1、1第一章 导数及其应用一， 导数的概念1.已知 的值是（ ）xffxf )2(lim,1)(0则A. B. 2 C. D. 2441变式 1： （ ）为则设 hfffh3li,30A 2 C3 D1变式 2： （ ）000,limxffxfx设 在 可 导 则 等 于A B C Df 0f 04xf导数各种题型方法总结请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”
2、以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到两个根；0)(xf第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元） ；（请同学们参看 2010 省统测 2）例 1：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间
3、 D 上的导数为 ，若在区间 D 上，()yfx()fxf ()gx恒成立，则称函数 在区间 D 上为“凸函数” ，已知实数 m 是常数，()0gx()f43216mxf（1）若 在区间 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；()f0,3（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数” ，求 的最大值.2m()fx,abba2解:由函数 得 432()16xmxf32()xmfx2gx（1） 在区间 上为“凸函数” ，()yf0,则 在区间0,3上恒成立 23x解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 max()0g(0)329g解法二：分离变量法： 当 时, 恒成立,0x2(
4、)30gxm当 时, 恒成立3等价于 的最大值（ ）恒成立，23x而 （ ）是增函数，则()hx03xma()2h2m(2)当 时 在区间 上都为“凸函数” ()f,ab则等价于当 时 恒成立 230gx变更主元法再等价于 在 恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）2()Fm2201)30xxba例 2：设函数 ),(1)(23 Rbaxaxf （）求函数 f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的 不等式 恒成立，求 a 的取值范围. ,()f（二次函数区间最值的例子）解：（） 22()43fxaxxa01a-2 23aa()fa 3a3令 得 的单调递增区间为（a,3a）,0)(xf)(
5、xf令 得 的单调递减区间为（ ，a）和（3a，+ ）当 x=a 时， 极小值 = 当 x=3a 时， 极大值 =b. )(xf;43b)(xf（）由| |a，得：对任意的 恒成立 ,2,1x2243a则等价于 这个二次函数 的对称轴 ()gxmain()g22()gx2xa01,a（放缩法）12a即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。()gx上是增函数.（9 分）22()431,gxa、 main).()(1于是，对任意 ，不等式恒成立，等价于2,ax(2)441.15ga、又 ,0a.154点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关
6、系第三种：构造函数求最值题型特征： 恒成立 恒成立；从而转化为第一、二种题型)(xgf0)()(xgfxh例 3；已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ，32a1,Pb326()(1)(0)tgxtt（）求 的值；,ab（）当 时，求 的值域；4fx（）当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围。,x()g解：（） ， 解得 /2()3fa/13fba32ab（）由（）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减fx,00,4又 (1)4,(0),()4()6f f 的值域是x16（）令 211,4thfxgxx2xa1,24思路 1：要使 恒成立，只需 ，即 分离变量()fxg(
7、)0hx2()6tx思路 2：二次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为 在给定区间上恒成立， 回归基础题型)(0)(ff或解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与 “函数的单调减区间是（a,b ） ”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知 ，函数 Raxaxxf )14(21)(3（）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值；fgf（）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围)(x),a解： . 14(41)(2 af（）
8、 是偶函数， . 此时 ， ， xxxf312)(341)(2xf令 ，解得： . 0)(f 32列表如下： x(,2 ) 2 (2 ,2 )32 3(2 ,+)f+ 0 0 +(x递增 极大值 递减 极小值 递增可知： 的极大值为 ， 的极小值为 . )f 34)2(f ()fx34)2(f（）函数 是 上的单调函数，x, ，在给定区间 R 上恒成立判别式法21()()(1)04fa则 解得： . 24a， 02a综上， 的取值范围是 . 例 5、已知函数 321()()(1)0.fxaxa（I）求 的单调区间；（II）若 在0，1上单调递增，求 a 的取值范围。()fx 子集思想5（I）
9、2()()1()1).fxaxxa1、 20,0,f当 时 恒 成 立当且仅当 时取“=”号， 单调递增。 x()fx在2、 1212,(),af ax当 时 由 得 且单调增区间： )a单调增区间： (1,)（II）当 则 是上述增区间的子集：)0,fx在 上 单 调 递 增 0,11、 时， 单调递增 符合题意a()f在2、 ， ,1,aa综上，a 的取值范围是0，1。 三、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后
10、增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1） 求实数 的取值范围；k（2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围fg解：（1）由题意 在区间 上为增函数，xkx)1()(2 )(f),2( 在区间 上恒成立（分离变量法）0)(2f ,即 恒成立，又 ， ，故 的取值范围为 k1k1k（2）设 ，32)(3)(xxgfxh1()(2 k令 得 或 由（1）知 ，0k1当 时， ， 在 R 上
