1、行程问题解题技巧行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。相遇问题的模型为：甲从 A
2、地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了 A、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A， B 两地的路程(甲的速度乙的速度)相遇时间速度和 相遇时间基本公式有：两地距离=速度和相遇时间相遇时间=两地距离速度和速度和=两地距离相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从 A 地出发，乙从 B 地出发相向而行，两人在 C 地相遇，相遇后甲继续走到 B 地后返回，乙继续走到 A 地后返回，第二次在 D 地相遇。则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。相遇问题的核心是“速度和” 问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。相离
3、问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和） 。基本公式有：两地距离=速度和相离时间相离时间=两地距离速度和速度和=两地距离相离时间相遇（相离）问题的基本数量关系： 速度和相遇（相离）时间相遇（相离）路程在相遇(相离) 问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与
4、慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。基本公式有： 追及（或领先）的路程速度差=追及时间 速度差追及时间= 追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程追及时间=速度差要正确解答有关“行程问题” ，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向） ，出发的时间（同时、不同时） ，出发的地点（同地、不同地） 、运动的路线（封闭、不封闭） ，运动的结果（
5、相遇、相距多少、追及） 。常用公式：行程问题基本恒等关系式：速度时间=路程，即 S=vt.行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比；时间一定的情况下，路程和速度成正比；速度一定的情况下，路程和时间成正比。相遇追及问题中符号法则：相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。流水行船问题中符号法则：促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。 行程问题常用比例关系式：路程比=速度比时间比，即 S1/S2=v1/v2t1/t2电梯运行规律：能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）顺电梯运动所需时间能看到的电梯级数=（人速电梯速度）逆电梯运动所需时间2v1v2往返运动问题核心公式：往返平均速度=
6、 - (其中 v1 和 v2 分别表示往返的速度)v1+v23S1+S2两次相遇问题核心公式：单岸型 S= -； 两岸型 S=3S 1-S2 （S 表示两岸的距离）2相向而行：相遇时间=距离速度之和相背而行：相背距离=速度之和时间注意：同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。环形运动的追击问题和相遇问题：若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈；若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动
7、情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。（3）甲的速度是 a，乙的速度是 b，在相同时间内，甲、乙一共行的At+bt=s t=s/a+b S 甲=a*t=a*s/a+b S 乙=b*t=b*s/a+b封闭路线中的行程问题解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地
8、解决。直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。流水行船问题顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系：船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度船速+水速=顺水船速船速水速=逆水船速（顺水船速+逆水船速）2= 船速（顺水船速逆水船速）2=水速顺水船速=船速+
9、 水速=逆水船速 +水速2过桥问题 一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。 解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。 基本公式有：桥长+车长=路程 平均速度过桥时间= 路程过桥时间=路程平均速度奥数行程问题解题方法1、信心不足有不少孩子往往一拿到行程问题的题目心里就发怵，没有信心去把题目解决。究其原因，主要是他们在平时做行程问题时选题的难度不适当， 对一些基本的 题目没能做到熟练掌握。而 现在学生们自己从一些参考书上找的练习题难度不一、 类型各
10、异。 这样的话 ，孩子自己很难在短期内把行程问题掌握。于是就造成了这样一种现象：感觉学了很长时间，也还是有很多题目不会做。时间一长，自然孩子们就很难建立起足够的自信心。因此，同学们在做行程问题时一定不要盲目的做那些难度很大的题目，从简单的常规题目开始，一步一脚一印，逐步建立自己的信心，相信自己一定能够攻克行程问题。作为家长，在指导孩子学习的时候要多鼓励他们，千万不能急于求成，要谨慎的给孩子安排一些难度大的题目。不要急于给孩子安排做一些 竞赛题或导引上的 题目。一定要根据自己孩子的程度循序 渐进的增加难度。2、耐心不够行程问题很多题目的文字叙述比较其他题目要普遍的 长一些，这样对于小学生来讲，去
