1、当 、 两点中有一点在原点时,不妨设点 在原点,如图, |;当ABAABOba、 两点都不在原点时,（1）如图,点 、 都在原点的右边,;Obab（2）如图,点 、 都在原点的左边, BObaab（3）如图,点 、 在原点的两边, ;ABA综上,数轴上 、 两点之间的距离 .a请回答:数轴上表示 和 的两点之间的距离是_,数轴上表示 和 的两点之间的距离是25 25_,数轴上表示 和 的两点之间的距离是_;13数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是_,如果 ,那么 为_;xABABx当代数式 取最小值时,相应的 的取值范围是_.2x（南京市中考题）思维方法天地11.已知 , , ,且 ,那么
2、 _.1ab3cabcabc（北京市“迎春杯”竞赛题）12.在数轴上,点 表示的数是 ,点 表示的数是 ,且 、 两点的距离为 ,则AxB3xAB8_.x（“五羊杯”竞赛题）13.已知 , 那么 _.51yxy（北京市“迎春杯”竞赛题）14.（1） 的最小值为_.x（“希望杯”邀请赛试题）（2） 的最小值为_.123x（北京市“迎春杯”竞赛题）15.有理数 、 在数轴上对应的位置如图所示: ,则代数式ab的值为（ ）.11A. B. C. D.012（“希望杯”邀请赛试题）16.若 ,则 的值为（ ）.21mnmnA. B. C. D.4104（北京市中考题）17.如图,已知数轴上点 、 、
3、所对应的数 、 、 都不为 ,且 是 的中点.ABCabc0CAB如果 ,那么原点 的位置在（ 22abcO）.A.线段 上 B.线段 的延长线上.iCAC.线段 上 D.线段 的延长线上!BB（江苏省竞赛题）18.设 ,则 的最小值为（ ）.1mxA. B. C. D.0 12（重庆市竞赛题）19.已知点 在数轴上对应的数为 ,点 对应的数为 ,且 , 、 之间AaBb410abAB的距离记作 .B（1）求线段的长 ;（2）设点 在数轴上对应的数为 ,当 时,求 的值;Px2PABx（3）若点 在 的左侧, 、 分别是的中点,当点 在 的左侧移动时,式子AMNA的值是否发生改变?若不变,请求
4、其值; 若发生变化,请说明理由.N20.已知 ,且 、 、 都不等于 ,求 的所有可能值.;abcaxbc01（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）应用探究乐园21.绝对值性质（1）设 、 为有理数,比较 与 的大小.abab（2）已知 、 、 、 是有理数, , ,且 ,求cd916cd25abcd的值.d（“希望杯”邀请赛试题）22.已知数轴上两点 、 对应的数分别为 , ,点 为数轴上一动点,其对应的数为 .AB13Px（1）若点 到点 、点 的距离相等,求点 P 对应的数.:P（2）数轴上是否存在点 ,使点 到点 、点 的距离之和为 ?若存在,请求出 的值;若AB5不存在,请说明理由.（3）当
5、点 以每分钟 个单位长的速度从 点向左运动时,点 以每分钟 个单位长的速1OA度向左运动,点 以每分钟 个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后 点到点20 P、点 的距离相等?AB3.有理数的运算解读课标有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高
6、运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有:利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消; 分解相约;错位相减等 .问题解决例 1（1）已知 ,记 ,21,3na 112ba,则通过计算推测 的表达式21212,bn nba nb_.（用含 的代数式表示）n（成都市中考题）（2）若 、 是互为相反数, 、 是互为倒数, 的绝对值等于 ,则 的abcdx242xcdab值是_.（“希望杯”邀请赛试题）试一试 对于（2）,运用相关概念的特征解题.例 2 已知整数 、 、 、 满足 ,且 ,那么 等于（ abcd25abcabcdabcd）.:A. B. C. D.010 12（江苏省竞赛题）试一试 解题
7、的关键是把 表示成 个不同整数的积的形式.254例 3 计算:（1） ;13125926060 （广西竞赛题）（2） ;131231 （“祖冲之杯”邀请赛试题）（3） .77782599（“五羊杯”竞赛题）试一试 对于（1）,设原式 ,将各括号反序相加; 对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖S问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.例 4 在数学活动中 ,小明为了求 的值（结果用 表示）,设计了234112n n如图所示的几何图形.图 图（1）请你用这个几何图形求 的值;234112n（2）请你用图,再设计一个能求 的值的几何图形.1（
8、辽宁省大连市中考题）试一试 求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键.例 5 在 前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.120分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是 .代数和的最小值能是 吗?能是 吗?由于任001意添“ ”号或“ ”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手.因 与 的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与ab的奇偶性相同,即为奇数.因201212301013此,所求非负代数和不会小于 .又 4567894, 所求非负代数和的最小值为 1.19201
9、20类比类比是一种推理方法,根据两#事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法.例 6 观察下面的计算过程.11111423452345问:（1）从上面的解题方法中 ,你发现了什么? 用字母表示这一规律.（2） “学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要”.请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题.分析与解 （1） .1nn（2）从连续自然数到连续偶数,从 个到 个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:23 ;46014 ;1301 ;223 .01数学冲浪知识技能广场1.如图,每
