1、弦振动中误差的研究实验目的：（1） 研究弦振动中砝码的重力与绳子拉力之间的关系，测量砝码重力在多大范围内是和绳子张力相等的；（2） 研究弦振动中频率的改变对绳子张力和密度的影响，算出它们的误差。实验原理：如图（1）实验时在和间接上弦线（细铜丝） ，使弦线绕过定滑轮结上砝码盘并接通正弦信号源。在磁场中，通有电流的弦线就会受到磁场力（称为安培力）的作用，若细铜丝上通有正弦交变电流时，则它在磁场中所受的与电流垂直的安培力，也随着正弦变化，移动两劈尖（铜块）即改变弦长，当固定弦长是半波长倍数时，弦线上便会形成驻波。移动磁钢的位置，使弦振动调整到最佳状态（弦振动面与磁场方向完全垂直） ，使弦线形成明显的
2、驻波。此时我们认为磁钢所在处对应的弦“O”为振源，振动向两边传播，在铜块 A、B 两处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。为了研究问题的方便，认为波动是从A 点发出的，沿弦线朝端方向传播，称为入射波，再由端反射沿弦线朝端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖到适合位置弦线上的波就形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。设图中的两列波是沿 X 轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图可见，两个波腹间的距离都是
3、等于半个波长，这可从波动方程推导出来。下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿 X 轴正方向传播的波为入射波，沿 X 轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O”，且在 X0 处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波图（2）动方程分别为：Y1Acos2(ftx/ )Y2Acos2 (ftx/)+ 式中 A 为简谐波的振幅，f 为频率，为波长，X 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：Y1 Y 22Acos2（x/ ）+/2Acos2ft 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为2A cos2（x/
4、）+/2 |，与时间无关 t，只与质点的位置x 有关。由于波节处振幅为零，即：cos2（x/ ）+/2 |02（x/ ）+ /2(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. ) 可得波节的位置为： xk /2 而相邻两波节之间的距离为：xk1 x k (k1)/2k / 2 / 2 又因为波腹处的质点振幅为最大，即 cos2（x/ ）+/2 | =12（x/ ）+/2 k ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x(2k-1)/4 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。在本实验中，由于固定弦的两端是
5、由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：Ln / 2 ( n=1. 2. 3. )由此可得沿弦线传播的横波波长为： 2L / n 式中 n 为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：Vf，将式代入可得弦线上横波的传播速度：V2Lf/n 另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：V(T/) 1/2 式中 T 为弦线中的张力， 为弦线单位长度的质量，即线密度。再由式可得 f =（T/） 1/2（n/2L）得 2nlfFT由式可知，当给定 T、L，频
6、率 f 只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。实验步骤1、 连接实验装置。2、 测量弦线线密度 。测出弦线的质量及其长度。根据 ，计算弦lm线密度。3、 测圆柱半径，用游标卡尺测量其直径，多次测量求平均值。4、 观测频率和绳子张力 之间的关系TF（1） 取质量为 50g 的砝码挂于弦线的另一端，然后调节频率，调节劈尖的位置，得到稳定的驻波。分别测量波节 N=1，N=2，N=3 时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。当频率大于 130Hz 时，取 N=1，N=3，N=5.（2）改变频率 f 从 80Hz 到 150Hz,砝码质量不变，重复上述步骤（1） ，并记录数据。5、 观测砝
7、码质量 mg 与张力 之间的关系TF调节频率为 100Hz， ，砝码质量从 10g 到 200g 时调节劈尖的位置得到稳定的驻波，测量当 N=1，N=2，N=3 时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。注：当砝码质量为 15g 时，取 N=2，N=3，N=4.6、 整理数据并处理实验数据及处理（一） 砝码质量对绳子张力和密度的影响：1、 的测量弦线 lcm质量 g4.0= =0.4l3-1k2、弦振动实验装置圆柱的半径直径cmD/1c/2mD/3c/4cmR/114.54 114.4 114.36 114.64 5.72如下表:表中 M 为砝码的质量，N 为波节数目， 为波节长度， 为波长的平均l值，
