1、1江西省南昌市 2017 届高三第一次模拟测试数学（理科）本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：圆锥侧面积公式： ，其中 为底面圆的半径， 为母线长。rlSl第卷（选择题部分 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,
2、每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集 UR，集合 lgAxy，集合 1Byx，那么 ()UACB（ ）A B (0,1 C (0,1) D (,)2若复数 32zi，其中 i为虚数单位，则复数 z的虚部是（ ）A-1 B C1 D i3已知 ,均为第一象限的角，那么 是 sn的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4设某中学的高中女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 (,)ix（ 1,23， ） ，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85.7y，则下
3、列结论中不正确的是（ ）A 与 具有正线性相关关系B回归直线过样本的中心点 (,)xyC 若 该 中 学 某 高 中 女 生 身 高 增 加 1cm， 则 其 体 重 约 增 加 0.85kgD 若 该 中 学 某 高 中 女 生 身 高 为 160 ， 则 可 断 定 其 体 重 必 为 50.29kg.5若圆锥曲线 ： 2xy的离心率为 2，则 （ ）A 3 B 3 C 13 D 136执行如图所示的程序框图，输出 S的值为（ ）A 2log10 B 2log C 92 D67已知函数 ()sin()fxAx（ 0,A）的周期为 ，若 ()1f，则23()2f（ ）A-2 B-1 C1 D
4、28如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 1x与圆 24y相交于 ,两点，则 cosA=（ ）A 510 B 510 C 910 D 9109我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有 90 钱） ；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱.A28 B32 C56 D7010某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 1） ，则这个几何体的体积是（ ）A 32 B 643 C16 D3211抛物线 8y
5、x的焦点为 F，设 1(,)Axy，2(,)是抛物线上的两个动点，若 1234AB，则 F的最大值为（ ）A 3 B 34 C 56 D 12定义在 R上的偶函数 ()fx满足 (2)(fxf，且当 1,2x时， ()ln1fx，若函数 ()gxfm有 7 个零点，则实数 m的取值范围为（ ）A 1ln2l,)86ln21l(,)8 B ln21l(,)68 C ( D第卷（非选择题部分，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13在多项式 65(12)xy的展开式中， 3xy项的系数为 14已知单位向量 ,e的夹角为 ， 12ae，则 a在 1e上的投影是
6、 15如图，直角梯形 ABCD中， ， /ADBC， 22DA，若将直角梯3形绕 BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为 16已知 24xy，在这两个实数 ,xy之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 1a， 345S.（I）求数列 na的通项公式；（II）令 1()nb，求数列 nb的前 2项和 2nT.18. (本小题满分 12 分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气
7、质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300）空气质量指数 (0,5,10(,5(10,2(0,25(0,3空气质量等级 1 级优 2 级良 3 级轻度污染 4 级中度污染 5 级重度污染 6 级严重污染该社团将该校区在 2016 年 100 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（I）请估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算） ；（II）该校 2017 年 6 月 7、8、9 日将作为高考考场，若这三天中某天出现 5 级重度污染，需要净化空气费用 10000 元，
8、出现 6 级严重污染，需要净化空气费用 20000 元，记这三天净化空气总费用X元，求 的分布列及数学期望.19. (本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BCD，底面 A为等腰梯形， /ABCD， 2， 4，P为正三角形.（I）求证： 平面 ；（II）设 的中点为 E，求平面 与平面所成二面角的平面角的余弦值.4520. (本小题满分 12 分)已知椭圆2:1xyCab（ 0a）的左、右顶点分别为 12,A，左、右焦点分别为 12,F，离心率为 1,点 (4,0)B， 2F为线段 1AB的中点.（1）求椭圆 C的方程；（2）若过点 B且斜率不为 0 的直线 l与椭
9、圆 的交于,MN两点，已知直线 1AM与 2相交于点 G，试判断点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21. (本小题满分 12 分)已知函数 2()24)()xfxea（ 0,xaR,e是自然对数的底数）.（1）若 ()fx是 0,)上的单调递增函数，求实数 的取值范围；（2）当 12a时，证明：函数 ()fx有最小值，并求函数 ()fx最小值的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C过点 (,)Pa，其参数方程为 21x
10、aty（ 为参数， aR） ，以 为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C的极坐标方程为2cos40.（1）求曲线 1C的普通方程和曲线 2C的直角坐标方程；（2）已知曲线 与曲线 2交于 ,AB两点，且 2PB，求实数 a的值.23. (本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲已知函数 21fxax， R.（1）若不等式 ()有解，求实数 a的取值范围；（2）当 a时，函数 fx的最小值为 3，求实数 的值.6数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6