10、一个小方格的面积为 ,则可根据面积计算得到如下算式:_.（用 表示, 是正整数）.135721n n（第 1 题）（2012 年潍坊市中考题）2.某数学活动小组的 位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位同学开始,每位同20学依次报自己顺序数的倒数加 ,第 位同学报 ,第 位同学报 ,第 位同学报11213这样得到的 个数的积为_.1320（2012 年河北省中考题）3.计算:（1） _.245365214536（“希望杯”邀请赛试题）（2） _.2318920（广西桂林市中考题）4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在课堂上快速地计算出,今天我们可以将高斯的做法归纳
11、如下:19523810S02 有 , .S请类比以上做法,回答下列问题:若 为正整数, ,则 _.n3572168n n（2012 年湖北省黄石市中考题）5.设 ,在代数式| , , , , , , 中负数的个数是（ ）.0aa2091a22aA. B. C. D.1 34（“希望杯”邀请赛试题）6.我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下: 克以内 元,每增加 克（不足10.710克按 克计） 元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为 克,则他应付邮资004（ ）元.A. B. C. D.23263.5（2012 年四川省竞赛题）7.为了求 的值,可令 ,则23081 232081S,因此
12、所以4292S 09.仿照上面推理计算出 的值是2308 2320955（ ）.A. B. C. D.209512015209142014（湖北省鄂州市中考题）8.下面是按一定规律排列的一列数:第 个数: ;112第 个数: ;231334第 个数: ;2345114 56第 个数: .n2321114n那么,在第 个数、第 个数、第 个数、第 个数中,最大的数是（ ）.0A.第 个数 B.第 个数 C.第 个数 D.第 个数13（江苏省中考题）观察图形,解答问题:（1）按下表已填写的形式填写表中的空格:图 图 图三个角上三个数的积 1234560三个角上三个数的和 12积与和的商 （2）请用
13、你发现的规律求出图中的数 和图中的数 .yx（2012 年益阳市中考题）10.观察下列等式:第 个等式: ;11132a第 个等式:225第 3 个等式: 3117a第 4 个等式: ;492请解答下列问题:（1）按以上规律列出第 个等式: _ _;55a（2）用含 的代数式表示第 个等式 _ _;（ 为正整数）;nnnn（3）求 的值.123410a（2012 年广东省中考题）思维方法天地11.计算:（1）_1111324354697980_.（“华罗庚杯”邀请赛试题）（2） _.151941713456896203250（“希望杯”邀请赛试题）（3） _.9911（江苏省竞赛题）12.设三
14、个互不相等的有理数,既可分别表示为 , , 的形式,又可分别表示为 , , 的ab0ab形式,则 _.2041ab13.已知 ,则 _.3x20526489x（“五羊杯”竞赛题）14.已知 、 、 满足 且 ,则代数式的 值是abcabca0bcabc_.（四川省竞赛题）15. 的值是（ ）.1116626236A. B. C. D.83 16（北京市竞赛题）16.如果 个不同的正整数 、 、 、 满足 ,那么4mnpq774mnpq等于（ ）.mnpqA. B. C. D. E.102124262817.如果 ,那么 的值为（ ）.312tt123tA. B. C. D.不确定 1（河北省竞
15、赛题）18.观察下列各式:（1） ;2（2） ;34（3） ;2567（4） ;28910请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）.A. 21056736B. 21056107310C. 86D. 279（济南市中考题）19.观察下面的等式:, ;24, ;3132, ;5, .644（1）小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?为什么?（2）请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.（“希望杯”邀请赛试题）20.同学们,我们曾经研究过 的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为n.但 为 时,应如何计算正方形的具
16、体个数呢?下面我们就一起来研22213 10究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道时,我们可以这样做:0 13nn（1）观察并猜想:, 21202012230133,_22141210_ ;334_（2）归纳结论: 221101231n n 03n（_） （_）_ _;16（3）实践应用:通过以上探究过程,我们就可以算出当 为 时,正方形网格中正方形的总个数是_.n10（四川省内江市中考题）应用探究乐园21.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微; 数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和
17、形之间可以相互转化,相互渗透.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.例如,求 的值,其中 是正整数.1234n对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对 的奇偶性进行讨论.n如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观.现利用图形的性质来求 的值,方案如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为 个小圆圈排列
18、组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所1,23n求式子 的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角4形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有 行,每行有 个小圆圈,所n1以组成平行四边形小圆圈的总个数为 个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为1n,即 .12n342（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求 的值,其中135721n是正整数.（要求:画出图形 ,并利用图形作必要的推理说明）.n（2）试设计另外一种图形,求 的值,其中 是正整数.（要求:画出13572n图形,并利用图形作必要的推理说明）（山东省青岛市中考题）22.在“ ”的小方1246789格中填上“ ”、 “ ”号,如果可以使其代数和为 ,就称数 是“可被表出的数” （如 是n1可被表出的数,这是因为 是 的一种可被表出的方法）.357891（1）求证: 是可被表出的数 ,而 是不可被表出的数;78
