1、1椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例 1：双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且 ，则双曲线离心2yx1a0,ba12F,P12PF率的取值范围为（ ）A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,【解析】 ， ， （当且仅当 三点共线等号成立）12PF12PFa121P12， ，,选 Bc6ae3,ea又 3例 2、如果椭圆 上存在一点 P，使得点 P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭2yx1ab0圆的离心率的取值范围为 （ ）A B C D(,21,1)(0,31,1)解析设 ，由题意及椭圆第二定义可
2、知2PFm1Fme12 2aFe)me（当且仅当 三点共线等号成立） ，把 代入化简可得112P， ， c1又 ,选 Bae2ce0e121二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例 1：双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且 ，则双曲线离21(,)xyab12,FP12FP心率的取值范围是（ ） 3(,(3)3,)【解析】设 ， ，当 点在右顶点处 ，2PFm120 ()4cos54coscea 1,(1,e三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例 1：双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且 ，则双曲线离心率2yx1a0,b12F,P12PF的取值范围为（ ）A.(1,3)
3、 B. C.(3,+ ) D.,33,解： , ,即在双曲线右支上恒存在点 使得 可知12PFa2PFa2a， 又 ,选 B2A,OAccc3ae3e13例 2已知双曲线 的左、右焦点分别是 F1、F 2，P 是双曲线右支上一点，P 到右准线的距离21(0,)xyab为 d，若 d、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。解：由题意得 因为 ，所以 ，从而 ，2。又因为 P 在右支上，所以 。 。 例 3椭圆21()xyab的右焦点 F，其右准线与 x轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） （ A）
4、 20, （ B） 10,2 （ C） 21, （ D）1,2解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 ，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，而|FA |w |PF|ac,ac 于是 ac,ac即 acc 2b 2ac c 2 2abc2b 22acm 又 e(0 ,1)故 e 答案：D12ca或 ,2例 4、已知双曲线 的左、右焦点分别为 若双曲线上存在点 使2(,0)xyab12(,0)(,FcP，则该双曲线的离心率的取值范围是 12sinPFc【解析】 （由正弦定理得） ， ， 221is21Pace21PF又 ， ， ，由双曲线性质知 ，1()PFae2(
5、1)F22ca，即 ，得 ，又 ，得 2ace0e(,)例 5、设椭圆 的左右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使 =900，求离心21()xyab12、 12F率 e 的取值范围。解析：P 点满足F 1PF2=90，点 P 在以 F1F2为直径的圆上又P 是椭圆上一点，以 F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，F 1、F 2是椭圆 的焦点以 F1F2为直径的圆的半径 r 满足：r=cb，两边平方，得 c2b 2 即(0)xyabc2a 2-c2 由 此 可 得 ， ）e213四、利用圆锥曲线中 的范围建立不等关系、xy例 1、双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心
6、率的取值21(0,)ab范围是（ ） 2,(1,221,)【解析】 2000()aexexcc0xa()eac而双曲线的离心率 ，2111,aec(,21,e例 2、设点 P 在双曲线 的左支上，双曲线两焦点为 ，已知 是点 P 到左准线)0b,a(ya2 21F、 |1的距离 和 的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。ld|F2解析：由题设 得： 。由双曲线第二定义 得： ，由焦半|PFd|21|PFd|121ed|P1e|F12径公式得： ，则 ，即 ，解得 。exaae)(20e2归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点 在双曲线 的左支上Pbyax2则