8、为绳子的密度， 为绳子拉力的平均值，TF绳子密度 绳子张力10Hz22FN=1 N=2 N=3gcml12cl3m3-10kg(TN)-/%/%TF10 16.2 23.73 15097 0.3842 102.04 3.95 3.96N=2 N=3 N=41519.32 29.02 38.3219.27 0.3958 148.48 1.05 0.9925.4 24.72 37.07 24.716 0.4074 244.35 1.85 1.8645 16.67 33.02 49.42 33.04 0.4039 436.57 0.97 1.0155.2 18.46 36.82 55.12 36.8
9、 0.3994 541.696 0.15 0.1375.3 21.22 42.42 63.73 42.46 0.4093 721.03 2.32 2.3485.5 22.95 46.11 68.62 45.89 0.3978 842.48 0.55 0.54106.5 51.06 77.02 51.23 0.3976 1049.89 0.6 0.58201 35.52 71.08 71.07 0.3899 2020.18 2.52 2.49注：仅当 M=15g 时，波节数目为特殊情况。其图像如下所示：（见下页）砝 码 质 量 对 绳 子 张 力 和 密 度 的 百 分 误 差0123450 5
10、0 100 150 200 250 m/g百 分 误 差 /%系 列 1系 列 2（二）振动频率对绳子密度和张力的影响： NmgG49.83-N=1 N=2 N=3Hzcl12cl3m3-10kgTF( N)-/%/%TF80 21.52 43.63 66.6 43.92 0.397 493.82 0.75 0.790 19.26 39.02 58.99 39.09 0.394 495.08 1.5 1.02100 17.31 34.66 53.12 35.03 0.399 490.84 0.17 0.17110 16.03 32.02 47.8 31.95 0.397 494.07 0.82
11、 0.82120 14.73 28.83 43.53 29.03 0.4037 485.42 0.92 0.94N=1 N=3 N=5Hzcml12cl3m3-10kgTF( N)-/%/%TF130 13.5 41.02 67.54 27.12 0.394 498.27 1.45 1.31140 12.67 36.87 61.56 24.73 0.4087 479.60 2.17 2.52150 11.60 22.82 34.30 22.91 0.415 472.25 3.72 3.76其图表如下图所示：频 率 对 绳 子 的 张 力 和 密 度 的 百 分 误 差00.511.522.53
12、3.540 20 40 60 80 100 120 140 160 频 率 /Hz百 分 误 差 /%系 列 1系 列 2在实验过程中我们发现，一方面，当固定振动的频率，改变砝码的质量。若砝码的质量过小，几乎是 15g 左右时，基本上无法研究，实验现象不明显，振动特别不稳定。但是，一旦砝码质量大于 20g 时，实验现象就明显了很多，而且绳子的张力与砝码的质量误差基本保持在 2.5%以下，尤其是 50g 到 100g 之间时，误差基本保持在 1%左右，可以说是非常小的。因此，我们在以后的实验过程中，只要砝码的质量大于 40g 往上，基本都是可取的。另一方面，当固定砝码质量为 50g 时，我们通过
13、改变频率来观测对绳子密度和拉力的影响。实验发现，70Hz 以前的频率是基本上不能测试的，绳子的振动非常不稳定。因此，我们在实验过程中频率选在从 80Hz 到 150Hz,由实验结论和实验图表可得：改变振动频率产生的实验误差是先减小到 100Hz 后又增大，因此在以后进行实验时，频率选在 100Hz 时，误差最小。还有一个特殊现象，当频率过大，大于 130Hz 时，会出现一个特殊现象，当波节数目为偶数时，振动特别不稳定，劈尖到滑轮处也会出现微小的波节。而且，本来出现的两个波节会慢慢的合成一个波节，合成后的波节长度几乎和原来两个波节的长度相等，且振动幅度特别大，但是当出现奇数波节时，则不会出现这种
14、情况，实验现象也相对稳定。这对实验带来了难度，因此，我们为了避免这种情况，减小实验误差，测量时，我们只选取奇数波节时的波节长度，这样，得出的结论就相当准确。当然，由于实验室的实验仪器本身用于教学，不属于研究器材，因此，实验精度本身就不是很高，所以所测的实验数据也不是非常精确，导致实验出现误差，当然这个误差是无法避免的。同时，在测量波节长度 l 时，用于人肉眼原因，测量的数据相对也会出现偏差。实验心得这次实验中，我们组成员分工明确，齐力配合，取得的成绩非常明显。实验过程中，由于实验数据的巨大性，我们走了不少弯路，经过小组成员讨论，查阅资料，然后以严谨的态度测量每一组实验数据，终于，功夫不负有心人。我们终于得出了绳子拉力和砝码重力的关系，以及砝码的重力在什么情况下和绳子的张力近乎相等。同时，也研究了圆柱震动频率和绳子的张力及密度之间的关系，实验结论效果相当明显。通过本次实验，我们体验到团队合作的重要性和必要性。没有队友的努力，根本不会有我们今天的成绩，当然，还有指导老师的指导，老师在我们都比较迷茫的时候给我们指了一条方向，实验才有了实质性的进展。在此，衷心感谢老师。小组组长：於佩组员：刘祥 王宝林李佳 杨懿2012-5-10
