1、复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章29章节名称：第五章 留数学时安排：6 学时教学要求：理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法；理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学内容：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；2了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。3理解留数的定义；4熟练掌握计算留数的方法；5理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学重点：留数的定义，留数的计算教学难点：用留数理论计算积分教学手段：课堂讲授教学过程：第五章 留数1、孤立奇点1.相关定义定义 1 设点 为函数 的奇点，若 在点 的某个去心邻
2、域a)(zf)(zfa内解析，则称点 为函数 的孤立奇点Raz0定义 2 设点 为函数 的孤立奇点：)(zf若 在点 的罗朗级数的主要部分为零，则称点 为 的可去奇点；)(zf a)(zf若 在点 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为)(fa 0,)()( 11 mmmcazazcz则称点 为 的 级（阶）极点；a)f若 在点 的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点 为 的本(z a)(zf性奇点例：依定义，点 为 的可去奇点，点 为 的二级极点，点0zzsin0z2ez为 的本性奇点1zsin2.函数在孤立奇点的去心邻域内的性质函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理 1 若点 为 的孤立奇点，
3、则下列三个条件是等价的：a)(zf复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章30点 为 的可去奇点；a)(zf ；limcz函数 在点 的某个去心邻域内有界)(f函数在极点的去心邻域内的性质定理 2 若点 为 的孤立奇点，则下列三个条件是等价的a)(zf点 为 的 级极点；)(fm 在点 的某个去心邻域 内可表示为z Raz0mhf)()其中的 在点 的邻域 内解析，且 ；)(zhaaz0(a点 为 的 级零点（可去奇点视作解析点时） )(1fm定理 3 点 为函数 的极点的充分必要条件是a)(zf)(lizfaz函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理 4 点 为函数 的本性奇点的充分必要条件是
4、不存在，即当a)(f )(limzfaz时， 既不趋于有限值，也不趋于 z)(zf定理 5 若点 为 的本性奇点，且 在点 的充分小的邻域内不为零，a)(zf )(zf则点 必为 的本性奇点a)(1zf例 设 ，试求 在复平面上的奇点，并判定其类别1)e5z)(zf解 首先，求 的奇点 的奇点出自方程(f 0e1z的解解方程得 )(Lnz复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章31,21,0,i)12(kk若设 ，则易知 为 的孤立奇点另外，,1,0(i)12(kzk kz)(f因 0)e(,)e( kk zz所以，由零点的定义知 为 的一级零点从而知 均k1 ),21,(为 的一级极点)(z
5、f2、留数1，定义 3 设 为函数 的孤立奇点， 为圆周： ，若)(a)(zfcaz在 上解析，则称)(zf0czf)d(i21为 在点 的留数（或残数） ，记作 或 ，即)(zfa,Resaf)(esczffdi21),(2， 留数计算规则：规则 1 如果 为 的一级极点，那么 .0z)(f )(lim),(Res000zfzfz规则 2 如果 为 的 级极点，那么m.)(li)!1(),(Res 0100 zfzdzf mmz规则 3 设 及 在 解析，如果 ， ，,)(zQPf0)(0P0)(Q，那么 为 的一级极点，而0)(z0f )(),(Res00zQf例 1 设 ，求 )1(25
6、)zf ,f解法 1 由定义复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章3241d)(25i2)0,(Reszzf41izz0)25(z注意：这里的积分路径的半径并非只能取 ，只须使半径小于 1 即可满足41定义的条件解法 2 因点 为 的孤立奇点，所以，在 内有0z)(zf 30:),(*zNz1)(250)(n032nz由此得 ，依（7.2）式得 21c),(Resf解法 3 因点 为 的一级极点，则按规则 10z)zf )(25lim0,(eszfz解法 4 因点 为 的一级极点，则按规则 30z)1(25)zf 0)(0,Reszf23，定义 4 设 为函数 的孤立奇点， 为圆周： ，若
7、在z)(zfc)(zf内解析 ，则称zR(R复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章33czf)d(i21为函数 在点 的留数（或残数） ，记作 或 ，即)(zf),(Resf)(esczffdi21),(Res规则 4 0,)(Reszfzf例 2 设 ，求 ze12),(sf解 取圆周 ，由（7.6）式得:zcczfde1i2),(Res2czi204，定理 6 设区域 是由围线 的内部构成（如图） ，若函数 在 内除含Gc )(zfG有限个奇点 外解析，且在 上除点 外连续，na,21 cGna,21则njjc fzf1),(Resi2)d(5，定理 7 如果函数 在扩充复平面内只有有限
8、个孤立奇点，那么 在所)(zf )(zf有各奇点（包括 点）的留数的总和必等于零。例 3 计算积分 1,d2i1azz解 首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点由 求出被12az a1 c1 a2 c2 a3 c3 an cn G c复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章34积函数的奇点有与 121az 122az因 ，所以， ，又因 ，故 ，即在积分路径内部只有被1a22z1积函数的一个奇点 1z其次，经检验，得 ),12i(Resi2di12 zazzaz )(i2)(lim111 zzz 2a3、留数在定积分计算上的应用1. 形如 的积分20d)sin,(coR通过一定的转化，可得
9、120 )(d)sin,(coRzdf例 计算 dpcos-1202pI2. 形如 的积分xR()d通过一定的转化，可得 nj jzQPxzQPx1),(Resi2d)()d例 4 计算积分 x124解 经验证，此积分可用公式一计算首先，求出 在上半平面的全部奇点令)(24zQP0124z即 22424 )(zz1z复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章35)1)(22zz0于是， 在上半平面的全部奇点只有两个：)(zQP与 i231i231且知道， 与 均为 的一级极点)(zQP其次，算留数，有 )()()(lim),(Res 2zzzzi341)()()(li),(Res 2zzzzQP
10、i341最后，将所得留数代入公式得 ),(Res),(esi2d124 zQPzxx33. 形如 的积分)(,0(d(x)eai xQPRRnj jzkxkP1ii ),e)(si2)(例 5 计算积分 0,de2iax解 经验证，该积分可用公式二计算首先，求出辅助函数 在上半平面的全部奇点2ie)(azf复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章36由 解得 与 为 的奇点，而 ，所以， 在02aziazi)(zf0a)(zf上半平面只有一个奇点 ， 且 为 的一级极点其次，计算留数有 )i(ie)i(lim),e(Rs i2i azazaz ie最后，由公式得 )i,e(Rsi2de2i2i azxaa于是容易得到与 axedcos2 0dsin2x练习：P.185 ，13（6）教学小结：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；2.了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质；3理解留数（也叫残数）的定义；4熟练掌握计算留数的方法；5理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。作业布置：第五章习题（P.183）1（3） ； 8（1，3，5） ；13（1，3，5）预习： 第一章 FOURIER 变换
