1、基本不等式基础梳理1基本不等式： (1)基本不等式成立的条件： a0， b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号aba b22几个重要的不等式(1)a2 b22 ab(a， bR)；(2) 2( a， b 同号)；(3) ab 2(a， bR)；(4) 2(a， bR)ba ab (a b2 ) a2 b22 (a b2 )3算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a， b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数a b2 ab4利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时
2、， x y 有最小值是 2 .(简记：积定和最小)p(2)如果和 x y 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， xy 有最大值是 .(简记：和定积最大)p24一个技巧用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2 b22 ab 逆用就是 ab ； (a， b0)逆用就是a2 b22 a b2 abab 2(a， b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等(a b2 )两个变形(1) 2 ab(a， bR，当且仅当 a b 时取等号)；a2 b22 (a b2 )(2) (a0， b0，当且仅当 a b 时取等号)a2 b22 a b2 ab 21a 1b这两个不
3、等式链用处很大，注意掌握它们三个注意(1)用基本不等式求最值，失误的原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致双基自测1(人教 A 版教材习题改编)函数 y x (x0)的值域为 A(，22，) B(0，)C2，) D(2，)1x解析 x0， y x 2，当且仅当 x1 时取等号答案 C1x2下列不等式： a212 a； 2； x2 1，其中正确的个数是( )A0 B
4、1 C2 D3a bab 1x2 1解析 不正确，正确， x2 ( x21) 1211. 答案 B1x2 1 1x2 13若 a0， b0，且 a2 b20，则 ab 的最大值为( )A. B1 C2 D412解析 a0， b0， a2 b2， a2 b22 ，即 ab . 答案 A2ab124(2011重庆)若函数 f(x) x (x2)在 x a 处取最小值，则 a( ) A1 B1 C3 D41x 2 2 3解析 当 x2 时， x20， f(x)( x2) 22 24，当且仅当 x2 (x2)，即 x3 时取等1x 2 x 21x 2 1x 2号，即当 f(x)取得最小值时， x3，即
5、 a3. 答案 C5已知 t0，则函数 y 的最小值为_t2 4t 1t解析 t0， y t 4242，当且仅当 t1 时取等号 答案 2 t2 4t 1t 1t考向一 利用基本不等式求最值【例 1】(1)已知 x0， y0，且 2x y1，则 的最小值为_；(2)当 x0 时，则 f(x) 的最大值为_1x 1y 2xx2 1审第(1)问把 中的“1”代换为“2 x y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“ x”，再利用基本不等1x 1y式解析 (1) x0， y0，且 2x y1， 3 32 .当且仅当 时，取等号1x 1y 2x yx 2x yy yx 2xy 2
6、yx 2xy(2) x0， f(x) 1，当且仅当 x ，即 x1 时取等号答案 (1)32 (2)12xx2 1 2x 1x 22 1x 2方: 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为：拆、凑、代换、平方【训练 1】 (1)已知 x1，则 f(x) x 的最小值为_(2)已知 0 x ，则 y2 x5 x2的最大值为_1x 1 25(3)若 x， y(0，)且 2x8 y xy0，则 x y 的最小值为_解析 (1) x1， f(x)( x1) 1213 当且仅当 x2 时取等号1x 1(2)y2 x5 x2 x(25 x) 5x(25 x
7、)，0 x ，5 x2,25 x0，5 x(25 x) 21，15 25 (5x 2 5x2 ) y ，当且仅当 5x25 x，即 x 时， ymax . 答案 (1)3 (2) (3)1815 15 15 15(3)由 2x8 y xy0，得 2x8 y xy， 1，2y 8x x y( x y) 10 102 1022 18，(8x 2y) 8yx 2xy (4yx xy) 4yxxy当且仅当 ，即 x2 y 时取等号，又 2x8 y xy0， x12， y6，当 x12， y6 时， x y 取最小值 18.4yx xy考向二 利用基本不等式证明不等式【例 2】已知 a0， b0， c0
8、，求证： a b c.bca cab abc审题视点 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到证明 a0， b0， c0， 2 2 c； 2 2 b； 2 2 a.bca cab bcacab bca abc bcaabc cab abc cababc以上三式相加得：2 2( a b c)，即 a b c.(bca cab abc) bca cab abc方法总结:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题【训练 2】 已知 a0， b0， c0，且 a b c1.求
