1、指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念1、如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根当 是奇数时， ,1nxaRxnNxana的 次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负n的 次方根用符号 表示；0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根2、式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 为奇数时， 为任意实数；n a当 为偶数时， a3、根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ()nn 0| na（二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是： 且 0 的正分数指数幂等于(0,mnaN1)n02、正数的负分数指数幂的意义是： 且 0
2、的负 1)(,mnna 1)n分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数3、a 0=1 (a 0) ap 1/ap (a0；pN)4、指数幂的运算性质,rsrsR()(0,)rsrasR()()bbr5、0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念一般地，函数 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R)1a,0(ayx且注意： 指数函数的定义是一个形式定义； 1注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和 1 2三、指数函数的图象和性质函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya)101a图象定义域 R值域 （0,+）过定点 图象
3、过定点（0,1） ，即当 x=0 时，y=1奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R01xy(,)O01xx(,)Oy函数值的变化情况y1(x0),y=1(x=0), 0y1(x0)y1(x0),y=1(x=0),0y1(x0)变化对a图象影响在第一象限内， 越大图象越高，越靠近ay 轴；在第二象限内， 越大图象越低，越靠近x 轴在第一象限内， 越小图象越高，越靠a近 y 轴；在第二象限内， 越小图象越低，越靠近 x 轴注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上， 值域是 或)1a0()fx且 )b(f,a)a(f,（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当01
4、()f R（3）对于指数函数 ，总有且 （4）当 时，若 ，则a21)x(f21四、底 数 的 平 移对 于 任 何 一 个 有 意 义 的 指 数 函 数 ：在 指 数 上 加 上 一 个 数 ， 图 像 会 向 左 平 移 ； 减 去 一 个 数 ， 图 像 会 向 右 平 移 。在 f(X)后 加 上 一 个 数 ， 图 像 会 向 上 平 移 ； 减 去 一 个 数 ， 图 像 会 向 下 平 移 。即 “上 加 下 减 ， 左 加 右 减 ”五 、 幂 的 大 小 比 较常 用 方 法 （ 1） 比 差 （ 商 ） 法 ：（ 2） 函 数 单 调 性 法 ；（ 3） 中 间 值 法
5、： 要 比 较 A 与 B 的 大 小 ， 先 找 一 个 中 间 值 C， 再 比 较 A 与 C、 B 与C 的 大 小 ， 由 不 等 式 的 传 递 性 得 到 A 与 B 之 间 的 大 小 。注 意 ：（ 1） 对 于 底 数 相 同 ， 指 数 不 同 的 两 个 幂 的 大 小 比 较 ， 可 以 利 用 指 数 函 数 的 单 调 性 来判 断 。例 如 ： y1=34,y2=35（ 2） 对 于 底 数 不 同 ， 指 数 相 同 的 两 个 幂 的 大 小 比 较 ， 可 以 利 用 指 数 函 数 图 像 的 变 化 规律 来 判 断 。例 如 ： y1=（ 1/2）
6、4,y2=34,（ 3） 对 于 底 数 不 同 ， 且 指 数 也 不 同 的 幂 的 大 小 比 较 ， 则 可 以 利 用 中 间 值 来 比 较 对 于 三 个 （ 或 三 个 以 上 ） 的 数 的 大 小 比 较 ， 则 应 该 先 根 据 值 的 大 小 （ 特 别 是 与0、 1 的 大 小 ） 进 行 分 组 ， 再 比 较 各 组 数 的 大 小 即 可 。 在 比 较 两 个 幂 的 大 小 时 ， 如 果 能 充 分 利 用 “1”来 搭 “桥 ”（ 即 比 较 它 们 与“1”的 大 小 ） ， 就 可 以 快 速 的 得 到 答 案 。 由 指 数 函 数 的 图
7、像 和 性 质 可 知 “同 大异 小 ”。 即 当 底 数 a 和 1 与 指 数 x 与 0 之 间 的 不 等 号 同 向 时 ， ax 大 于 1， 异 向 时ax 小 于 1.对数函数及其性质一、对数与对数的运算（一）对数1对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作：Nax)1,0(axaN（ 底数， 真数， 对数式）Nxaloglog说明： 注意底数的限制 ，且 ；0 ；axlog注意对数的书写格式 al两个重要对数： 常用对数：以 10 为底的对数 ；Nlg 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 7182.eNln指数式与对数式的互化幂值 真数 N bbalo
8、ga底数指数 对数（二）对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：0a10MN ； ；(log)alogal 2 NMalogalNalog 3 na )(Rnn1 bl balog log a1=0 log a a=1 a log a N=N log a a b=b注意：换底公式（ ，且 ； ，且 ； ） clogl010c10推论(利用换底公式) ； bmnaall abalogl二、对数函数1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数0(lxya)1x的定义域是（0，+） 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ，xy2log都不是对数函
9、数，而只能称其为对数型函数5logxy 对数函数对底数的限制： ，且 0(a)1三、对数函数的图像和性质：函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(ayx)101a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， 11x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)01 xyO(,)log01 xyO(,)la函数值的变化情况log0(1)l()aaxlog0(1)l()aax在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高变化对a图象影响 在第一象限内， 越大，图象越靠近 x 轴在第四象限内， 越大，图象越靠近 y 轴 在第一象限
10、内， 越小，图象越靠近 x 轴在第四象限内， 越小，图象越靠近 y 轴四、对数的平移、大小比较与指数函数类似反函数一、反函数定义设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式()yfxAC()yfx子 如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的()x A值和它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，()yx ()yfx记作 ，习惯上改写成 1f 1()f二、反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 中反解出 ；()yfx1()fy将 改写成 ，并注明反函数的定义域1xf1()f三、反函数的性质原函数 与反函数 的图象关于直线
11、对称()fyfxyx函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域y 1()f若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上,Pab()f,Pba1()f一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数x幂函数及其性质一、幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数yxx二、幂函数的图象 函 数 特 征 性 质 y=x yx2 yx3 yx12 yx1 定 义 域 R R R 0， ） | x0 值 域 0， ） ， ） | y x )， 增 x( )0， 增 单 调 性 增 ( ， 0减 增 增 ( )， 0减 所 过 定 点 （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1）
12、（ 0， 0） （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） 三、幂函数的性质1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；y幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 2、过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 (0,)(1,)3、单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数0如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近(0,)轴与 轴xy4、奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 （其中 互质， 和 ） ，qp,pqZ若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，yx若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，qqp若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数p5、图象特征：幂函数 ，,(0)yx当 时，若 ，其图象在直线 下方，11yx若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下方x练习题