7、 ；若点 在双曲线 的右支上则 。axp1bya2ax例 2 设椭圆 的左右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使 =900，求离心率2(0)y12F、 12Fe 的取值范围。解析 1：设 P（x，y） ，又知 ，则Fcc120（ ， ） ， （ ， ）将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得FcPxyPxcy1221212290()()()， ， ，由 ， 知 ，则 ，即得abFPxacba21222900但 由 椭 圆 范 围 及知即4可 得 ， 即 ， 且从 而 得 ， 且所 以 ， ）cbcacaee2222121解析 2：由焦半径公式得| |PFaexaexFcccaexePyxa
8、xa12212 2222 240，又 由 ， 所 以 有即 ，又 点 （ ， ） 在 椭 圆 上 ， 且 ， 则 知 ， 即02122ce得 ， ）例 3 已知椭圆 =1（ a b0）的左、右顶点分别为 A、 B，如果椭圆上存在点 P，使得 APB=1200，求椭圆的离心2xy率 e 的取值范围解：设 P（ x0， y0） ，由椭圆的对称性，不妨令 0 x0 a, 0 y0 b A（ a，0） ， B（ a，0） ， = ， =PAkaxy0PBka0 APB=1200，tan APB=- ，又 tan APB= = ， = ， 31PBAk202ayx20ayx3而点 P 在椭圆上， b2x
9、02+a2y02=a2b2由、得 y0= 0 y0 b，0 b)(32b)(2 a b0，2 ab （ a2-b2） ，即 4 a2b23 c4，整理得，3 e4+4e2-40考虑 0 e1，可解得 e13 36四、利用判别式建立不等关系例 1、设椭圆 的左右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使 =900，求离心率21(0)xyab12F、 12Fe 的取值范围。解：由椭圆定义知 |PFaPPa121221245又 由 ， 知则 可 得这 样 ， 与 是 方 程 的 两 个 实 根 ， 因 此FPcauac1212212 29040|()| ()48022ace()因 此 ，e)1例 2、已
10、知双曲线 与直线 ： 交于 P、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。)0a(yax2l1yx解析：把双曲线方程和直线方程联立消去 得： 时，直线与双曲线有两个0a1,2)a( 22不同的交点则 ， ，即 且 ，所以004)a1(422a，即 且 。23a1ce26e五、利用均值不等式建立不等关系例 1、已知椭圆 (a b 0)的两个焦点为 F1，F 2，P 为椭圆上一点，F 1PF2=60则椭圆离心率 e 的21xy取值范围 ；解：设|PF 1|=m，|PF 2|=n 则根据椭圆的定义，得 m+n=2a， 又F 1PF2中，F 1PF2=60由余弦定理，得 m2+n2-mn=4c2 联
11、解，得 mn 4()3ac又 mn a2， a 2，化简整理，得 a24c 2，解之得 e 1()4()3c例 2、已知点 在双曲线 的右支上，双曲线两焦点为 ， 最小值是 ，P21(0,)xyab21F、 |P|21a8则双曲线离心率的取值范围 。解析： ，由均值定理知：当且仅当 时取得a84|PF|PF)2(| 2221 a|2最小值 ，又 所以 ，则 。a8ac|ac3e16例 3、设椭圆 的左右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使 =900，则离心21(0)xyab12F、 12F率 e 的取值范围 。解析：由椭圆定义，有 平方后得212PF|4 28212 112aPFPFc|(|
12、)|得 c2所 以 有 ， ）e2六、利用二次函数的性质建立不等关系设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（ ）1a221()xyae (,),5)(2,5)(2,5)【解析】 ，根据二次函数值域可得 22(e 10a25e七、利用非负数性质例 已知过双曲线 左焦点 的直线 交双曲线于 P、Q 两点，且 （ 为原)b,0a(1yax21Fl O点） ，则双曲线离心率的取值范围 。解析：设 ，过左焦点 的直线 方程： ，代入双曲线)y,x(Q),(P21、 1lctyx方程得： ，由韦达定理得： ，0btcatb422 221atb，由 OPOQ 得 ，21212121241 c)y(ctyt)
13、ct(tyx,ty 0yx21即： ，解得： ，因为 ，所以 ，则0catbat)(2224 242bat 0t2cab24，所以 。53e,13e,0c322424 15e练习1、设 F1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足F 1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（ A ）A ，1) B.（ ，1 ) C.(0， ) D.(0， 3333解：设，P（x 1，y 1） ，F 1（-c，0） ，F 2（c，0） ，c0 ，则|PF 1|=a+ex1，|PF 2|=a-ex1在PF 1F2中，由余弦定理得 cos1207，解得 x12 x 12（0，a 2，2211()()4