11、理解题意也就增加了难度。因而多数孩子都不愿 读长题， 这样首先从 心理上就对题目产生了厌倦感和恐惧感。那么势必造成对题目理解的不够，分析的不透 彻。 这就是因 为孩子在做题时缺乏足够的耐心，急于求成。而做行程问题最重要的前提恰恰是要把 题意理解透彻 ，把 过程分析清楚，把这前期工作做好了后，后面解题的过程也就会变得简单了。我们发现往往是老师把题目读完，把相应的过程给孩子分析完之后，他们自己很快就能找到解题的思路和方法。希望同学们在做 题时一定要有耐心，一步一步安心思考，逐步把已知条件和所要求的未知条件建立联系。经过这么逐步分析，你一定会找到解 题 的方法的。家长在这时也可以慢慢提示着帮孩子理解
12、题意，逐步培养他 们分析题目的能力。3、习惯不良有一些孩子做题时不喜欢写步骤和过程，往往是只写答案。有的是写了几个简单的算式而没有相应的文字提示。例如这样一道题：甲乙二人分别从 AB 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇时距离 A 地 60千米，然后两人继续前行，分别到达 BA 后调头继续前行。当他们第二次相遇时距离 B 地 30 千米。问AB 两地的距离是多少？一道非常典型的迎面相遇问题。我们发现很多孩子都会解这道题，他们能够很快的列出算式。60330150（千米）但如果你要是问这个算式的含义，就有很多同学回答不上来了。他们往往只是记住了这个解题算式。原因还 在于在平时的学习过程中过 分重
13、视算式和结果，而忽 视了解题思路和方法的掌握。对老师在解题过程中做的分析和讲解没有理解充分，对一些关键的字眼没能做好记录。因而同学们在听课的过程中要注意记录老师对题目所做的文字分析，不明白的要及 时询问老师，只有真正把老师所讲题目的解题思路搞懂了才能逐步掌握这类题目的解题方法。如果自己有新的想法，有更好的思路也一定要积极的和老师探讨，以确 认方法的正确性。家 长们 在对孩子的学习进行监督时也不能只看孩子的解题结果，而是要问明白孩子所列算式的来 龙去脉，鼓励孩子讲题给你听。相信这样对孩子的学习帮助会更大。4、做题时不喜欢画图其实，如果能把题目所叙述的过程表现出来，题目的难度自然就会大大降低。因为
14、如果单纯凭空想象一些相遇或追及过程不仅很困难，也很容易出 错，尤其是那些多人相遇或追及，多次相遇或追及那就更不可想象了。所以同学们 平时做题时一定要养成画图 的好习惯， 这对你分析解题会起到很大的作用的。所以老师讲题过程中画的 图大家一定要记录好。解行程问题的方法已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。 解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。行程问题的基本数量关系是：速度时间=路程路程速度=时间路程时间=速度行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。（一）相遇问题总
15、路程=（甲速+ 乙速） 相遇时间相遇时间=总路程（甲速 +乙速）另一个速度=甲乙速度和- 已知的一个速度1.求路程（1）求两地间的距离例 1 两列火车同时从相距 480 千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶 40 千米，乙车每小时行驶 42 千米。5 小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度）解：此题的答案不能直接求出，先求出两车 5 小时共行多远后，从两地的距离 480 千米中，减去两车 5 小时共行的路程，所得就是两车的距离。480-（40+42）5例 2 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时相向而行，甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米。二人第一次相遇后，都继续前进，分
16、别到达 B、A 两地后又立即按原速度返回。从开始走到第二次相遇，共用了 6 小时。A 、B 两地相距多少千米？（适于五年级程度）（5+4）63=18 （千米）例 3 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶 60 千米，第二列火车每小时行驶 55 千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了 20 千米。求甲、乙两地间的距离。（适于五年级程度）解：两车相遇时，两车的路程差是 20 千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。（60+55 ）20（60-55） =1152
17、05 =460（千米）*例 5 甲、乙二人同时从 A、B 两地相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 5 千米，两个人在距离中点 1.5 千米的地方相遇。求 A、B 两地之间的距离。（适于五年级程度）解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了 1.52 千米（图 35-2），甲比乙每小时多行（6-5 ）千米。由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出 A、B 两地之间的距离。（6+5）1.52（6-5 ） =111.521 =113=33（千米）1、求分别走的路程例 1 两地相距 37.5 千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走 3.5 千米，乙每小时走 4 千米。相遇时甲、乙
18、二人各走了多少千米？（适于五年级程度）解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是：37.5（3.5+4）=5 （小时）3.55=17.5（千米）45=20 （千米）例 2 甲、乙二人从相距 40 千米的两地同时相对走来，甲每小时走 4 千米，乙每小时走 6 千米。相遇后他们又都走了 1 小时。两人各走了多少千米？（适于五年级程度）解：到甲、乙二人相遇所用的时间是：40（4+6）=4（小时）由于他们又都走了 1 小时，因此两人都走了：4+1=5（小时）甲走的路程是：45=20（千米）乙走的路程是： 65=30（千米）例 3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行 48.65 千米，第
