1、 1第 11 讲 立体图形各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第 12 题（略有改动）1用棱长是 1 厘米的立方块拼成如图 11-1 所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析与解】显然，图 11-1 的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于 33=9 个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于 7 个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于 7 个小正方形的面积，因此，该图形的表面积
2、等于(9+7+7)2=46 个小正方形的面积，而每个小正方形面积为 l 平方厘米，所以该图形表面积是 46 平方厘米2如图 11-2，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【分析与解】 原来正方体的表面积为 5 56=150现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(32)2=12，12150=0.08=8即表面积减少了百分之八3如图 11-3，一个正方体形状的木块，棱长 l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每条又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块那么，这 60 块长方体
3、表面积的和是多少平方米?2【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的 2 个面的面积现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9 刀，而原正方体一个面的面积 1l=1(平方米)，所以表面积增加了 921=18(平方米)原来正方体的表面积为 61=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为 6+18=24(平方米)4图 11-4 中是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?【分析与解】原正方体的表面积是 446=96(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方形，
4、同时又增加了 5 个边长是 1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了 4 个边长是 1 厘米的正方形从而，它的表面积是 96+46=120 平方厘米5图 11-5 是一个边长为 2 厘米的正方体在正方体的上面的正中向下挖一个边长为 1 厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相12同，边长为 厘米那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?14【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了 1 个面，多出了 5 个面，即增加了 4 个面所以，最后得到的立体图形的表面积是：3226+1l4+ 4+ 4=29.
5、25(平方厘米 )12416有大、中、小 3 个正方形水池，它们的内边长分别是 6 米、3 米、2 米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4 米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为 330.06：0.54 立方米；放在小水池里的碎石的体积为 220.04=0.16 立方米；则两堆碎石的体积和为 0.54+0.16=0.7 立方米，现在放到底面积为 66=36 平方米的大水池中，则使大水池的水面升高 0.736= 米= 厘米= 厘米73601787如图 11-6，从长为 13 厘米，宽为
6、9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2 米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米?【分析与解】 容器的底面积是(13-4)(9-4)=45(平方厘米)，高为 2 厘米，所以容器得体积为：452=90(立方厘米)8今有一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的长方体现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体问剩下的体积是多少立方厘米?【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为 21：15：12=7：5：4，为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为 7
7、 厘米、5 厘米、4 厘米的长方体.易知第一次切下的正方体的棱长应为 4 厘米，第二次切下的正方体棱长为 3 厘米时符合要求，第三次切下的正方体的棱长为 2 厘米时符合要求于是，在长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为 12 厘米、9 厘米、6 厘米所以剩下的体积应为：211512-( )=1107(立方厘米)331249如图 11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【分析与解】 圆锥的体积是 ，圆柱的体积是 21164,332481所以，圆锥体积与圆柱体积的比是 .
8、:8:2410张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤今年改用长 3 米宽2 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析与解】底面周长是 3，半径是 ， 所以今年粮囤底面积是 ，高是 223()424同理，去年粮囤底面积是 ，高是 124223()(1).54因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的 4.5 倍11一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米今将一个底面半径为 2 厘米，高为 18 厘米的铁圆柱垂直放人容器中求这时容器的水深是多少厘米?【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则
9、水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：（厘米） ；2251817.25它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形底面积为 ，水的体积保持不变为 2512513所以有水深为 (厘米)，小于容器的高度 20 厘米，显然水没有溢出367于是 厘米即为所求的水深61712如图 ll-8，用高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米?( 取 314)【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即21.5.
10、120.514.302.97(平 方 米 ）即这个物体的表面积是 32.97 平方米13某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图 11-9 所示在三个方向上加固所用尼龙编织条的长分别为 365 厘米、405 厘米、485 厘米若每个尼龙条加固时接头处都重叠5 厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?6【分析与解】 长方体中，高+宽=+(365-5)=180，高+长= (405-5)=200，12长+宽= (485-5)=240，-得 长-宽=20，+得 长=130，则宽=110，代入得高=70，所以长方体得体积为：7011030=1001000(立方厘米)=1.001(
11、立方米)14有甲、乙、丙 3 种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的 ，乙的棱长是丙的棱长12的 如果用甲、乙、丙 3 种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要23这 3 种木块一共多少块?【分析与解】设甲的棱长为 1，则乙的棱长为 2，丙的棱长为 3显然，大正方体棱长不可能是 4，否则无法放下乙和丙各一个于是，大正方体的棱长至少是 5事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为 5 的大正方体，其中丙种木块只能用 1 块；乙种木块至多用 7 块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：555-1333-7222=42(块)因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大
12、正方体，至少需要这三种木块一共 1+7+42=50(块)15有 6 个相同的棱长分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有 1 个面是红色的，有的长方体恰有 2 个面是红色的，有的长方体恰有 3 个面是红色的，有的长方体恰有 4 个面是红色的，有的长方体恰有 5 个面是红色的，还有一个长方体 6 个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为 1 厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个? 【分析与解】一面染红的长方体，显然应将 45 的长方体染红，这时产生 20 个一面染成红色的小正方体，个数最多 二面染红的长方体，显然
13、应将两个 45 的长方体染红，这时产生 40 个一面染成红色的小正方体，个数最多三面染红的长方体，显然应将 45，45，43 的面染红，于是产生 4(5+5+3-4)=36 个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于 36 个7四面染红的长方体，显然应将 45，45，43，43 的面染红，产生 4(5+5+3+3-24)=32个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于 32 个五面染红的长方体，应只留一个 35 的面不染，这时就产生(3-2)(5-2)+(4-1)(5+5+3+3-24)=27 个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于 27 六面染红的长方体，产生 2(3-2)(5-2)+(5-2)(4-2)+(4-2)(3-2)=22 个一面染成红色的小正方体于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177 个一面染成红色的小正方体
