1、尺规作图五点定椭圆的方法徐文平（东南大学 南京 210096）摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和 cad 软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。一、引言在几何画板和 cad 软件中， 任意五个点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标 x、y 主轴方向第三步、确定椭圆的长轴 a 和短轴 b1）大狗熊定理 1：二次圆锥曲线内接四边形的对边
2、延伸线两交点调和分割对角线两极点。如图 1，椭圆内接四边形 KLMN，对边线 KN 与 LM 交于 A，对边线 KL 与 NM 交于 B，对角线 KM 的极点为 C，对角线 LN 的极点为 D，KM 与 LN 交于 Q 点，则 A、B、C、D四点共线，且 AB 调和分割 CD，即 1/AC+1/AD2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。2）命题 1：已知椭圆的斜向割线 AB，作一条过椭圆圆心 O 点的任意割线 JK， JA、BK 交于 E 点，JB、AK 交于 F 点，确定 EF 的中点 N 点，连线 NA、NB 就是椭圆的切线。证明：由于割线 JK 的切线交点极点在无穷远，利用定理 1，可
3、以快速证明这个命题。定理 2：圆锥曲线 的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。命题 3（高斯定理）：已知椭圆外一点 P，过 P 点作 PAB 与 PCD 二条任意椭圆割线，AD、CB 交于 Q 点，AC 、BD 延长交于 R，连线 QR 与椭圆交于 S、T 两点，PS 、PT 就是椭圆的切线。图 3二、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。图 4问题 1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线 PQ 的切线极点如何办？切线方法：帕斯卡定理（五点 + 一个切点二次）做切线，或者如图 5 方法作
4、切线。图 5命题 4：已知椭圆上 P、H、G 、Q 、A 五点，利用椭圆内接四边形 PQGH 确定对角线PQ 和 GH 交叉点 T，可绘制极点 T 的极线 E F，利用椭圆内接四边形 PQAB(H)确定对角线 PQ 和 AB(H)交叉 S 点（利用帕斯卡定理，新构造椭圆第六点 B 点，替换 H 点） ，绘制极点 S 的极线 MN，极线 MN 和极线 EF 交于 C 点，C 点即为 PQ 割线的极点。证明：依据极点极线的对偶定理，由于 S、T 为 PQ 极线上的二点，可可知 S、T 极点的极线 MN 和极线 EF 相交于 C 点就是 PQ 的极点，连线 PC、QC 就是椭圆的切线。（该方法也适合
5、于双曲线和抛物线的情况）问题 2：椭圆上五点有时候似乎不够啊，如何构造椭圆上的临时第六点啊。命题 5：运用帕斯卡原理，通过椭圆上五点，可以增加椭圆上一点。Pascals 定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给 1, 2, 3, 4, 5五点，其中任意三点不在同一直线上（特例将在后面讨论） ，但五点的平面位置为任意。我们将这五点依次相连，并设线段 12 与 45 的交点为 L。为了构作圆锥曲线上的任意一点，如点 6，我们通过点 1 任意作一直线 a，设 a 与线段 34 交于点 N，再通过 L 和 N 作直线 b，设 b 与 a 交于 M，图 74-3；再通过 5 和 M 作直
6、线 c，则 c 与 a 的交点就是期望的第六点 6命题 6：利用侯明辉三割线定理加上阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多椭圆点。在尺规作图五点定椭圆中，已知椭圆上五点（不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆心，也不知道椭圆的 xy 坐标主轴情况下） ，需要构造其他的椭圆点。即 A、B、C 三点已经知道（还有其他二点知道） ，采用其他办法作出 AB 割线的极点N，利用侯明辉三割线定理以及调和分割性质确定新的椭圆点 E 点方法：连接 CN 线段交 AB 线段于 M 点，取线段 MN 中点 J 为圆心，画圆直径为MN，过 C 点作 MN 的垂直线交圆于 F 点，过 F 点作切线（或者是作垂直 JF 的线段 E
