1、第 7 章 拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用7.1 拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算 328.957102.6N53)64.(是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 164.lg20l.lg(l.lg，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数 N这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法7.1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数
2、 )(tf当 0时有定义，若广义积分dtefp0)(在 P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为 P的函数，记作 PF，即 tfp0)()(（7-1）称（7-1）式为函数 )(tf的拉氏变换式，用记号 tfL表示函数 F称为)(tf的拉氏变换(Laplace) (或称为 )(tf的象函数)函数 )(tf称为 )(P的拉氏逆变换（或称为 )PF象原函数） ，记作 )1tfPFL，即 1Ftf关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求 (在 0时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在 0t时， )tf（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数 P是在复数范围内取
3、值为了方便起见，本章我们把 P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的例 7-1 求一次函数 atf)(（ 。0为常数）的拉氏变换解 000 )( dtepaetetdpdteatL ptptp202ptt)(7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为 t)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流 )(ti，以 )(tQ表示上述电路中的电量，
4、则 .0,1,)(tt由于电流强度是电量对时间的变化率，即tQdtQtit)(lim)(0，所以，当 0t时， )(；当 时， )1(li)(li 00 tttt上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数定义 设ttt。01)(，当 0 时， )(t的极限)(lim)(t称为狄拉克（Dirac）函数，简称为 函数当 0t时， )(t的值为 0；当 t时， )(t的值为无穷大，即 0,)(t)(和 的图形如图 7-1 和图 7-2 所示显然，对任何 0，有1)(0dtt，所以 1)(dt工程技术中，常将 函数称为单位
5、脉冲函数，有些工程书上，将 函数用一个长度等于 1的有向线段来表示（如图 7-2 所示） ，这个线段的长度表示 函数的积分，叫做 函数的强度例 7-2 求 )(t的拉氏变换解 根据拉氏变换的定义，有 dtedtedtedtetL pppp 0000 1limli)1lim( )(11lim t，即 )(t例 7-3 求单位阶梯函数 0,1)(ttu的拉氏变换解 pedtedetuL ptppt 1)( 00 ， )0(例 7-4 求指数函数 atf)(（ 为常数）的拉氏变换解 teapptatat 0)(0 )(a，即1eLat 类似可得)0(sin2ptL；)0(cos2ptL习题 71求
6、1-4 题中函数的拉氏变换1 tef4)(2 23 atf4 。()sin()是常数） 7.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换性质 1 (线性性质) 若 1a， 2是常数，且 )()11pFtfL， )()22pFtfL，则 ()()( 212atftftfaL aP （7-2）证明 dtefdtefdtetftftftf ppp )()()( 020121021 )()()( Fapa例 7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）tetf； （2） ttfcosin)(解（1） )(111)( appaeLaLaeaL ttt （2） 4
7、22sincosinptt性质 2（平移性质） 若 )(Ff，则 )(aptfeLa（ 为常数） （7-3）证明 00 )()()( FdtdtfetfeLpata位移性质表明：象原函数乘以 t等于其象函数左右平移 个单位例 7-6 求 at， sinat和 costeLat解 因为 21pL， 2p， 2p，由位移性质即得。222)(cos )(sin1apteLapteLtat at性质 3（滞后性质） 若 )(Ftf，则 )()(pFeatfL0a （7-4）证明 detftf pt0)()(=dtetfdtp)0，在拉氏变换的定义说明中已指出，当 时， )(tf因此，对于函数 (，当0
8、at（即 at）时， )(atf，所以上式右端的第一个积分为 0，对于第二个积分，令 ，则 )()()( 00)( pFedfedeftfL appp 滞后性质指出：象函数乘以 a等于其象原函数的图形沿 t轴向右平移 a个单位（如图 7-3 所示） 由于函数 )(atf是当 t时才有非零数值故与 )(tf相比，在时间上滞后了一个a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在 这个函数上再乘 )(atu，所以滞后性质也表示为 )(pFefLa例 7-7 求 )(atu解 因为 Lp1，由滞后性质得ta1(例 7-8 求 )()teta解 因为t，所以)()(
