1、五容斥原理问题1 有 100 种赤贫.其中含钙的有 68 种,含铁的有 43 种,那么, 同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11解：根据容斥原理最小值 68+43-10011最大值就是含铁的有 43 种2在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25 名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2 倍 :(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 人;(4) 只解出一道题的学生中 ,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生
2、人数是( )A，5 B，6 C，7 D，8解：根据“每个人至少答出三题中的一道题” 可知答题情况分为 7 类：只答第 1题，只答第 2 题，只答第 3 题，只答第 1、2 题，只答第 1、3 题，只答 2、3题，答 1、2、3 题。分别设各类的人数为 a1、 a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知： a1+a2+a3+a12+a13+a23+a12325由（2）知： a2+a23（a3+ a23）2由（3）知： a12+a13+a123a11由（4）知： a1a2+a3 再由得 a23a2a32再由得 a12+a13+a123a2+a3 1 然后将代入 中，整理得到a24+a3
3、26由于 a2、a3 均表示人数，可以求出它们的整数解：当 a26、5、4 、3 、2、1 时，a3 2、6、10、14、18、22又根据 a23 a2a32可知：a2a3因此，符合条件的只有 a26，a32 。然后可以推出 a18，a12+a13+a1237，a232 ，总人数8+6+2+7+225，检验所有条件均符。故只解出第二题的学生人数 a26 人。3一次考试共有 5 道试题。做对第 1、2、3、 、4、5 题的分别占参加考试人数的 95%、80%、79%、74%、85% 。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？答案：及格率至少为 71。假设一共有 100 人考
4、试100-955100-8020100-7921100-7426100-85155+20+21+26+1587（表示 5 题中有 1 题做错的最多人数）87329（表示 5 题中有 3 题做错的最多人数，即不及格的人数最多为 29 人）100-2971（及格的最少人数，其实都是全对的）及格率至少为 71六抽屉原理、奇偶性问题1一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有 3 副同色的？解：可以把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5 只手套。这
5、时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩 3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。把四种颜色看做 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保证有 1 副就要摸出5 只手套。这时拿出 1 副同色的后， 4 个抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套，又能保证有 1 副是同色的。以此类推，要保证有 3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）答：最少要摸出 9 只手套，才能保证有 3 副同色的。2有四种颜色的积木若干，每人可任取 1-2 件，至少有几个人去取，才能保证有 3 人能取得完全一样？答案为 21解：每人取 1
6、件时有 4 种不同的取法 ,每人取 2 件时,有 6 种不同的取法.当有 11 人时,能保证至少有 2 人取得完全一样:当有 21 人时,才能保证到少有 3 人取得完全一样.3某盒子内装 50 只球，其中 10 只是红色，10 只是绿色， 10 只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有 7 只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。当黑球或白球其中没有大于或等于 7 个的，那么就是：6*4+10+1=35(个)如果黑球或白球其中有等于 7 个的，那么就是：6*5+3+134 （个）如果黑球或白球其中有等于 8
7、 个的，那么就是：6*5+2+133如果黑球或白球其中有等于 9 个的，那么就是：6*5+1+1324地上有四堆石子，石子数分别是 1、9、15、31 如果每次从其中的三堆同时各取出 1 个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同? （如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）不可能。因为总数为 1+9+15+31 5656/41414 是一个偶数而原来 1、9、15、31 都是奇数，取出 1 个和放入 3 个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14 个） 。容斥原理（一）【例题分析】例 1. 有长 8 厘米，宽 6 厘米的长方形
8、与边长 5 厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：（平方厘米）方法一： （平方厘米）方法二： （平方厘米）方法三： （平方厘米）答：盖住桌面的面积是 67 平方厘米。例 2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共 26 人，其中参加无线电小组的有17 人，参加航模小组的有 14 人，两组都参加的有多少人？分析与解：把 17 人和 14 人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数 （人）。也可以这样解： （人）或 （人）答：两组都参加的有 5 人。例 3. 六一班有学生 46 人，其
9、中会骑自行车的有 19 人，会游泳的有 25 人，既会骑车又会游泳的有 7 人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？分析与解：先求出 46 人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。（人）（人）答：既不会骑车又不会游泳的有 9 人。例 4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有 20人，参加音乐小组有 24 人，参加手工小组有 31 人，同时参加美术和音乐两个小组有 5 人，同时参加音乐和手工两个小组有 6 人，同时参加美术和手工两个小组的有 7 人，三个小组都参加的有 3 人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人