7、F） ，交 MN 于 E 点，则构成调和分割的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点用途。图 7工程应用实例：（是用 5 点定圆心的，没有构造第六点方法）图 8三、确定椭圆坐标主轴方向目标：通过已知的椭圆圆心和椭圆上三点，寻找椭圆坐标主轴方向。图 9原理：利用椭圆圆心，构造二条共轭直径，然后确定椭圆坐标主轴方向方法：利用椭圆圆心，首先构造一条共轭直径，作图共轭直径端点的切线方向（确定另外一条共轭直径的方向） ，作平行线通过构筑一条椭圆共轭弦，采用仿射几何方法转换为二条共轭直径。1) 作 AB 割线的切线极点 N图 102) 作 AF 共轭直径(连接 OA)，作 CL 共轭弦( 平行 AN)图 11
8、3) 仿射几何构筑 OE 共轭半径图 12方法：作直径为 AF 的圆，过 N 点作 MN 垂直 AF，作三角形 MNL.作 KO 垂直 AF，过 K 点作 MLDE 平行线，KE 和 OE 延伸交于 E 点。依据仿射原理，可知，OE 为椭圆的共轭半径。4) 构筑椭圆坐标主轴方向图 13方法：绕椭圆圆心 O 点，OE 旋转 90 度，获得 N 点，连接 NA 连线，获得 NA 中点 KK 点为圆心，作任意半径的圆，与 KO 交于 W 点，与 NA 交于 H、G 点。.则 WC 为长轴方向，HW 为短轴方向，完成椭圆坐标主轴方向确定。证明：分析 OK 线段的斜率与 NA 线段的斜率的关系（1）共轭
9、直径的性质图 14如果，点 ，椭圆共轭直径推理，则有，1yxA， 1yabxC，对于点 C 分析，则有： ， 12sinco12cosi（2）共轭直径的椭心角为 90简单分析可以得到，C1OA190 图 15（3）共轭半径旋转 90图 16分析可以得知： ， ，11sincobaA， 22sincobaC，C 点绕原点旋转 90，则：， coaN，（4）图形分析研究图 17问题 1：延伸连线 NK，与坐标轴交于 U、V 两点。要构筑椭圆坐标主轴方向的方法成立，只需证明 1VOA1VOK=OVU=1，即证明 OKV 和 ONU 是等腰三角形，命题就成立。现在，VOK=1 已经成立，1sincob
10、aA， 22cossinbaN，由于： ， 21则： 坐标，可以化为 cssiN， 11sincaN，分析 NA 线段的斜率： )t(1cosini)tan( 11123 abxy则： ， 等腰三角形图形成立，命题成立。3问题 2：K 点为 OA1 与 NA 线段的交点，是不是位于 NA 线段的中点啊。假如 K 为 NA 线段的中点，分析 K、A1 、O 三点共线，就 okK 点坐标， 11sin2cobaA，对于 OK 线段分析斜率：，斜率相同，命题成立。)tan()tan(112xy四、确定椭圆长轴 a 和短轴 b目标：已知椭圆心和坐标轴、已知椭圆上二点，确定椭圆长轴 a 和短轴 b原理：
11、运用极点和极线关系，构造自配极三角形，确定椭圆长轴和短轴位置。方法：利用椭圆上二点构造轴对称二点，构成椭圆内接四边形，连接对角线，获得交叉点和对边交叉点，运用二个极点的数学关系，完成长轴和短轴位置。1）构造自配极三角形，寻找二个对偶极点图 18E 点为 B 点的轴对称点， N 点为 x 轴与 AE 的交叉点令 ，lOcQ极点极线关系方程分析得知： cal2（类似椭圆准线方程） 2）确定长轴 a 位置连线 QN， K 为 QN 中点，以 K 圆心半径为 KN 画圆，过 O 点作圆 K 的切线 E，以 OE 为半径原点 O 为圆心作一个圆，与 x 轴交于 F 点， F 点即为长轴 a图 193）确定长轴 b 位置利用切线方法，构造割线 AB 的极点 N 点，过 N 点作水平线交 y 轴于 G 点，延伸割线 AB 与 y 轴交于 P 点，连线 PG， K 为 PG 中点，以 K 圆心半径为 KP 画圆，过 O 点作圆 K 的切线 R，以 OR 为半径原点 O 为圆心作一个圆，与 y 轴交于 U 点，U 点即为短轴 b图 20
