1、平面向量题型归纳一向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1向量的概念：既有大小又有方向的量，记作： 或 。注意向量和数量的区别。向量ABa常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。例：已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度） ，记作： 或 。|AB|a3零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；04单位向量：单位向量：长度为 1 的向量。若 是单位向量，则 。(与 共线的单e|1eAB位向量是 )；|AB5相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫
2、相等向量，相等向量有传递性；6平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作：ab ， 规定零向量和任何向量平行。ab提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 A、如图，在平行四边形 中，下列结论中正确的是 （ ）DA. B. BDC. D.ABCAC07相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是a 、 。例：下列命题：（1）若 ，则 。 （2）若 ，则a b,
3、abc。 （6）若 ，则 。 （3）若 ，则 是平行四边形。 （4）若c/,bc/aBDAC是平行四边形，则 。其中正确的是_ABCDABDC题型 1、基本概念1：给出下列命题：若| | |，则 = ； 向量可以比较大小；方向不相同的两个向量一定不平行；ab若 = ， = ，则 = ；若 / ， / ，则cabc/ ； ； ；c00其中正确的序号是 。2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 。ABCD（5）若 ，则 A、B、C、D 四点
4、构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若 与 共线， 与 共线，则 与 共线。abcac（8）若 ，则 。 （9）若 ，则 。mabman（10）若 与 不共线，则 与 都不是零向量。（11）若 ，则 。 （12）若 ，则 。|ab/ab|abab二、向量加减运算8.三角形法则：； ； （指向被减数）ABCABCDEABC9.平行四边形法则： 以 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 ， 。,ab ab题型 2.向量的加减运算1、化简 。()()ABMOBC2、已知 , ,则 的最大值和最小值分别为 、 。|5|3|A3、在平行四边形 中，若 ，则必有 ( ) BC
5、DBADA. B. C. 是矩形 D. 是正方形0A0A或CABCD题型 3.向量的数乘运算1、计算：（1） （2）3()2()ab2(5acc题型 4.作图法求向量的和1、已知向量 ，如下图，请做出向量 和 。,ab132ab3b题型 5.根据图形由已知向量求未知向量1、已知在 中， 是 的中点，请用向量 表示 。ABCDABC， D2、在平行四边形 中，已知 ，求 。ABCD,aBDbA和题型 6.向量的坐标运算1、已知 ，则 。(,4)(3,8)ab12ab练习：若物体受三个力 , , ,则合力的坐标为 。1F(3)(14)F2、已知 ， ，则点 的坐标是 。(3,5)PQ(,7)PQ3
6、、.已知 ， ，求 ， ， 。,4a,2bab32ab2、已知 ,向量 与 相等，求 的值。(1,)32AB(2,3)axyAB,xy5、已知 是坐标原点， ，且 ，求 的坐标。O(2,1)(4,8)AB30ABCO3平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。12基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型 7.判断两个向量能否作为一组基底1、已知 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12,eA. B. C. D.1212和 12136ee和 41213e和 21e和练
7、习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）(A) (B) )2,1(),0(1e)7,5(),21(C) (D) ,6,5321 43,21e2、.已知 ，能与 构成基底的是（ ）(,4)aaA. B. C. D.3(,53,54(,)54(1,)33、知向量 e1、 e2 不共线，实数(3x-4y)e 1(2x-3 y)e2 =6e1+3e2 ,则 xy 的值等于 4、设 是两个不共线的向量， ，若21, 212121, eCDBkAA、B、D 三点共线，求 k 的值.5、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C(x, y)满足= + ，其中 ,R
8、且 +=1，则 x, y 所满足的关系式为 （ ）CABA3x+2y-11=0 B( x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0四平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ，ab,OAaBbAO称为向量 ， 的夹角，当 0 时， ， 同向，当 时， ， 反向，0ab当 时， ， 垂直。2ab实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：aa当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0 时， 的方向与1, a的方向相反，当 0 时， ，注意： 0。a0例 1、已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用,ADBEACB,ADa
9、BEbC向量 表示为_,ab例 2、已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 2 srC的值是 sr2平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量ab叫做 与 的数量积（或内积或点积） ，记作： ，即|coababab 。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不s再是一个向量。3向量的运算律：1交换律： ， ， ；abaab2结合律： ，,ccc；3分配律： ， 。,aababcbc题型 8：有关向量数量积的判断1：判断下列各命题正确与否：（1） ；（2）若 ，则 当且仅当 时成立；)()(cbacabc0a（3） ；（4） 对任意 向量都成立； ()
10、(),bc（5）若 ，则 ；（6）对任意向量 ，有 。0,abca2(7)m（ ）= m +m 其中正确的序号是 。2、下列命题中： ； ； cabca)( cbac)(； 若 ，则 或 ；若()ab2|2|0 0则 ； ； ； ；,ca2a2()ba。其中正确的是_22()b题型 9、求单位向量 【与 平行的单位向量： 】|ea1.与 平行的单位向量是 。2.与 平行的单位向量是 (12,5)a 1(,)2m题型 10、数量积与夹角公式： ； |cosabs|ab向量的模：若 ，则 ， ，(,)axy2|xy2|a2|()1、ABC 中， ， ， ，则 _3| AB4| C5| BBCA2、
11、已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于_1(,)(0,),2abcakbdcd4k3、已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ， （2） ，|,|460ab()ab（3） ， （4） 。1()2ab()(3)ab4、已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为_,abab与ab5、已知 ，求 与 的夹角。(3,1)(23,)abab6、已知 ， ， ，求 。(1,0)A(,)B(2,5)CcosBAC7、已知非零向量 满足 ，则 的夹角为 ba, ）（， ab2b与8：已知 中 , ,则 与 的夹角为 ABC50BCAC9：已知向量 与向量 的夹角为 120，若向量 = + ，且 ，则 的值为 abca
12、bcab10： 已知| |1| |2，| |2，则 与 2 - 的夹角余弦值为 a11：已知向量 = ， =2， 和 的夹角为 ，当向量 + 与 +b135ab的夹角为锐角时，求 的取值范围。b题型 11、求向量的模的问题 如向量的模：若 ，则 ， ，(,)axy2|axy2|a2|()ab1、已知零向量 baba， 则），（ 25,10.,2、已知向量 满足 ,， 则,3、已知向量 ， a)3,1(bab， 则)0,2(4、已知向量 的最大值为 则,cos,sin,5、设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， （ ）则 MCBABC,162(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 6、 设向量 ， 满足 及 ，求 的值ab13baba5练习：已知向量 满足 求ba, ，3.,52baba和7、 设向量 ， 满足 的 值 为则2),(,18、已知向量 、 满足 ， ，则| |的最大值是 最小值是 。ab4|bab题型 12、结合三角函数求向量坐标1. 已知 是坐标原点，点 在第二象限， ， ，求 的坐标。OA|2OA150xOA2.已知 是原点，点 在第一象限， ， ，求 的坐标。OA|43OA60xAO
