 表 明 ， ， 则中 点 为证 明 ： 设 ABCGFEDGCBACBA,202结论
2、2：2的 重 心是证 明 ： 的 重 心是 所 在 平 面 内 一 点 ， 则为若 ABCG PCGBPAGPCPABC 0 0)()()()(31 )(31二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论 3： 的 垂 心是 所 在 平 面 内 一 点 ， 则为若 ABCH HACHBA为 三 角 形 垂 心故同 理 ， 有证 明 ：HABHCAC ,0 0)(结论 4：3可 知 命 题 成 立由 结 论同 理 可 证 得 ， 得 ，证 明 ： 由 的 垂 心是 所 在 平 面 内 一 点 ， 则为若 3 )()(H 22222222 222222HACHBAC
3、B HACBCBA AHAB 三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。结论 5： 命 题 成 立证 明 ： 由 外 心 定 义 可 知 的 外 心是所 在 平 面 内 一 点 ， 则是若 ABCOCBOA结论 6： 的 外 心是（ 所 在 平 面 内 一 点 ， 则是若 ABCOACOCBO )()()4的 外 心为故故证 明 ： ABCOOACOACAOCBB OBABO222222 22 22)( )()(四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。结论 7： 的 内 心是
4、 所 在 平 面 内 一 点 ， 则为若 ABCP CBAOBCAOBOABP )0(321 5的 内 心为故 的 平 分 线 上在同 理 可 得 ，平 分 线 上在即 边 夹 角 平 分 线 上在由 平 行 四 边 形 法 则 知 ， 为方 向 上 的 单 位 向 量 分 别，证 明 ： 记ABCPACBeePACBOAP, ,)( )(,21 211 21结论 8： 的 内 心是 所 在 平 面 内 一 点 ， 则是若 ABCP PCcBbPAa0的 内 心是故 是 平 分 线同 理 可 得 其 他 的 两 条 也 的 平 分 线是由 角 平 分 线 定 理 ，即 不 共 线 ， 则与由 于证 明 ： 不 妨 设ABCPACBDabDBABbAcPCDaba PCcDBPbAPc0,0)()( 0)(0
