1、1北师大版数学 （八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 22cba2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 ，那么这个三角形是直角三角形。22ba3、勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数。224、常用勾股数：3、4、5 6、8、10 9、12、15 15、 20、25 7、24、25 5、12、13 8、15、17 9、40、41 5、解立体图形上两点之间的最短距离问题（1）将立体图形展成平面图形（2）根据“两点之间线段最短”确定最短路线（3）最后以上面的最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理解决圆
2、柱表面蚂蚁吃面包： 勾股定理：圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方6、直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边7、折叠问题的常用方法：折叠前后的图形全等。然后一边是 x 另一边是关于 x 的代数式第二章 实数1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：（1）无限不循环小数； （2）开方开不尽的数，如 等32,7（3），或化简后含有 的数，如 +8 等；（4）有特定结构的数，如30.1010010001（5）某些三角函数值，如 sin60o 等3、算数平方根 平方根 立方根 X =a X =a X =a2 2
3、 3(x 一个值，取正) （ x 两个值，一正一负） (x 一个值，可正可负)2记做 X= x= x= aa3a平方根性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。立方根性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。4、二次根号下有意义的条件：根号下是非负数，即05、开平方：求一个数 a 的平方根的运算叫开平方，求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方。a 叫做被开方数。6、实数的倒数、相反数和绝对值与有理数的意义是一致的 7、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比
4、左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设 a、b 是实数，,0,0baba0（2）求商比较法设 a、b 是两正实数， ;1;1;1ab （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 。（5）平方法：设 a、b 是两负实数，则 。ba28、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。2、性质：（1） （ ）)0,(bab )0,(bab（2） （ ）9、最简二次根式：运算结果若含有“ ”形式，必须满足：（ 1）被开方数的因数是整a数，因式是整式；（2
5、）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式10、非负数的情况：根号下，平方，绝对值。例如11、常用的平方与立方311=121，12=144，13=169,14=196 ，15=225,16=256,17=289，18=324,19=361，20=400，21=441, 25=6252 的立方 8 3 的立方 27 4 的立方 64 5 的立方 125 6 的立方 21612、常用的开二次根式（自己填好）= = = = = = =125012748= = = =048第三章 位置与坐标1、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。2、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面
6、直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和 y 轴统称坐标轴。它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。3、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点） ，不属于任何一个象限。4、点的坐标的概念对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b
7、）叫做点 P 的坐标。点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。5、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)第一象限 （+ +） 点 P(x,y)第二象限 （- +）0,yx 0,yx点 P(x,y)第三象限 （- -） 点 P(x,y)第四象限 （+ -）6、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上 （x 轴上的点纵坐标为 0）点 P(x,y)在 y 轴上 （y 轴上的点横坐标为 0）0点 P(x,y)既在 x
8、轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）即原点7、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 （直线 y=x）点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 （直线 y=-x）48、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。9、关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点为 P（x，-y）关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数
9、，即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P（-x ，y）总述，关于哪个轴对称哪个坐标不变，另一个坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P（-x，-y）10、点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于y（3）点 P(x,y)到原点的距离等于 x11、坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化 x a 或 y a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a 倍 x a， y a 放大（缩小）为原来的 a 倍 x （ -1）或 y
10、 （ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称 x （ -1）， y （ -1） 关于原点成中心对称 x +a 或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位 x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a 个单位，再沿 y 轴平移 a 个单第四章 一次函数1/函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。2、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数） ，分式（分母不为 0） 、二次根式（被开方数为非负数） 、实际意义几方面考虑
11、。3、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。54、正比例函数和一次函数 (1)一次函数的形式 （k，b 为常数，k 0） ，xy正比例函数的形式 （k 为常数，k 0）正比例函数是特殊的一次函数(2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 的图像是kxy经过原点（0，0）的直线。5、一次函数的性质和正比例函数的性质（1）当 k0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大
12、；（2）当 k0 直线交 y 轴正半轴 b0 直线交 y 轴负半轴6、一次函数与 y 轴的交点坐标为（0，b） ；一次函数与 x 轴的交点坐标，另 y 等于 0，求出 x 的值.即（ ，0）k7、一次函数与坐标轴围成的三角形面积：与 x 轴的交点横坐标与 y 轴的交点纵坐标218、两个一次函数 k =k ,b b 两直线平行122k k ,b = b 两直线相交于 y 轴上的点（0，b）k k =-1.两直线垂直129、直线 y=2x 向上平移三个单位得到 y=2x+3，向下平移三个单位得到 y=2x-310、在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意 x 轴 y 轴代表的信息，若图中有两条直
13、线应标注各个直线的名称。11、一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0（k、b 为常数， k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应 x 的值从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值第五章 二元一次方程组1、二元一次方程（1-5 都为理解内容）含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解6适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。4 二
14、元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：直线 y=kx+b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程 kx- y+b=0 的解（2）一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的解可看作两个一次函数的图象的交点坐标。当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。7、个位数字为 x 十位数字为 y 的两位数为 10y+x较大的两位数为 x 较小的两位
15、数 y，将较大的写在左边的四位数是 100x+y第六章 数据的分析1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数 2、平均数（1）平均数： = 。x)(12nxn（2）加权平均数： =(xf+xf+.+xf) 3、众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数。注意：（1）众数可能不止一个（2）众数是出现次数最多的那个数据而不是次数4、中位数（1）先排列（2）中间一个数据或最中间两个数据的平均数注意：奇数个数的中位数，可以把数字加 1，再除以 2.这个位置就是中位数。如 101个数字，是 101+1 为 102 除以 2.第 51 位的数字，就是偶数个，直接除以 2 的那位，和它后
16、一位数字的平均数。如 100 个数字，就是 100除以 2 为 50，和 51 位上数字的平均数5、中位数，众数，平均数如数据有单位那么要加单位。6、刻画数据离散程度的量：极差，方差，标准差。他们越小数据越稳定。7、极差：一组数据最大值-最小值78、方差：各个数据与平均数的差的平方的平均数步骤：（1）求这组数据的平均数 （2）个数与平均数的差（3）差的平方 （4）再求平均数9、标准差：方差的算数平方根。第七章 平行线的证明1、. 定义与命题 （理解不用记忆）（1）. 定义一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义. 定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些” 、 “大概”
17、 、 “差不多”等不能在定义中出现. （2）. 命题可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题. 正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题. （3）. 公理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理. （4）. 定理有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理. （5）. 证明根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.2. 为什么它们平行 1. 平行判定公理: 同位角相等 ,两直线平行
18、.(并由此得到平行的判定定理) 2. 平行判定定理: 同旁内互补 ,两直线平行. 3. 平行判定定理: 同错角相等 ,两直线平行. 3. 如果两条直线平行 1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等; 2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等; 3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补. 4. 三角形和定理的证明 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于 1805. 关注三角形的外角 三角形内角和定理的两个推论:8推论 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论 2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.6、不是命题的情况：疑问句，短语，图的做法。
