1、 数学应用问题一、知识要点数学应用题是指有实际背景或问题有实际意义的数学问题。数学的高度抽象决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化为相应的数学问题。解题的一般步骤为：（1）缜密审题：要冷静读题，理解问题的实际背景，明确题意，把握问题的数学本质。（2）建立数学模型：具体分析问题中的数量关系，根据题目的特点，建立能正确反映原问题实质的数学模型，将应用问题转化为数学问题。（3）运用数学知识和方法解决上述数学问题，检验结果的实际意义，作出答案。建立数学模型是解应用题的关键，要注重积
2、累，认真总结，掌握常见数学模型的构作方法。二、例题解析例 1、 某林场原有森林木材存量为 a，木材以每年 25%的增长率生长，若每年冬天需要砍伐的木材量是一个常量，为了实现经过 20 年达到木材存量至少翻两番的目标，那么每年至多只能砍伐多少木材量？（计算时取 lg2=0.30 ） 。解：本例可以将实际问题归纳为数列问题，然后通过解不等式解决，它是一类问题的代表。 设每年冬天木材砍伐量为 x，扣除砍伐量后，木材存量组成一个数列，解：本例可以将实际问题归纳为数列问题，然后通过解不等式解决，它是一类问题的代表。 设每年冬天木材砍伐量为 x，扣除砍伐量后，木材存量组成一个数列，即数列 是等比数列，首项
3、为 ，公比则 lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2A=100即数列 是等比数列，首项为 ，公比则 lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2A=100答：每年至多只能砍伐木材量 。 例 2、 假设国家收购某种农产品的价格是 120 元/担，其中征税标准为每100 元征 8 元（叫作税率为 8 个百分点，即 8%） 。计划可收购 m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低 x 个百分点，预计收购量可增加 2x 个百分点。（1）写出税收 y（万元）与 x 的函授关系式；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的 78%，试确定 x 的范围。解：解答实际应用题的关键
4、在于如何将文字语言转化为数学中的符号语言。（1）由题设，调节后税率为（8-x）%，预计可收购m(1+2x%)万担，总金额为 120m（1+2x%) 万元，依题意得 ：（2）原计划税收为 万元，依题意有：故 为所求。 例 3、在一张半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度 I 和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即： ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？解：本题即为题目中提供解决问题的经验公式的一类应用题，如图所示，问题的本质是求照度 I 取最大值时，高度 h
5、 应取何值，从题设公式 中，可以看出影响 I 的大小变化的是两个变量 与 r ，如何用 h 表示 与 r，或者设法消去 与 r 中的一个，总之使照度 I 成为一元函数，再求出函数取得最大值的条件即成为解题的关键。为便于求 I 的最大值，可先求 的最大值，（常数）当且仅当 ，即 时，上式取等号，亦即 取得最大值，同时 I 取得最大值。此时 ，当把灯挂在桌面正中央离桌面 处时，桌子边缘亮度最大。例 4、某工厂拟建造一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池（平面图如下） ，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米。如果池外圈周壁造价为每米 400 元，中间两条隔墙造价为每米 248
6、元，池底造价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。解：设污水池长 x 米，则宽为 米，总造价:当且仅当 ，即 x=18 时取等号。即 Q(x)最小值不是 44800 元。为求 Q(x)在 上的最小值，不妨研究 Q(x)的单调性： 故 在 上是减函数故 最小值为即 x=16 米时，综上知，当污水池长为 16 米，宽为 12.5 米时，总造价最低，为 45000 元。三、复习思考1、将一半径为 R 的木球加工成一正方体木块，则木块的最大体积为（ ）A、 B、 C、 D、2、某抛物线形拱桥的跨度为 20 米，拱高是 4 米，在建桥时，每隔 4
7、米需用一根柱支撑，其中最长的支柱是（ ）A、1.48 米 B、2.92 米 C、3.84 米 D、4 米3、某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为 ，第三年比第二年增长的百分率为 ，第四年比第三年增长的百分率为 ，设年平增长率为 P，且 + + 为定值，则 P 的最大值为 4、某地区有绿地 1000 亩，计划以后三年中每年比前一年增加 10%，则三年后绿地的亩数是 5、某企业经过调整后，第一年的资金增长率为 300%，以后每年的资金增长率都是前一年增长率的 。 （1）经过 4 年后，企业的资金是原来资金的多少倍？ （2）如果由于某种原因，每年损失资金的 5%，那么经过多少年后企业的 资金开始下降？ 解：本例可以将实际问题归纳为数列问题，然后通过解不等式解决，它是一类问题的代表。 设每年冬天木材砍伐量为 x，扣除砍伐量后，木材存量组成一个数列，即数列 是等比数列，首项为 ，公比则 lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2
