1、1线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理： 线 段垂直平分 线 上的点到 这 条 线 段两个端点的距离相等 . 定理的数学表示：如图 1，已知直线 m 与线段 AB 垂直相交于点D，且 ADBD，若点 C 在直线 m 上，则 ACBC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记 ：2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条 线 段两个端点距离相等的点在 这 条 线 段的垂直平分 线 上 . 定理的数学表示：如图 2，已知直线 m 与线段 AB 垂直相交于点 D，且ADBD，若 ACBC
2、，则点 C 在直线 m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.课堂笔记 ：3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三 边 的垂直平分 线 相交于一点，并且 这 一点到三个 顶 点的距离相等 .定理的数学表示：如图 3，若直线 分别是ABC 三边 AB、BC、CA,ijk的垂直平分线，则直线 相交于一点 O，且 OAOBOC.,ijk定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若
3、三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.m图 1DA BCm图 2DA BCji k图 3OB CA2经典例题：例 1 如图 1，在ABC 中，BC8cm，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，BCE 的周长等于 18cm，则 AC 的长等于（ ）A6cm B8cm C10cm D12cm课堂笔记 ：针对性练习：已知：1) 如图，AB=AC=14cm,AB
4、的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果EBC 的周长是 24cm，那么 BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果BC=8cm，那么EBC 的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果A=28 度，那么 EBC 是 例 2. 已知： AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一点，求证：BE=CE 。课堂笔记 ：针对性练习：已知：在ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线,OA=OC求证：点 O 在 BC 的垂直平分线例 3. 在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直
5、平分线与边 AC 所在的直线相交所成锐角为 50，ABC 的底角B 的大小为_ 。课堂笔记 ：针对性练习：1. 在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40，则底角 B 的大A E B C D B CD EBBBACONBA3小为_。例 4、如图 8，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的高，且C2B，求证：BDACCD.证明：在 BD上取一点 E，使 DEDC ，连接 AE，则 AEAC ，课堂笔记 ：课堂练习：1.如图， AC=AD， BC=BD，则（ ）A.CD 垂直平分 AD B.AB 垂直平分 CD C.CD 平分 ACB D.以上结论均不对2
6、.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点 P 在线段 AB 外且 PA=PB，过 P 作直线MN，则 MN 是线段 AB 的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4. ABC 中， AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5 cm， BC=4cm，那么 DBC 的周长是（ ）A.6 cm B.7
7、cm C.8 cm D.9 cm5.已知如图，在 ABC 中， AB=AC， O 是 ABC 内一点，且 OB=OC，求证： AO BC.6.如图，在 ABC 中， AB=AC， A=120， AB 的垂直平分线MN 分别交 BC、 AB 于点 M、 N. 求证：CM=2BM . 课后作业：1. 如图 7，在ABC 中，AC23，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点E，ACE 的周长为 50，求 BC 边的长.图 8B CDA图 7EDACB42. 已知：如图所示，ACB，ADB 都是直角，且 AC=AD，P 是 AB 上任意一点，求证：CP=DP。线段的垂直平分线与角平分线（
8、2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分 线 上的点到 这 个角的两 边 的距离相等 . 定理的数学表示：如图 4，已知 OE 是AOB 的平分线，F 是 OE 上一点，若 CFOA 于点 C，DFOB 于点 D，则 CFDF. 定理的作用：证明两条线 段相等； 用于几何作图问题 ；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记 ：5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理： 在角的内部，且到角的两 边 距离相等的点在 这 个角的角平分 线 上 . 定理的数学表示：如图 5，已知点 P 在AOB 的内部，且 PCOA 于C，PDOB 于 D
9、，若 PCPD，则点 P 在AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.课堂笔记 ：6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分 线 相交于一点，并且 这 一点到三 边 的距离相等 .定理的数学表示：如图 6，如果 AP、BQ、CR 分别是ABC 的内角BAC、ABC、ACB 的平分线，那么： AP、BQ、CR 相交于一点 I； 若 ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB 于点 D、E、F，则 DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的 线段相等； 用
10、于 实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.图 4 CDO ABF E图 5 CDO ABP图 6EFDIPR QB CAC A B D P5APBFEC7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记 ：经典例题：例 1、 已知：如图，点 B、C 在A 的两边上，且 AB=AC，P 为A 内一点，PB=PC， PEAB，PFAC，垂足分别是 E、F。求证：PE=PF课堂笔记 ：针对性练
11、习：已知： PA、 PC 分别是ABC 外角MAC 和NCA 平分线，它们交于 P，PDBM 于 D，PFBN于 F，求证：BP 为MBN 的平分线。例 2、如图 10，已知在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，E 为 BC 中点，连接 AE、DE，DE 平分ADC，求证：AE 平分BAD.课堂笔记 ：针对性练习：如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE=DF。例 3、如图 11-1，已知在四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，且BAD 与BCD 互补，求证：ADCD.图 10F CDBAEB M D A P B C F N BB D
12、A C F 6课堂练习：1. ABC 中，AB=AC，AC 的中垂线交 AB 于 E，EBC 的周长为 20cm，AB=2BC，则腰长为_。2. 如图所示，AB/CD，O 为A、C 的平分线的交点，OE AC 于 E，且 OE=2，则AB 与 CD 之间的距离等于_。 A B O E C D 已知：如图，B= C=90 0，DM 平分ADC， AM 平分DAB 。求证： M B=MC课后作业：1.如右图，已知 BE AC 于 E， CF AB 于 F， BE、 CF 相交于点 D，若 BD=CD.求证： AD 平分 BAC.2. 如图所示，直线 表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路ll123， ，的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处EMCBDA7l3 l1 l2