19、二列火车每小时行 47.35 千米。在相遇时第一列火车比第二列火车多行了 5.2 千米。到相遇时两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）解：两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相遇时间=路程差速度差 ”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。从出发到相遇所用时间是：5.2 （48.65-47.35）=5.21.3=4（小时）第一列火车行驶的路程是：48.654=194.6（千米）第二列火车行驶的路程是：47.354=189.4（千米）*例 4 东、西两车站相距 564 千米，两列火车同时从两站相对开出，经 6 小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快
20、 2 千米。相遇时这两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）解：两列火车的速度和是：5646=94（千米/ 小时）第一列火车每小时行：（94+2）2=48 （千米）第二列火车每小时行：48-2=46（千米）相遇时，第一列火车行：486=288（千米）第二列火车行：466=276（千米）2.求相遇时间例 1 两个城市之间的路程是 500 千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时 55 千米，货车的平均速度是每小时 45 千米。两车开了几小时以后相遇？（适于五年级程度）解：已知两个城市之间的路程是 500 千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。用两城之间
21、的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。500（55+45 ） =500100=5（小时）例 2 在一次战役中，敌我双方原来相距 62.75 千米。据侦察员报告，敌人已向我处前进了 11千米。我军随即出发迎击，每小时前进 6.5 千米，敌人每小时前进 5 千米。我军出发几小时后与敌人相遇？（适于五年级程度）解：此题已给出总距离是 62.75 千米，由“敌人已向我处前进了 11 千米”可知实际的总距离减少到（62.75-11）千米。（62.75-11）（6.5+5）=51.7511.5=4.5（小时）答：我军出发 4.5 小时后与敌人相遇。例 4 甲、乙两地相距 200 千米，一列货车由
22、甲地开往乙地要行驶 5 小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶 4 小时。如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇？（得数保留一位小数）（适于五年级程度）解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时间=路程 速度” 的关系，即可求出相遇时间。200（2005+2004）=200（40+50）=200902.2（小时）答：两车大约经过 2.2 小时相遇。例 5 在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是 180 米，速度为每秒钟 9 米；慢车车身长 210 米，车速为每秒钟 6 米。从两车头相遇到两车的尾部离开，需要几秒钟？（适于
23、五年级程度）解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。（180+210）（9+6）=39015=26（秒）答略。3.求速度例 1 甲、乙两个车站相距 550 千米，两列火车同时由两站相向开出，5 小时相遇。快车每小时行 60 千米。慢车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行：5505-60=110-60=50（千米）答略。例 2 A、 B 两个城市相距 380 千米。客车和货车从两个城市同时相对开出，经过 4 小时相遇。货车比客车每小时快 5
24、千米。这两列车每小时各行多少千米？（适于五年级程度）解：客车每小时行：（3804-5）2=（95-5）2=45 （千米）货车每小时行：45+5=50 （千米）答略。例 3 甲、乙两个城市相距 980 千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过 10 小时相遇。快车每小时行 50 千米，比慢车每小时多行多少千米？（适于五年级程度）解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。50-（ 98010-50）=50- （98-50）=50-48=2 （千米）例 4 甲、乙两地相距 486 千米，快车与慢车
25、同时从甲、乙两地相对开出，经过 6 小时相遇。已知快车与慢车的速度比是 54。求快车和慢车每小时各行多少千米？（适于六年级程度）例 5 两辆汽车同时从相距 465 千米的两地相对开出，4.5 小时后两车还相距 120 千米。一辆汽车每小时行 37 千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：如果两地间的距离减少 120 千米，4.5 小时两车正好相遇。也就是两车 4.5 小时行 465-120=345 千米，345 千米除以 4.5 小时，可以求出两车速度之和。从速度之和减去一辆车的速度，得到另一辆车的速度。例 6 甲、乙两人从相距 40 千米的两地相向而行。甲步行，每小时走 5
26、千米，先出发 0.8 小时。乙骑自行车，骑 2 小时后，两人在某地相遇。乙骑自行车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：两人相遇时，甲共走： 0.8+2=2.8（小时）甲走的路程是：52.8=14（千米）乙在 2 小时内行的路程是：40-14=26（千米）所以，乙每小时行：262=13（千米）综合算式40-5 （0.8+2）2=40-52.82=40-142=262=13（千米）答略。例 7 甲、乙二人从相距 50 千米的两地相对而行。甲先出发，每小时步行 5 千米。1 小时后乙骑自行车出发，骑了 2 小时，两人相距 11 千米。乙每小时行驶多少千米？（适于五年级程度）解：从相距的 50 千米中，去掉甲在 1 小时内先走的 5 千米，又去掉相隔的 11 千米，便得到：50-5-11=34（千米）这时，原题就改变成“两地相隔 34 千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。甲步行，乙骑自行车，甲每小时走 5 千米。经过 2 小时两人相遇。乙每小时行多少千米？”由此可知，二人的速度和是：342=17 （千米/小时）乙每小时行驶的路程是：17-5=12（千米）综合算式：（50-5-11）2-5=342-5=17-5=12（千米）答略。（二）追及问题
