1、习题一答案1求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1） （2） 32i(1)2i（3） （4）8ii解：（1） ， 13izi因此： ，2Re, Im1z3argctan, 13z i（2） ，()20iii因此， ，1Re, I0zz131, argrctan, i（3） ，3352iiiz因此， ，Re, Imz4, argctan, 232iz z（4） 82141iii因此， ，e, Iz0argrctan, 3z zi2将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1） （2） （3）i1i(sinco)r（4） （5）(cosin)r(02)解：（1） 2cosin2iie（
2、2） 3i23(si)i（3） (sinco)r()2(sin()irre（4） is)i（5） 21csinicos22inosiiie3求下列各式的值：（1） （2） 5()i1010()()ii（3） （4）(cosini23cos5in)（5） （6） 1i解：（1） 5()i52(cos)in()652cosin36i（2） 1010()()i5050501(2)2()i（3） scoini2()()cosin)3csi(42o()n()cos2in)1(2)12cos()sin(2)11ie（4） 35(i)cos0ncos19in9)i(（5） 3i211cos(2)sin(2)
3、33kk31, 02, , ikik（6） 1i2(cosin)44 1cs()i(2)kk48, 01iiek4设 试用三角形式表示 与12, 3,izzi12z解： ，所以12cosin, cos()in()46，2z()si(si61212 5cosn)(con)4465解下列方程：（1） （2）5()zi40 ()za解：（1） 由此51,zi， 25kie(0,234)（2） 4cosinza，当 时，对应的11cos()i()kk0,1234 个根分别为： , , () ()2aaiii6证明下列各题：（1）设 则,zxiy2zxy证明：首先，显然有 ；2其次，因 固此有 2,xy
4、22()(),xy从而 。2zxy（2）对任意复数 有12, 212112Re()zz证明：验证即可，首先左端 ，()()xy而右端 221 12exyixi，12()21()()y由此，左端=右端，即原式成立。（3）若 是实系数代数方程abi 10 0nnazaz的一个根，那么 也是它的一个根。证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则， ，由此得到：()nz10 10()nnnzz由此说明：若 为实系数代数方程的一个根，则 也是。结论得证。z（4）若 则 皆有1,a,ba1ba证明：根据已知条件，有 ，因此：1a，证毕。11()bba（5）若 ，则有, a1a证明
5、： ，22()bbba，21()因为 ，所以，, a，2221()10baab因而 ，即 ，结论得证。17设 试写出使 达到最大的 的表达式，其中 为正整数，,znzzn为复数。a解：首先，由复数的三角不等式有 ，1nnaa在上面两个不等式都取等号时 达到最大，为此，需要取z与 同向且 ，即 应为 的单位化向量，由此， ，nza1nznznzan8试用 来表述使这三个点共线的条件。123,z解：要使三点共线，那么用向量表示时， 与 应平行，因而21z31z二者应同向或反向，即幅角应相差 或 的整数倍，再由复数的除法运算0规则知 应为 或 的整数倍，至此得到：213zArg三个点共线的条件是 为
6、实数。123, 213z9写出过 两点的直线的复参数方程。122, ()zz解：过两点的直线的实参数方程为：，121()xtxyy因而，复参数方程为：1212121()()zxiyitizt其中 为实参数。t10下列参数方程表示什么曲线？（其中 为实参数）t（1） （2） （3）()zitcosinzabtt解：只需化为实参数方程即可。（1） ，因而表示直线,xtyyx（2） ，因而表示椭圆cosinabt21yab（3） ，因而表示双曲线1,xtyx11证明复平面上的圆周方程可表示为 ，0zzc其中 为复常数， 为实常数ac证明：圆周的实方程可表示为： ，2xyAB代入 ，并注意到 ，由此,
