1、一元函数微分学1、导数定义（增量形式）)()(lim000 xfxffx 记 为（差式形式）)()(lim000 xfxfx 记 为注：单侧导数：，此极限记为 -右导数0x)(0xf，此极限记为 -左导数0f可导充要条件：“ 存在 ”)(0xf 存 在存 在 )()(00xfxf例题：设 ，且 存在，能否推出 存在？0)(f 20cosh)1(limfh)0(f答案： 不能例题：设 ，则 在 可导的充分条件是（ ）0)(f)(xf0A 存在 B 存在20cosh1limfhhef)1(lim0C 存在 D 存在20in)(lifh ffh)(2li0答案：B若 C 选项 换为 ， 怎样？2h3
2、4例题：设 在 的某个邻域内有定义，则 在 处可导的一个充分)(xfa)(xfa条件是（ ）A 存在 B 存在)(1(limafhh )(1(limafnnC 存在 D 存在ffh2li0 hfh)li0例题：设 的某去心邻域内可导。下述论 00 xxf 的 某 邻 域 内 有 定 义 ， 在在断正确的是：（A）: .,lim00 AxfAxfx 存 在 也 等 于则若 （B）: .lim,0 0AxfAxfx则存 在 等 于若（C ）: .,li0 不 存 在则若 ffx（D）: .li, 0xffx则不 存 在若中值定理：微分及计算定义-函数 在点 邻域内有定义，当自变量在点 处有增量 时
3、，)(xf0 0xx若相应的函数增量可以表示为 ，其中 是)()(00 oAfxfyA不依赖 的常数，是 时比 高阶的无穷小量，则称 在点 处是可微的，其中)(xo0x)(xf0的线性主部 称为 在点 相应于自变量增量 的微分，记作yA)(fy0x.xdx0易证 ，故 与微分相关的常用公式；)(0f dxfxfdyx )()(000 00fxfylim0Ax)(xoyAdfAd0一阶微分形式不变性：设 ，则 ，即)(),(xufydufxufdy)()(不论 是自变量还是中间变量，形式 是不变的uf微分的几何意义如图所示， 是曲线 在点 相应于自变量增量 的纵)(00xfxfy)(xf0x坐标
4、增量，微分 是曲线 在点 处的切线纵坐标相应的增0xdy,量.例题：设 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处)(f 0)(,)(xffx0的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则（ yd)(xf0 ）A B 0ydC D yd 0答案：A微分计算如果函数 在点 处可导且满足 ，则函数 在点)(xfy0 )(00xfdyx)(xfy处的微分为 ，可以把微分计算转化为求导的运算.0xxfdx)(0例题：若函数 有 ，则当 时，函数在 处的微分fy210f 0x0x是（ ）dyA 与 等价的无穷小 B 与 同价的无穷小 xxC 比 低价的无穷小 D 比 高价的无穷小 xx答案：B 例：设函数 可导， ，当自变量 在 处取得增量 时，)(uf)(2xfyx11.0x相应的函数增量 的线性主部为 0.1，则 （ ）)(fA -1 B 0.1 C 1 D 0.5答案：D