14、aexcaex243ce4c 2-3a20且 e21 e ，1)32、设 分别是椭圆 的左、右焦点，若在其右准线上存在点 ，使线段 的中垂线过12、F2(0)xyabP1F点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 2,3(0,2,)3,)【解析】设若 为右准线与 轴的交点，可知 ，即 ，又 在右准线上可知 ，所以离Pxc21eac心率的取值范围为 3,1)3、椭圆 的焦点为 ，两条准线与 轴的交点分别为 若 ，则该椭圆离心率2xyab2,Fx,MN12F的取值范围是（ ） (0,2(0,1,)2,)【解析】因为两准线距离为 ，又因为 ，所以有 ，即 ，所以 2ac12c4ac2c1e4、已知双曲线
15、 的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有21(0,)xybF60一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） (1,2(,),)(2,)【解析】如图 与 分别为与双曲线 的渐近线平行的两条直线，直线 为过 且倾斜1l22xyablF角为 的直线，要使 与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使 60l tan603b2()bea5、设点 P 在双曲线 的右支上，双曲线两焦点 ， ，求双曲线离心)0b,(1yx2 21F、 |PF4|21率的取值范围。解析 1：由双曲线第一定义得： ，与已知 联立解得：a2|PF|1|4|P21，由三角形性质 得： 解得： 。a32|PF,8
16、|F| 21ca3835e1解析 2： ，点 P 在双曲线右支上由图 1 可知： ， ，即|,|21 |1acPF|2，两式相加得： ，解得： 。ac,a3c55e xyl12l86、已知双曲线 的左、右焦点分别为 若双曲线上存在点 使21(0,)xyab12(,0)(,FcP，则该双曲线的离心率的取值范围是 12sinPFc【解析】因为在 12中，由正弦定理得2112sinsiPF则由已知，得 121acPF，即 12aPFc，且知点 P 在双曲线的右支上，设点 0(,)xy由焦点半径公式，得 100,ex则00()()aexca解得0()()caee由双曲线的几何性质知0()1eaa则，整
17、理得21,解得 21(1,)， 又 ，故椭圆的离心率 (,2)7、若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则(,0)F2a0xy的取值范围为 ( )PA. B. C. D. 3-2,32,)7-,)47,)4解析: 因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲线方程为 ，设点 P(,0)F21a23a213xy，则有 ，解得 ，因为 ，0(,)xy2001(3)3xyx20()3xy0(,)FP，所以 = ，此二次函数对应的0(,)OP 200()OPF()20120413x抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最小值034x03x03xO
18、PF3，故 的取值范围是 ，选 B。322,)7、已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 A、B 两12F、 210,xyab1x点，若 为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ A ）2BA B C. D1,12,12,2,18、已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线交 于点 ，且 ，则 的离FCBFCFDB2C心率为 。【解析】如图， ,作 轴于2|Bbca1Dy点 D1,则由 ，得2200804189,所以 ,1|23OFBD13|2DOFc即 ,由椭圆的第二定义得2cx 23|()aeca又由 ,得 ,整理得 . 两边都除以|BF23c
19、20c,得 ,解得 .2a30e1()e舍 去 ， 或 3e9、已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于2:0xyCab 2F(0)k C两点若 ，则 （ ） （A）1 （B） （C） （D）2AB、 3FBk 3【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB 1垂直于 l，A 1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得， ，由 ，得 ，即 k= ，故选 B.2【解析】： A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， ， y1=-3y2，AFB e ， 设 a 2t， c t， b=t，33 x2+4y2-4t2=0， 直 线 AB 方 程 为 x sy+ t 代 入 消 去 x， 得 (s2+4)y2+2 styt2 0，3 y1+y2 ， y1y2 ， 2y2 k= 故 选 B2s1xOyBF1D