11、递增，显然不合题意k0)(2x)(xh当 时， ， 随 的变化情况如下表：)h,kk)1,(k),1( 0)x 极大值 极小值 a-1-1()fx631263k21k由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，故需021k)(xfg 0)(xh，即 ，解得3630)21kk22k31k综上，所求 的取值范围为k3根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数 321()fxaxc（1）若 是 的极值点且 ()f的图像过原点，求 ()fx的极值；（2）若 2()gxbxd，在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒有含 的三个不
12、同交点？若存在，求出实数 b的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2 网解：（1） ()f的图像过原点，则 ，(0)fc()3fa又 x是 x的极值点，则 1321aa2()3(32)f x(1)xf、 ()37ff、（2）设函数 g的图像与函数 )x的图像恒存在含 1x的三个不同交点，等价于 有含 的三个根，即：()fx11()()2fgdb整理得：3221()bx即： 恒有含 的三个不等实根()0x1x（计算难点来了：） 有含 的根，321()()()0hxbb1x则 必可分解为 ，故用添项配凑法因式分解，()hx、3x22(1)()x22()10bb221()()xx23
13、-1 ()fx7十字相乘法分解： 21()()(1)0xbx2()2b恒有含 的三个不等实根3211()()0xbxb1x等价于 有两个不等于-1 的不等实根。22211()4()0bb(,1)(,3,)题 2：切线的条数问题=以切点 为未知数的方程的根的个数0x例 7、已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范围为 ，32()fxabc ()0fx(1,3)求：（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围()f (1,)Pm()yfxm（1）由题意得： 3,0f aa在 上 ；在 上 ；在 上,()0,0fx3因此 在 处取得极小值()fx14 ， ，
14、 4abc2fbc()276fbc由联立得： ， 69ac32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,yftt23231()y t21(69txtt过(9)6,m23(mtt3)0g令 ，2(61)ttt求得： ，方程 有三个根。,(g需： )0(2g3940m16故： ；因此所求实数 的范围为：16m(,)题 3：已知 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数()fx解法：根分布或判别式法例 8、8解：函数的定义域为 （）当 m4 时，f (x) x3 x210x ，R13 72x 27x10，令 ， 解得 或 .()f ()0fx5,令 ， 解得05可知函数 f(x)的单调
15、递增区间为 和（5，） ，单调递减区间为(,2)2,5（） x 2(m3)x m6, )f要使函数 yf (x)在（1，）有两个极值点, x 2(m3)xm6=0 的根在（1，）)f根分布问题：则 ， 解得 m32(3)4(6)0;1.mf例 9、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令 x4f（x）231)(xaxf)0,(aR)(xf ()g1（xR）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围解：（1） )()(2f当 时，令 解得 ，令 解得 ，0a0)xf 01xa、0)(xf 01xa所以 的递增区间为 ，递减区间为 .)(xf ),(,(,当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减
16、区间为 .)xf )(、 ),(),(（2） 有且仅有 3 个极值点4321)(gax=0 有 3 个根，则 或 ，23(1)x 0x210ax219方程 有两个非零实根，所以210xa240,a或2a而当 或 时可证函数 有且仅有 3 个极值点()ygx其它例题：1、 （最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在 上的函数 在区间R32()fxaxb）（ 0a上的最大值是 5，最小值是11.2,（）求函数 的解析式；()fx（）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.1,t 0(txf） x解：（） 32 2,()34(34)abfa令 =0,得 ()fx140,1因为 ，所以可得下表：2,0
17、0,1()fx+ 0 - 极大 因此 必为最大值, 因此 ， ，)0(f 50）（fb(2)165,(),(1)2faff即 ， ， 162aa.23x）（） ， 等价于 ， xxf43)(2 0(txf） 04t令 ，则问题就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围，tg)g,t x为此只需 ，即 ， 0)1（ 52解得 ，所以所求实数 的取值范围是0，1.0xx2、 （根分布与线性规划例子）（1）已知函数 32()fabc() 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求 的解x1(0,1)30xy)(xf析式；() 当 在 取得极大值且在 取得极小值时, 设点 所在平
18、面区域为()f(0,)(2)x(2,1)MbaS, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.解： (). 由 , 函数 在 时有极值 ,2()fxaxb()f1 0b10 (0)1f1c又 在 处的切线与直线 平行,x,)30xy 故 ()3fb2a . 7 分21xx() 解法一: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,()fb ()fx(0,1)(12)x 即 令 , 则 0(1)2f0248a()Mxybya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx06xy易得 , , , , , (20)A(1)B(2,)C(0,1)D3(0,)2E
19、2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 3DEABES四 边 形 所求一条直线 L 的方程为 : 0x另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 ,它与ykxAC,BC 分别交于 F、G, 则 , k1四 边 形 DEGF由 得点 F 的横坐标为: 20ykx 2xk由 得点 G 的横坐标为: 46yx 641G 即 OEFDSS四 边 形 DEGF13221kk2650k解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 12k58kyx综上,所求直线方程为: 或 .12 分0x12yx() 解法二: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,2()fab()f(0,1)(12)x
