1、100空间解析几何基本知识一、向量1、已知空间中任意两点 和 ，则向量),(11zyxM),(22zyx12212、已知向量 、 ，则),(3a),(31b（1）向量 的模为a221|a（2） ),(321bb（3） )323、向量的内积 a（1） bb,cos|（2） 321其中 为向量 的夹角，且a, ba,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。4、向量的外积 （遵循右手原则，且 、 ）baabb321bkji5、 （1） 321/ baa（2） 00b101二、平面1、平面的点法式方程已知平面过点 ，且法向量为 ，则平面方程为),(0zyxP),
2、(CBAn0)(0zyBA注意：法向量为 垂直于平面,Cn2、平面的一般方程 ，其中法向量为Dzyx ),(CBAn3、 （1）平面过原点 )0,(0zBA（2）平面与 轴平行（与 面垂直） 法向量 垂直于 轴xyozx0Dzy（如果 ，则平面过 轴）平面与 轴平行（与 面垂直） 法向量 垂直于 轴yxznCzA（如果 ，则平面过 轴）0Dy平面与 轴平行（与 面垂直） 法向量 垂直于 轴zxoyz0DByx（如果 ，则平面过 轴）（3）平面与 面平行 法向量 垂直于 面xynxoy0Cz平面与 面平行 法向量 垂直于 面oz B平面与 面平行 法向量 垂直于 面yyzDAx注意：法向量的表示
3、三、直线1、直线的对称式方程过点 且方向向量为 直线方程),(0zyxP),(321v302010vzyvx注意：方向向量 和直线平行),(321v2、直线的一般方程102，注意该直线为平面 和02211DzCyBxA 011DzCyBxA的交线3、直线的参数方程 tvzytx30214、 （1）方向向量 ，直线垂直于 轴),(2vx（2）方向向量 ，直线垂直于 轴31y（3）方向向量 ，直线垂直于 轴)0,(2vz5、 （1）方向向量 ，直线垂直于 面3xoy（2）方向向量 ，直线垂直于 面),(2vz（3）方向向量 ，直线垂直于 面01y应用一、柱面1、设柱面的准线方程为 ，母线的方向向量
4、 ，求柱面方程0),(21zyxf ),(321v方法：在准线上任取一点 ，则过点 的母线为1M),(1zyx321vv又因为 在准线上，故),(1zyx（1） （2）0,1f 0),(12zyxf令 （3）tvzyv321由（1） 、 （2） 、 （3）消去 求出 ，再把 代入求出关于 的方程1,x zyx,，则该方程为所求柱面方程0),(zyxF例 1：柱面的准线为 22zyx，而母线的方向为 1,0v，求这柱面方103程。 解：在柱面的准线上任取一点 ，则过点 的母线为),(1zyxM),(1zyx01x即 （1）tzytx1,又因为 在准线上，故 （2） ， （3）)(1 121zyx
5、 2121zyx由（1） （2） （3）得 022x2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径方法：在圆柱面上任取一点 ，过 点做一平面垂直于对称),(00zyxM),(00zyx轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点 ，则 为圆柱的半径),(11zyx|10例 2：已知圆柱面的轴为 2z，点 1（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。解：设圆柱面上任取一点 ，过点 且垂直于轴的平面为),(00zyxM),(00zyx2)(0x轴方程的参数式为 代入平面方程得ttt21,900zyt故该平面和轴的交点为 )94
6、2,94,2( 00000 zyxzyxzx 过点 1M（1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为 )35,1(因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得 09845822 zyzxyzyx注意：也可找圆柱面的准线圆处理例 3：求以直线 x=y=z 为对称轴，半径 R=1 的圆柱面方程解：在圆柱面上任取一点 ，过点 且垂直于轴的平面为),(00zyxM),(00zyx)(0x轴方程的参数式为 代入平面方程得tt,300zyt104故该平面和轴的交点为 M1 )3,3,3( 00000 zyxzyxzyx则 的长等于半径 R=110故利用距离公式得 1)3()3()3( 200200200 zyx
7、zyxzyx即所求方程为 9000000二、锥面锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。1、设锥面的准线为 ，顶点为 ，求锥面方程0),(21zyxf ),(00zyxM方法：在准线上任取一点 ，则过点 的母线为,11 ,11（1）010101zyx又因为 在准线上，故),(1zyxM（2） （2）,1f 0),(12zyxf由（1） 、 （2） 、 （3）消去 求出关于 的方程 ，则该方程为所求zyxzyx,F锥面方程例 1 锥面的顶点在原点，且准线为 czba12，求这锥面方程。解：在准线上任取一点 ，则过点 的母线为),(11yxM),
8、(11zyxM11z又因为 在准线上，故 且),(1zyx2byaxcz1上面三个方程消去 得 022c1,1052、圆锥面已知圆锥面的顶点 ，对称轴（或轴）的方向向量为 ，求圆),(00zyxM),(321v锥面方程方法：在母线上任取一点 ，则过该点的母线的方向向量为,),(00zyxn利用 和 的夹角不变建立关于 的方程，该方程为所求v例 2 求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。 （ 22)(zyxzyx）解：在坐标轴上取三点 ，则过三点的平面为)1,0,(),01zyx故对称轴的方向向量为 ，一条母线的方向向量为 ，, )0,(则母线和对称轴的夹角为 ，即cos13013s在母线上任取一
