1、1,22ii jkijkiikjjikjjiiyxN yxyxyxA即: (由 i,j,k 轮换性知)1, kjjii yxNyxyxN同理可证: 0kiji(作业:证明: )kjiyxji ,因此 (2- 1,0,0, ,1001,1, kjkik jiijjjij ijiii yxNyxyxN jyxyx 12)即形函数在自己节点上为 1,在其余节点上为 0。2. 在单元上任意一点,三个形函数之和为 1,即。, yxNyxNkji证明: ycxbaA ycxbaycxbaaAyyxyx kjikjikji kkjjjiiikji 2121,jikijkjiybijkkijjixc(2-13
2、)1, 02 yxNyxNxcyAyxyxakji ijijkj jikji ijjikijkk由此可见,三个形函数中只有 2 个是独立的,即第三个可由其余两个表示。3. ij 边上的形函数 与节点 k 的坐标无关(i,j, k 轮换) ,kjiNi,即在 ij 边上有:(i,j, k 轮换) ( 2-14)0,1,yxNxyxkijj iji证明:设 节点 i 坐标: ,节点 j 坐标: 。 求:ij 边的直iyxjyx,线方程。ijij xyijiji yxy kjji ikjij ikjijijijjijijijjj ikijjjjjj kjiikkijkij cbxAxcb xcbxy
3、cxbaAbyxaAcy NjNxcbbycx 222,N,:,jji 计 算边 上 的 值在得 到代 入直 线 方 程 为 : 0,ijijijj yxNbakjjiiyx12 Ayxyxyxxyxcb jkijkiikjjikijiijijkj 2kijxyN, ijkcijj xyij ,边 上 有 :在在 边上:ji0,22, ikikkikik ikikkkkk yxNycxbaAxbycxaAyN 由性质 2 :ijikji xyxNyxyxN1,1,即在 i ,j 边上有:(2-15)0,1,yxNxyxkijj iji证毕。同理知:(轮换)在 jk 边上有: 在 ki 边上有:
4、ijkijji xyxNyx,1,0 ijkj iji xyxNxy1,0,几何表示:五、三角形单元位移函数的收敛性(要点提示:单元位移函数的三条收敛准则及意义)下面我们来验证所设的位移函数 满足收敛准则(三条) 。yxvu6543211、 单元的位移函数解反映单元的刚体位移(包含有)由几何方程: 寻找物体发生刚体位移的条件。xvyuxuxy若物体发生刚体位移,则有:xfvyfuxvyuxuxy 21,00 的 任 意 函 数为 yu由 得: xy021xff dxfyf21等式两侧分别为 x 和 y 的函数,要使其相等只有:constdfyf21积分: 式中 为积分常数xvfyu021 0,
5、vu故位移: 021 xyxf 即:(不难证明)以上两项是发生刚体位移的充要条件。因为这是 的情形。故:xyx刚 体 转 动 的 转 角方 向 的 刚 体 位 移方 向 的 刚 体 位 移yu0v事实上,将位移函数改变形式为:yxxvy63534 5212u显然可看出:(其它系数意义后述)转 的 刚 体 转 动体 现 绕 无 关 )方 向 的 刚 体 位 移 ( 与体 现 无 关 )方 向 的 刚 体 位 移 ( 与体 现 zyxyx2,35412、 单元位移函数解反映单元的常应变由: 可以得到: xvyuxuxy 5362xvyuxuxy53532121xy显然: 常 量体 现 了 单 元
6、的 剪 应 变 为方 向 的 常 应 变体 现 了 单 元 沿 方 向 的 常 应 变体 现 了 单 元 沿536yx由此看出,但单元的各应变均为常量。故三角形单元在位移函数:yxvu654321下个典的各个应变量均为常量。故称 为常应变单元。3、 单元的位移函数在单元内部连续,在边界与相邻单元协调。显然,设 是单元内部的连续函数。下面考察下边界上协调(一致)yxvu654321的问题。由形函数的第 3 条性质,我们证明:对于相邻的两个单元 为公共边界。jie,21ij 边上的 N: 分别写出两个单元在公共边上的位移表达0,1,yxNxxyxkijj iji式。对于单元 ,其位移函数为: (*
7、)1ekjie ji vNvNuu11对于单元 ,其位移函数为: (*)2e mjie ji vv22Ij 为单元 , 的公共边界。由形函数的性质 3 我们知道:12仅与节点 i 有关。0mkijij ijiiNxxN因此,对于 :1ejijijie jijijie vxvxvuxuxu11对于 : 与节点 k,m 无关,仅与 i, j 节点坐2ejijijie jijijie vxvxvuuu122标及 有关。iu,- 已知常数jix,- 节点位移唯一ivu边界上 x 唯一确定 u,v由 和 比较及 和 比较知:在公共边界上各点,ij 上位移 u,v 是唯一的。1e21ev2由上知:三角形单
8、元的位移函数 满足收敛性条件。yxvu654321Note: 用三角形单元计算则位移是连续的。而应力、应变是阶梯的。位移法(假设位移)的结果位移要好(比应力准确) 。2-5 三角形单元的刚度矩阵(单刚)提示:我们已经建立了三角形单元的位移函数;导出了三角形单元的形函数;并用形函数来表示其位移函数;最后,我们证明了三角形单元位移函数的收敛性。下面我们要推导三角形单元的单元刚度矩阵。在推导单刚前我们还有些准备工作要做。一、 三角形单元的应变矩阵B将位移函数写出来: kjiji vNvNuu其中:ycxbaANjjji 2 ),(kji把位移函数 u,v 代入几何方程: kkjjii kjikjix
9、y kjiy kjix vbucvbucvbucA vbAxvcvcvububA212121写成矩阵的形式就是:(单元上任一点的应变)(2-16) kjjiikjjii ji kjizyx vuvubccbcA0021或 (2-17)eB式中: (2-18) kjjii ji kji bccbcA0021或分块: (2-19)kji BB式(2-16)表示单元节点位移 与单元应变 的关系。矩阵 称为应变矩阵。eAB式(2-18)表示应变矩阵为常数矩阵 ,再次证明三节点三jkikii xcyb,角形单元为常应变单元。二、 三角形单元的应力矩阵 S由物理方程知: xyxy yxy yxxuEu21
10、2 xyxyE12用矩阵表示: (2-20)xyxxyxu21012或缩写为: (2-21 )D其中: (2-22)21012uE称为弹性矩阵(仅与弹性常数有关) 。把 代入物理方程 ,得到:BDBD令 (2-23)DS则有: (2-24)式(2-24)表示应力与节点位移的关系。由式(2-23)给出,称为三角形单元的应力矩阵。S显然,弹性矩阵 及应变矩阵 都是常量矩阵。故应力矩阵 也是一个DBS常量矩阵。因此三节点三角形单元的应变和应力都是常量。三、三角形单元的单刚建立了应力与节点位移的关系式(2-24) ,我们就可以推导单刚了。我们用虚功原理来推导。一般来说,有限元的单刚最普通的方法是用变分原理来推导。求泛函的变分(functional 泛函的函数) 。 (在力学上就是最小泛解的变分原理) 。由于我们尚未解除变分