1、1【题型综述】函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必,abyfx有最大值与最小值.设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：fx,ab(,)f,ab（1）求 在 内的极值；()（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的fx()ff一个是最小值.函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；,ab（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多
2、个（或者没有） ，但最大（小）值只有一个,ab（或者没有） ；（3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【典例指引】例 1已知函数 .cosxfe（1）求曲线 在点 处的切线方程；y0,f（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.fx,2【思路引导】（1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即可， （2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定最2值的取值地方从而计算得出最值点评：对于导数的几何意义的
3、应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可得到最值例 2设函数 .ln,21xfxge(1)关于 的方程 在区间 上有解，求 的取值范围；2103m,3m(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.0xxafa【思路引导】（1）方程 等价于 ，利用导数研究函数的单调性，结合函数2103f27ln3hxx图象可得 的取值范围；（2） 恒成立等价于mgaf恒成立，两次求导，求得 的最小值为零，从而可得实ln1xFxgfe Fx数 的取值范围.a试题解析：（1）方程 即为 ，令 ，20
4、3fxxm27ln3xm27ln03hx则 ， 当 时， 随 变化情况如表：1723hx1,x3x13,23,2h0x43 极大值 ln32， 当 时， ，451,ln2,l324hh1,3x35ln2,l4hx的取值范围是 .ml,l例 3已知函数 的一个极值为 321hxxmR2（1）求实数 的值；m（2）若函数 在区间 上的最大值为 18，求实数 的值x,2kk【思路引导】（1）由题意得 ，函数 有两个极值为 和令 ，从而261621hxxxhx2h1得到实数 的值；（2）研究函数 在区间 上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数 的mh3,k k方程，解之即可. 4试题解析：（1）由
5、 ，得321hxxmR，2616hx令 ，得 或 ；令 ，得 ；0x0hx21x令 ，得 或 .所以函数 有两个极值为 和令 .2h1若 ，得 ，解得 ；2h3212m2若 ，得 ，解得 ；1215综上，实数 的值为 或 5. m（2）由（1）得， ， 在区间 上的变化情况如下表所示：hx3,25【同步训练】1已知函数 （ 且 ） ， 为自然对数的底数1lnxfaea01ae（）当 时，求函数 在区间 上的最大值；eyf,2x（）若函数 只有一个零点，求 的值fx【思路引导】(1)由导函数的解析式可得 2max 10,3ffe(2)由 ，得 ，分类讨论 和 两种情况可得 0fxloge1aae
6、6（） ， ，1lnxfaealnlxxfaeae令 ，得 ，则0og当 时， ，1lx,laelogaelog,aef 0fx极小值所以当 时， 有最小值 ，logaefxmin1loglnafxfea因为函数 只有一个零点，且当 和 时，都有 ，则fxfx，即 ，min1l0fea1l0ea因为当 时， ，所以此方程无解当 时， ，0lx,logaelogaelog,aef 0fx极小值7点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查
7、主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用2已知函数 f(x)( x k)ex，(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0，1上的最小值【思路引导】（1）f（x）=（xk+1）e x，令 f（x）=0，得 x=k1由此能求出 f（x）的单调区间（2）当 k10 时，函数 f（x）在区间0，1上递增，f（x） min=f（0）=k；当 1k2 时，函数f（x）在区间0，k1上递减， （k1，1上
8、递增， ；当 k2 时，函数 f（x）在区间0，1上递减，f（x） min=f（1）=（1k）e试题解析：(1) f( x)( x k1)e x.令 f( x)0，得 x k1. 当 x 变化时， f(x)与 f( x)的变化情况如下：8x (， k1) (k1) (k1，)f( x) 0 f(x) e k1 所以， f(x)的单调递减区间是(， k1)；单调递增区间是( k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(0) k.当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0， k1)上单调递减，在( k1，1上单调
9、递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)e k1 .当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0，1上单调递减，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(1)(1 k)e. 3已知函数的 图象在点 处的切线方程为 . cos24faxb,4f54yx(1)求 的值；,ab(2)求函数 在 值域.fx,42【思路引导】（1）求得 的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得 的方程组，解方程即可得到fx ,ab所求；（2）求得 的导数，利用导数研究函数 的单调性，利用单调性即可得3cos24fxx到函数 在 值域.fx,4294设函数 ， .lnfx21xge（1） 关于
10、的方程 在区间 上有解，求 的取值范围；203fm,3m（2） 当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.0xxafa【思路引导】（1）方程在一个区间上有解，可以转化为 有解，研究该函数的单调性和图像使得常函27ln3x数和该函数有交点即可。 （2）该题可以转化为当 时， 恒成立，令0gxfa研究这个函数的单调性和最值即可。Fxgfx当 时， 随 变化情况如下表：1,3x,hx131,2323,23hx+ 0 -10hx43 极大值 ln32 ， ， ，14ln23h3524hln当 时， ，,3xl,lx 的取值范围为m35ln2,l4（2）依题意，当 时， 恒成立0xgxfa令 ，ln10Fgfex5已知函数 .1lnxf（）求曲线 在点 处的切线方程.yf,2f
