1、1、设 有限的可测函数，证明：存在定义在 上的一列连续函数,().ERfxae是 上 R，使得 于 E。nglim()ngf证明：因为 在 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数 ，存在 的可测子集 ，()fx nEn使得 ， 同时存在定义在 上的连续函数 ，使得当 时，1nE1R()gx有 所以对任意的 ，成立 由此可得()ngxf0|nnEf，因此 即 ，|()nmlim|0n()xf由黎斯定理存在 的子列 ，使得 ， 于 Engk ()kgxf.ae2、设 上的连续函数， 为 上的可测函数，则 是可测函(),)fx是 ()x,ab()fgx数。证明：记 ，由于 在 上连续，故对任意实数12(
2、,),Eab()f1E是直线上的开集，设 ，其中 是其构成区1,cf11,)nfc(,)n间（可能是有限个， 可能为 可有为 ）因此nn因为 在 上可222211()()nnnnEfgcEgEgg2E测，因此 都可测。故 可测。22,nn)fc3、设 是 上的实值连续函数，则对于任意常数 ， 是一()fx)a|()xfa开集，而 总是一闭集。|(Efa证明：若 ，因为 是连续的，所以存在 ，使任意00,)x则 ()fx0，(,)， 即任意 是0|()xfxa就 有 0 0U(,),U(,),xxExE就 有 所 以开集若 且 ，由于 连续，,nE0,)nnfa则 (f，0()lim()fxfx
3、即 ，因此 E 是闭集。 4、 （1）设 求出集列 的上限集和下限集212(0,)(,)1,2nnA nA证明： 设 ，则存在 N，使 ，因此 时， ，limxxN0xn即 ，所以 属于下标比 N 大的一切偶指标集，从而 属于无限多 ，得2nx n，liA又显然 若有 ，则存在 N，(0,)lim(0,)nnA所 以 linlimnxA使任意 ，有 ，因此若 时，Nx21N，此不可能，所以21,0,0nxAnx即 令 得 lin（2）可数点集的外测度为零。证明：证明：设 对任意 ，存在开区间 ，使 ，且|1,2iEx iIixI所以 ，且 ，由 的任意性得|2iiI1iI1|iiI*0mE5、
4、设 是 E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。nf证： 显然， 的收敛点集可表示为f 0li()li()nnxxEff= .11limlinnxxkffk由 可测 及 都可测，所以 在 上可测。nflinxflinxflilinnxxffE从而，对任一自然数 ， 可测。故k1lilinnxxEffk01limlinnxxkff可测。既然收敛点集 可测，那么发散点集 也可测。0E0E6、设 ，存在两侧两列可测集 ， ,使得 且 （ - ）qRnABnnBmnA0， （n）则 可测.证明：对于任意 ， ，所以 iinB1Ein-1又因为 ，EAiiiiAB所以对于任意 ， )(*1
5、Emin）（ )(*iiAB)(iim令 ，由 0 得 所以 是可测的又由于 可i)(iim01）（ nEn1nB测，有 也是可测的所以 是可测的。nB1 )(B7、设在 上 ，而 成立， ，则有Efxfnnfxg.ae,2ngx设 ，则 。nnfg110nnmE所以01nnnf f1nnnnmEfgmEfmEf因为 ，所以nfxf0li li 0nn ngf即 xf8、证明： 。()AB证明：因为 ， ，所以， ， ，从而AB()AB()AB()反之，对任意 ，即对任意 ，有()x,x为无限集，,()(,)BABAxB从而 为无限集或 为无限集至少有一个成立，即 或 ，(,)x,x xAB所
6、以， ， 。综上所述， 。()()9、证明：若 ， （ ） ，则 于 。)nfxf()nfxgxE(fxg.aeE证明：由于 ，而11()nExfgExfgn，122nnffxfgkkk所以，11nnmExfgmExfmExfkkk由 ， （ ）得()nff()nf， 。1li02nnxfk1li02nnxfgk所以， ，从而 ，即 于 。mEfgk()mExf()fx.aeE10、 、证明：若 ， （ ） ，则()nfxf()ng（ ） 。()nfxgx证明：对任意 ，由于0，()()()()nn nnfxfgfxfgx所以，由 可得，gx和 至少有一个成立。1()2nff 1()2nx从而