7、 2zzxyi22z，0zci整理，得 2ABiz记 ，则 ，由此得到2ABiaia，结论得证。0zzc12证明：幅角主值函数 在原点及负实轴上不连续。argz证明：首先， 在原点无定义，因而不连续。r对于 ，由 的定义不难看出，当 由实轴上方趋0xrz于 时， ，而当 由实轴下方趋于 时， ，由0xargzz0xarg此说明 不存在，因而 在 点不连续，即在负实轴上不连0limz arg续，结论得证。13函数 把 平面上的曲线 和 分别映成 平面1wz1x24yw中的什么曲线？解：对于 ，其方程可表示为 ，代入映射函数中，得xzi，21iyuvi因而映成的像曲线的方程为 ，消去参数 ，2,
8、y得 即 表示一个221,uvuy221()(),v圆周。对于 ，其方程可表示为24xcosinziy代入映射函数中，得1cosin2cosin2wuivz因而映成的像曲线的方程为 ，消去参数 ，1, v得 ，表示一半径为 的圆周。214uv1214指出下列各题中点 的轨迹或所表示的点集，并做图：z解：（1） ，说明动点到 的距离为一常数，因而0 ()zr0z表示圆心为 ，半径为 的圆周。（2） 是由到 的距离大于或等于 的点构成的集合，即圆心0,zr0zr为 半径为 的圆周及圆周外部的点集。（3） 说明动点到两个固定点 1 和 3 的距离之和为一常138,数，因而表示一个椭圆。代入 化为实方
9、程得,zxiy2()165y（4） 说明动点到 和 的距离相等，因而是 和 连线,zii i的垂直平分线，即 轴。x（5） ，幅角为一常数，因而表示以 为顶点的与 轴正向arg()4iix夹角为 的射线。15做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。（1） ，以原点为心，内、外圆半径分别为 2、3 的圆环区域，23z有界，多连通（2） ，顶点在原点，两条边的倾角arg (02)分别为 的角形区域，无界，单连通,（3） ，显然 ，并且原不等式等价于 ，说1zz32z明 到 3 的距离比到 2 的距离大，因此原不等式表示 2 与 3 连线的垂直平分线即 2.5 左边
10、部分除掉 2 后的点构成的集合，是一无界，多连通xx区域。（4） ，1z显然该区域的边界为双曲线 ，化为实方程为 21z，再注意到 到 2 与 到 2 的距离之差大于 1，因而不2415xy等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。（5） ，代入 ，化为实不等式，得zzxiy22178()()5所以表示圆心为 半径为 的圆周外部，是一无界多连通区域。17(,0)58习题二答案1指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。（1） （2） （3） （4）5()z3zi21z3解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为 0） ，根据和、差
11、、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：（1） 处处解析，5()z54(1)()zz（2） 处处解析，3i32ii（3） 的奇点为 ，即 ，z202221(1)(), ()()zzi（4） 的奇点为 ，3z32()1, (3)()zz 2判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。（1） （2）2)fzxyi2fxyi（3） （4）323()()fzxyixy1()fz解：根据柯西黎曼定理：（1） ，22, uv, 2xyyxuv四个一阶偏导数皆连续，因而 处处可微，再由柯西黎曼方程解得： ，, xyx0因此，函数在 点可导， ，z0()xzfui
12、函数处处不解析。（2） ，22, uv,0, xyyxuv四个一阶偏导数皆连续，因而 处处可微，再由柯西黎曼方程解得： ，, xyx因此，函数在直线 上可导， ，()2yxfiiv因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。（3） ，3223, ux2,6, yyxvxuvy四个一阶偏导数皆连续，因而 处处可微，并且 处处满足柯西黎曼方程 ,xx因此，函数处处可导，处处解析，且导数为 ()xfzuiv23+yi23z（4） ， ，1y2, yuvxx，22, ()()xyv，22yxu因函数的定义域为 ，故此， 处处不满足柯西黎曼方程，0z,uv因而函数处处不可导，处处不解析。3当 取何值时 在复平面上处,lmn3232()()fmnyil处解析？解： 32, uyxvlx，22, , x yxluvly