10、？分析与解：图中的 5、6、7 人都是两两重叠的部分，图中的 3 人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。（人）答：这个年级参加课外小组的有 60 人。例 5. 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有 4 人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。短跑 投掷 跳远 跑跳 跑投 跳投 三项19 21 20 9 10 6 3分析与解：根据题意画出如下图要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。（人）（人）答：全班有 42 人。例 6. 分母是 105 的最简真分数有多少个？分析与解：
11、这些分数是最简真分数，所以分子应小于 105，只能是 1104中的自然数，而且分子与 105 要互质。因为 ，所以分母不能是 3的倍数或 5 的倍数或 7 的倍数。所以，要求有多少个最简真分数，实际上就是求 1104 这 104 个自然数中不能被 3、5、7 整除的数有多少个。因此要先求出能被 3 整除或能被 5 整除或能被 7 整除的数有多少个。能被 3 整除的数： （个）能被 5 整除的数： （个）能被 7 整除的数： （个）能同时被 3 和 5 整除的数：能同时被 3 和 7 整除的数：能同时被 5 和 7 整除的数：（个）（个）答：分母是 105 的最简真分数有 48 个。【模拟试题】
12、（答题时间：30 分钟）1. 有三个面积各为 50 平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12 平方厘米，三个圆相交的面积是 5 平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？2. 某区有 100 名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有 75 名，既懂英语又懂日语的有 20 人。只懂日语的有多少名？3. 某班数学测验时有 10 人得优，英语得优有 12 人，两门都得优有 3 人，两门都没得优的有 26 人。全班有多少人？4. 六年级一班春游，带矿泉水的有 18 人，带水果的有 16 人，这两种至少带一种的有 28 人，求两种都带的有多少人？5. 在 1 至 100 的自然数中，不能被 2
13、整除的数或不能被 3 整除或不能被 5 整除的数共有多少个？容斥原理（二）【例题分析】例 1. 有 25 人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有 10 人，第二次达到优秀的有 13 人，第三次达到优秀的有 15 人，三次都达到优秀的只有 1 人。只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。（人）答：只有两次达到优秀的有 11 人。例 2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有 6 人要了冰棍，6 人要了汽水，4 人要了
14、雪碧，只要冰棍和汽水的有 3 人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有 1 人；三样都要的有 1 人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。方法一： （人）方法二： （人）答：共有 10 个小朋友去了冷饮店。例 3. 有 28 人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有 8 人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是 17 人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用 0 表示。（人）答：只参加跑和投掷两项的有 3 人。有 8 人没参加跑的项目,说明这
15、 8 只参加投跳,因为没人必须两项,又不含跑.参加投掷项目的人数是 17,所以没参与投掷,也就是只参加跑跳=28-17=11.同时参加跑和跳两项的人数 17 人（没有只是二字）,所以三项的=17-11=6,所以参加跑和投掷两项的有 17-8-6=3例 4. 某校六年级二班有 49 人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30 人参加，英语有 20 人参加，语文小组有 10 人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有 3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有 1 人，求既参加英语又参加数学小组的人数。分析与解：根据已知条件画出图。三圆盖住的总
16、体为 49 人，假设既参加数学又参加英语的有 x 人，既参加语文又参加英语的有 y 人，可以列出这样的方程：整理后得：由于 x、y 均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数 2，另一个质数为7。答：既参加英语又参加数学小组的为 2 人或 7 人。例 5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人，数学、英语两科满分者 8 人，数学、语文两科满分者 7 人，语文、英语两科满分者 9 人，三科都没得满分者 3 人。问这个班最多多少人？最少多少人？分析与解：根据题意画图。设三科都得满分者为 x全班人数整理后：全班人数39x39+x 表示全班人数，当 x
17、取最大值时，全班人数就最多，当 x 取最小值时，全班人数就最少。x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而 x 中的人数一定不超过两科得满分的人数，即 且 ，由此我们得到 。另一方面 x 最小可能是 0，即没有三科都得满分的。当 x 取最大值 7 时，全班有 人，当 x 取最小值 0 时，全班有39 人。答：这个班最多有 46 人，最少有 39 人。【模拟试题】（答题时间：30 分钟）1. 六年级共有 96 人，两种刊物每人至少订其中一种，有 的人订少年报，有 的人订数学报，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表
18、（单位：平方米）姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积小明 14 12 8 4 38小龙 20 12 8 4 44他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班 45 名同学参加体育测试，其中百米得优者 20 人，跳远得优者 18 人，又知百米、跳远都得优者 7 人，跳高、百米得优者 6 人，跳高、跳远均得优者8 人，跳高得优者 22 人，全班只有 1 名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出 10 名三好学生，又知四、五年级连续三好生 4 人，五、六年级连续三好生 3 人，四年级、六年级两年评上三好生的有 5 人，四、五、六三年没评过三好生的有 20 人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