9、) apetueLpta 。例 7-9 求下列函数的拉氏变换：（1） .,0)(21tactf（2）.4,0,21,3)(tttf解 （1）由图 7-4 容易看出，当 at时， )(tf的值是在 1c的基础上加上了（ 12c） ，即 )(2atuc故可把 )(f写成 )(21atuuc，于是 peepctfL paa)( 21121（2）仿（1） ，把 )(写成 4)(4)3(tuttu，于是peeptfLp424233)( 我们可以用拉氏变换定义来验算例 7-9 所得的结果由例 7-9 看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子例 7-10 已知 atcttf3,02,)(，求
10、)(tfL解：如图 7-5 所示， )(tf可用单位阶梯函数表示为 )3(2)()( atcuatcutf ，于是 )32)( atcuatcuLtf 123pppap eec，由拉氏变换定义来验证： aaptpt dcdtf032)( )21()21 33apaaa eeepc 性质 4（微分性质） 若 FtfL，并设 (tf在0，+ 上连续， )(tf为分段连续，则 0)()FL (7-5)证明 由拉氏变换定义及分部积分法，得 dteftfLp0)()( 00)( dtefPef ppt，可以证明，在 存在的条件下，必有 limtt因此， )()()()( fFfLftf微分性质表明：一个
11、函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数 p，再减去函数的初始值应用上述结果，对二阶导数可以推得 )0()()0()()0()( 2fpffpFftfpLtf 同理，可得 )()()()(23 ffftf 以此类推，可得 )0(0121)( nnnnn ppL （7-6）由此可见， tf各阶导数的拉氏变换可以由 的乘方与象函数 pF的代数式表示出来特别是当初值 )()0(0fff 时，有更简单的结果 ),2() tLnn。 （7-7）利用这个性质，可将 )(tf的微分方程转化为 pF的代数方程例 7-11 利用微分性质求 sintL和 cost解 令 ttfsi)(，则 tfff s
12、in)()0()( 2。 ，由 7-6 式，得2t )0(2fptL，即 sinsin2，移项化简得 2ipt利用上述结果，)(sn1cot及（7-5）式，可得isLt 0sini1)(si tpLtL220p性质 5（积分性质） 若 )(Ftf，且设 )(tf连续，则pFdxL0)( （7-8）证明 令 tdxf0)()(，显见 )0(，且因 )(tf，由微分性质，得tpLt，而 pFtftL ，所以有)()(0dxfptF，即)10pFdxfLt积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数 例 7-12 求 nt（ 是正整数） 解 因为 tt dxxddx0230
13、201。， tnndx01，所以由（7-8）式即得 ,!33 ,22,! 400ptLdxLt tt pLLttt 一般地，有 1101! nntnn txt性质 6 若 )(pFtfL，则 0a时 )(1)(apFtfL （7-9）性质 7 若 )(tf，则)(1()pFtfLnn （7-10）性质 8 若 )(pFtfL，且 tft)(lim0存在，则 pdtf)()( （7-11）例 7-13 求 sint解 因为 2pL，由（7-10）式可得 22)()()1si pdpt例 7-14 求nt解 因为 1si2pL，而且1sinlm0tt，所以由（7-11）式可得 parctgparc
14、gdt 2|n2即arctgdetptsi0因此，当 0时，得到一个广义积分的值02sindt这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下：表 7-1 拉氏变换的性质序号 设 )(pFtfL1 )()()( 2121 tfLatfatfL2 )(ptfe3 )(Futfa(a0)4)0(fL)()()( 21pfpFtfLnnnn )0(1nf5 tFdxf06 )(1)(aptfL（a0）7 )(Ftfnn8 pdFtfL)()(表 7-2 常用函数的拉斯变换表序号 )(tf )(pF1 12 )(tu p3 t 214
15、,.)21(nt 1!np5 ate a6 at1 )(p7 ate 2)(1a8 ),21(nta 1)(!np9 tsi 210 tco 2p11 )sin(t 2cossin12 )co(t 2ip13 tsin 2)(p14 ttcoi 23)(15 ts 2)(p16 teatin 2)(a17 tatcos 2)(p18 )1(2 )(12a19 btate )(bp20 t2 p121 t1 p1习题 7-2求 5-12 题中函数的拉氏变换5 te43 6 ttcos32sin57 co2sin 8 9 )(tf .4,1,0t10 )(tf .,0sint11 )(tf .,0
16、,2t12 )(tfatne7.3 拉氏变换的逆运算前面我们主要讨论了怎样由已知函数 )(tf求它的象函数 )(pF的问题运算法的另一面是已知象函数 )(pF要求它的象原函数 ，这就是拉斯逆变换问题同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出性质 1（线性性质） )()(21pFaL)()()()( 2121 tfatfpFLapa性质 2（平移性质） )(tfepFLea性质 3（滞后性质） 1 tutfea例 7-15 求下列象函数的逆变换：（1） 3)(p； （2） 3)2(1)p；（3）5F； （4） 4F解 （1）将 a代入表二（5） ，得tepLtf31)(（2）由性质及表二（4
17、） ，得 ttt PeepLtf 231231231 !)()( （3）由性质及表二（2） 、 （3） ，得 tpLtf 555)( 21121（4）由性质及表二（9） 、 （10） ，得 ttpLpLtf 2sin3co444)( 212121 例 7-16 求 53)F的逆变换解 4)1(52( 21 pptf )(4)(22121 LpL45peett sin25cosin2cottttttt 在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数例 7-17 求 659)(2pF的逆变换解 先将 )(pF分解为两个最简分式之和：3)3(6592BApp，用待定系数法求得 7， 6，所以 36276592pp，于是