11、7 8 9 10 11 12答案 C C D D C B B D B A D A二、填空题:本大题共 4 小题 ,每小题 5 分，满分 20 分13 20; 14. 2; 15. (2); 16. 3102三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17. 【解析】 （）设等差数列 na的公差为 d，由 345S可得 1235aa，即 253a，所以 3(1)4d，解得 21()2n（）由（）可得： 1 12()()4)n nnb.2222 22(41)(434(1nT n2231)(n 21)4(1484nn18.【解析】 （）由直方图可估算 20
12、7年（以 365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.2)3650.19.5（天） （）由题可知， X的所有可能取值为： ， 10， 20， 3， 40， 50， 6，则： 34()(2P， 34()()5PC12338720)(105001XC249()(2 2331740)()1005P(5)(XC36010的分布列为 203040506P41257159271316800 0200EX9（元） 19.【解析】 （）在等腰梯形 ABCD中，过点 作 EAB于点 ，7如图所示：有 1,3,2AEDB在 B中，有 2，即 ADB又因为平面 P平面 C且交线为 ， 平面 PAD.（） 由平面 P
13、AD平面 BC，且 PAD为正三角形, E为 AD的中点， E，得 平面 如图所示，以 为坐标原点， 所在直线为 x轴， B所在直线为 y轴，过点 平行于 PE所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系.由条件 2ADCB，则 1AED， 3PE， 23BD则 (0,)， (1,0)E， (,30)， (,)- 6 分在等腰梯形 中，过点 作 B的平行线交 A延长线于点F如图所示：则在 RtCD中，有 3F， 1D， (,30)C（另解:可不做辅助线，利用 2A求点 坐标） (1,30)， (1,03)P，设平面 P的法向量 11(,)nxyz则 111nCDxyz ，取 1x，则 1y， 1z，面
14、 P的法向量 (3,)n同理有 (0,)E， 1,23)PB，设平面 PBE的法向量 22(,)nxyz则 22230nzPBxyz ，8取 21y，则 23x， 20z，面 PBE的法向量 2(3,10)n-10 分设平面 PEB与平面 DC所成二面角的平面角为 ， 1231765cos, 2n 即平面 PEB与平面 所成二面角的余弦值为 6520.【解析】 （）设点 12(,0)(,AaFc，由题意可知： 42ac，即 2c 又因为椭圆的离心率 e，即 联立方程可得： ,ac，则 223bac所以椭圆 C的方程为 2143yx（）方法一：根据椭圆的对称性猜测点 G是与 y轴平行的直线 0x
15、上假设当点 M为椭圆的上顶点时，直线 l的方程为 34x，此时点 N83(,)5，则联立直线 1:320Alxy和直线 2:6ANly可得点 1,2G据此猜想点 G在直线 上，下面对猜想给予证明： 设 12(,)(,)xyN，联立方程 2(413)xky可得： 222(34)640,kxk由韦达定理可得 12234xk，2126k（*）因为直线 11:()AMyl， 22:()ANylx，联立两直线方程得 2()x（其中 为 G点的横坐标）即证： 123yx，即 12213(4)(4)kxk，即证 121240()60xx 将（*）代入上式可得 2260363403kkk此式明显成立，原命题得
16、证所以点 G在定直线上 上方法二：设 123(,)(,)(,)MxyNxy， 123,x两两不等，因为 ,B三点共线，所以22121212 23()()44(4)()xyxx，整理得： 12125()80x 又 1,AG三点共线，有： 312y 又 2,N三点共线，有： 32x 将与两式相除得：9222213321 1 1223()()()()4()xxxyyxx 即 23112122()()()xxx，将 121580即 12125()40代入得： 23()9x解得 34x（舍去）或 3x，所以点 G在定直线 1上方法三：显然 l与 轴不垂直，设 l的方程为 ()ykx， 12(,)(,)M
17、xyN.由 2()143ykx得 222(4)640,kx.设 123(,)(,)(,)MyNGy， 123,x两两不等，则 12234kx， 12264kx，2212114|()4,3kxx由 ,A三点共线，有： 31yx 由 2,NG三点共线，有： 23 与两式相除得： 32121122121()(4)()3()813xyxkxxx 解得 34（舍去）或 3，所以点 G在定直线 上21.【解析】 （） ()2(4)2()(2)(2)xx xfeeaea，依题意：当 0x时，函数 0f恒成立，即 恒成立，记 (2)eg，则 22()()xxeeg2()0xe，所以 x在 ,上单调递增，所以
18、()01g，所以 1a，即 2；（）因为 ()20xfea，所以 yfx是 (,)上的增函数，又 (0)4fa， (1)6f ，所以存在 0,1t使得 (0ft且当 时 t，当 2a时 0t，所以 t的取值范围是 ,)又当 (,)x， (fx，当 (,)时， ()fx，所以当 t时， 2min()24tfftea且有 (1)()02tefta 2min()()241)(t ttfxfte10记 2()the，则 2 2()(21)1)t ttheee（ -0，所以 1(0t，即最小值的取值范围是 ,22.【解析】 （）曲线 1C参数方程为 21xaty,其普通方程 10xya，由曲线 2的极坐
19、标方程为 2cos40, 22cos4s 240xy,即曲线 2C的直角坐标方程 2yx.（）设 A、 B两点所对应参数分别为 12,t，联解412aty得 2140ta要有两个不同的交点，则 2()4()0a,即 ，由韦达定理有124ta根据参数方程的几何意义可知 12,PAtBt，又由 2PAB可得 12tt，即 12t或 12t 当 12t时，有 2130364att，符合题意当 12t时，有 21 9t，符合题意综上所述，实数 a的值为 36或 423.【解析】 （）由题 ()21fx，即为 |12ax而由绝对值的几何意义知|a，- 2 分由不等式 ()21fx有解，|1|2，即 04a实数 a的取值范围 0,4- 5 分（）函数 21fxax的零点为 2和 1，当 2a时知1