7、，12n nnExfgfEfExg所以，。12n nnmxffmxfmx又由 ， （ ）得，()nff()ngxE， 。1li02nnEf1li02nnxg所以，即 （ ） 。lim0nnExfgf()()nnfxgfxgxE11、若 （ ） ，则 （ ） 。()xEnfE证明：因为 ，所以，对任意 ，有()()nffx0，nnxff。mEmEx又由 （ ）得， 。所以，()nfxfxli0nnf，即 （ ） 。li0nf()()xfxE12、证明： 上的连续函数必为可测函数。1R证明：设 是 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数 ，()fx1 a是开集，从而是可测集。所以， 是
8、上的可测函1 1,aaR()fx1R数。13、证明： 上的单调函数必为可测函数。1R证明：不妨设 是 上的单调递增函数，对任意实数 ，记 ，()fx1 ainf()Axa由单调函数的特点得，当 时， ，显然是可测集；()Afxa(),)xf当 时， ，也显然是可测集。故 是 上的可()Axfa,(fx1R测函数。14、设 ， 是 的可测子集，且 ，若 ，则()fLEnmElinEm。limd()nExfx证明：因为 是 的可测子集，且 ，所以， ，从而n ()nn由 得， 。又 ，由积分的绝linlim()li0nnEmE(fxLE对连续性， 。li)d()dn nEnfxfxfx15、设 ，
9、若对任意有界可测函数 都有 ，则()fL()0Efx()0fx于 。.ae证明：由题设，取 ，显然 为 上的有界可测函数，1,()0()0,xEff()xE从而 。所以， 于 ，即 于 。()d()dEEfxfx().ae()0f.aeE16、设 ， ，证明（1） ；（2） 。()fxLneflim0nelinnme证明：由 得， （1） 。 （2）由（1） ，注意()d()neEmxx到 ，由积分的绝对连续性得， ，从而注意到()fxEli()dnefx，0nm所以， 。linnme17、若 是 上的单调函数，则 是 上的有界变差函数，且()fx,ab()fx,ab。()baVf证明：不妨设
10、 是 上的单调增函数，任取 的一个分割()fx,011:iinTxxb 则 1101()()()nnii iini ifxfffffx，fbafba所以， 。11()sup()()nbiiaTiVffxff18、若 在 上满足：存在正常数 ，使得对任意 ，都有()fx,bK12,xab，12()fxf则 （1） 是 上的有界变差函数，且 ；()fx,a()baVf（2） 是 上的绝对连续函数。b证明：（1）由题设，任取 的一个分割,ab011:iinTxxxb 则，1111()()()nnniii ii i ifxfKKa所以， 是 上的有界变差函数，且 。()f,ab 11()sup()()
11、nbiiaTiVffxfb（2）在 内，任取有限个互不相交的开区间 ， 。由于, ,iy,2n，111()nnniii ii ifxfyKxx于是，对任意 ，取 ，则当 时，有01niy，11()nniiiifxfKx即 是 上的绝对连续函数。()fx,ab19、若 是 上的绝对连续函数，则 是 上的有界变差函数。()f,()fx,ab证明：由 是 上的绝对连续函数，取 ，存在 ，对任意有限个互不xab10相交的开区间 ， ，只要 时，有 。(,)iy1,2n 1nixy1()1niiifxfy现将 等分，记分点为 ，使得每一等份的,ab0iinaaab 长度小于 。易得 ，即 是 上的有界变
12、差函数。又1()iiaVf()fx1,i，1,ni所以， ，即 是 上的有界变差函数。1()()iiabaffn()fx,ab20、若 是 上的有界变差函数，则()fx,b（1）全变差函数 是 上的递增函数；()xaVf,b（2） 也是 上的递增函数。()xaf证明：（1）对任意 ， ，注意到 ，有12,x21x21()0xVf，11()()axaVfff即 是 上的递增函数。()xaVf,b（2）对任意 ， ，注意到 ，有12,xb2121 1()()xiiVffx212()()xaaxff，21 1()()0ffx即 是 上的递增函数。()xaVf,b21、证明 Jordan 分解定理： 是 上的有界变差函数 可表示成 上的()fx,ab()fx,ab两个增函数之差。证明：“充分性” 显然成立。下证“ 必要性”。事实上， ，由上题 和 都是 上的()()xxaafVff()xaVf()xaf,递增函数。