9、点 ，则过该点的母线的方向向量为),(zyxM),(zyxncs22所以 2)(zyx例 3 圆锥面的顶点为 ，轴垂直于平面 ，母线和轴成 ，求圆)3,1( 01zyx03锥面方程解：在母线上任取一点 ，轴的方向向量为 ，母线的方向向量为,zyx),2()3,21(zyxn则 0222 3cos9)()()1() zy即 2 77)4x三、旋转曲面设旋转曲面的母线方程为 ，旋转轴为 ，求旋0),(21zyf ZzYyXx000转曲面方程方法：在母线上任取一点 ，所以过 的纬圆方程,11xM),(11zM 2012012012020201 )()()()( zyxzyxZYX106又因为 在母线
10、上，有),(11zyxM0,12f由上述四个方程消去 的方程 为旋转曲面zyx0),(zyxF例 4 求直线 绕直线 l： 旋转一周所得的旋转曲面的方程。解：在母线上任取一点 ，则过 的纬圆方程),(11zM),(11z212121 0)(yxzyx又因为 在母线上，有),(11 1z由上述方程消去 的方程得zyx 9)1(59222 zyxyx四、几种特殊的曲面方程1、母线平行于坐标轴的柱面方程设柱面的准线是 平面上的曲线 ，则柱面方程为xoy0),(zf 0),(yxf设柱面的准线是 平面上的曲线 ，则柱面方程为z,yxg,zg设柱面的准线是 平面上的曲线 ，则柱面方程为yo0),(xzh
11、0),(yh注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、抛物线柱面例求柱面方程（1）准线是 ，母线平行于 轴02xzyx解：柱面方程为（2）准线是 ，母线平行于 轴319422yzy解：柱面方程为 2x（3）准线是 ，母线平1942z行于 轴z107解： 2x2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面设母线是 ，旋转轴是 轴的旋转曲面为 ；旋转轴是0),(zyfx 0),(2zyxf轴的旋转曲面为y 0),(2yzf（同理可写出其它形式的旋转曲面方程）注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们
12、的系数相等。例方程 是什么曲面，它是由 面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的02xzxoy解： 面上的 绕 轴旋转而成的xoy3、平行于坐标面的平面和曲面 的交线方程0),(zyxf平行于 面的平面 和曲面 的交线为xyhzhzyxf0),(平行于 面的平面 和曲面 的交线为oz 0),(zyxf yf,平行于 面的平面 和曲面 的交线为yhx,fhxzf0),(例求曲面和三个坐标面的交线（1） 64122zx解： 、 、0zy02yzx06412xzy（2） 42zx解：注意在 面上无交线o（3） y192解：在 面上交于一点x)0,(五、求投影 1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于
13、平面的对称点方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影例 5（1）求点 在平面 上的投影)1,3(A023zyx（2）求点 到平面 的距离，并求该点关于平面的对称点坐标51108（1）求过直线 且与点 的距离为 1 的平面方程0623zyx),21(M2、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影例 6（1）求点 到直线 的距离，该点在直线上的投影)0,1(A102zyx（2）求点 到直线 的距离
14、,M3z3、直线在平面上的投影方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影例 7（1）求直线 在平面 上的投影直线的方程09234zyx 014zyx（2）直线在 面上的投影为 ，在 面上的投影为 ，oz57xo0354yzx求直线在 面上的投影xy4、曲线 在坐标面上的投影柱面及投影0),(zgf方法：（1）消去 得 ，则 为曲线在 面上的投影),(1yxh0),(1zyxhxoy（2）消去 得 ，则 为曲线在 面上的投影x0,2z,2z（3）消去 得 ，则 为曲线在 面上的投影y),(3h0
15、),(3yzxhxo例（1）求球面 与平面 的交线在 面上的投影柱面及投影922zx1y（2）把曲线 的方程用母线平行于 轴和 轴的两个投影柱面方程y18342 xz表示解：消去 得母线平行于 轴的投影柱面方程 ；消去 得母线平行于 轴xxzy42z109的投影柱面方程 ，因此曲线可表示为042xy042xyz五、求平面方程1、过直线 的平面方程可设为02211DzCyBxA0)()( 2211 DzCyBxA如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理例（1）在过直线 的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。024zyx（2）平面过 轴，且与平面 的夹角为 ，求该平面方程OZ06（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角）（3）求过点 和直线 的平面方程)1,0(M102zyx（4）过直线 作平面，使它平行于直线8342zyx 064zyx(5)过平面 和 的交线作切于球面 的平面063zy 22z（6）求由平面 所构成的两面角的平分面方程 017,12xzx2、利用点法式求平面方程注意：（1）任何垂直于平面的向量 均可作为平面的法向量n（2）和平面 平行的平面可设为0DCzByAx 01DCzByAx（3）如存在两个向量 、 和平面平行（或在平面内） ，则平),(321a),(321b面的法向量为 321bkjiban例（1）已知两直线为