9、证： 9.1a 1b 1c证明 a0， b0， c0，且 a b c1， 3 1a 1b 1c a b ca a b cb a b cc ba ca ab cb ac bc3 32229， 当且仅当 a b c 时，取等号(ba ab) (ca ac) (cb bc) 13考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例 3】(2010山东)若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是_xx2 3x 1审题视点 先求 (x0)的最大值，要使得 a(x0)恒成立，只要 (x0)的最大值小于等于 a 即可xx2 3x 1 xx2 3x 1 xx2 3x 1解析 若对任意 x0， a 恒成立，只需求得
10、 y 的最大值即可，因为 x0，所以 y xx2 3x 1 xx2 3x 1 xx2 3x 1 1x 1x 3 ，当且仅当 x1 时取等号，所以 a 的取值范围是 答案 12 x1x 15 15， ) 15， )当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解【训练 3】 (2011宿州模拟)已知 x0， y0， xy x2 y，若 xy m2 恒成立，则实数 m 的最大值是_解析 由 x0， y0， xy x2 y2 ，得 xy8，于是由 m2 xy 恒成立，得 m28， m10，故 m 的最大值为 10.答案 102xy考
11、向三 利用基本不等式解实际问题【例 3】某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 5 m房屋正面的造价为 400 元/m 2，房屋侧面的造价为 150 元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？审题视点 用长度 x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域 0 x5；函数取最小值时的 x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性解 由题意可得，造价 y3(2 x150 400)5 800900 5 80
12、0(0 x5)，12x (x 16x)则 y900 5 8009002 5 80013 000(元)，且当 x ，即 x4 时取等号当侧面的长为 4 米，总造价最(x16x) x16x 16x低解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【训练 3】 东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件，每件水晶产品的销售价格为 100 元，固定成本为 80 元从今年起，工厂投入100 万元科技成本并计划以后每年
13、比上一年多投入 100 万元科技成本预计产量每年递增 1 万件，每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n 的关系是 g(n) .若水晶产品的销售价格不变，第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元80n 1(1)求出 f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解 (1)第 n 次投入后，产量为(10 n)万件，销售价格为 100 元，固定成本为 元，科技成本投入为 100n 万元80n 1所以，年利润为 f(n)(10 n) 100 n(nN *)(100 80n 1)(2)由(1)知 f(n)(10 n) 100 n1 00080 520(万元)当
14、且仅当 ，(100 80n 1) (n 1 9n 1) n 1 9n 1即 n8 时，利润最高，最高利润为 520 万元所以，从今年算起第 8 年利润最高，最高利润为 520 万元 忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.【示例】已知 a0， b0，且 a b1，求 的最小值1a 2b错因 两次基本不等式
15、成立的条件不一致 a0， b0，且 a b1， ab 2 .又 2 ，而 ab ， 4， 2 4 ，故 的最小值为 4 .(a b2 ) 14 1a 2b 2ab 14 1ab 1a 2b 8 2 1a 2b 2正解 a0， b0，且 a b1， (a b)12 32 32 .1a 2b (1a 2b) ba 2ab ba2ab 2当且仅当Error!即Error! 时， 的最小值为 32 .1a 2b 2【试一试】 (2010四川)设 a b0，则 a2 的最小值是( )A1 B2 C3 D41ab 1aa ba2 a2 ab ab a(a b) ab 2 2 1ab 1aa b 1ab 1
16、aa b 1aa b 1ab aa b 1aa b ab1ab224.当且仅当 a(a b) 且 ab ， 即 a2 b 时，等号成立 答案 D1aa b 1ab18.已知二次函数2,()fxcR满足：对任意实数 x,都有 ()fx，且当 （1，3）时，有21()8fx成立. （1）求 ()f; （2）若 )0ffx的表达式; （3）设mg,，若 ()g图上的点都位于直线14y的上方，求实数 m 的取值范围.解：（1）由条件知 24baf恒成立又取 x=2 时， 81)(c与恒成立 2)(f （2） 042cba ,24ba ac41,2又 xf)(恒成立，即 0)1(2cx恒成立0)()(,02a， 解出：,1,8c 2182f（3）),4)2()(2 xxmxg在必须恒成立即 ),0142 在恒成立0)，则 t1，所以 m 对任意 t1 成立t 1t2 t 1 1t 1 1t 1 1因为 t1 12 13, 所以 ，1t 1 （ t 1） 1t 1 1t 1 1t 1 1 13当且仅当 t2, 即 x ln 2 时等号成立因此实数 m 的取值范围是 .( ， 13
