1、 让学习成为一种习惯！1 高三总复习-数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第二个na位置的叫第 2 项，序号为 的项叫第 项（也叫通项）记作 ；nna数列的一般形式： ， ， ， ，简记作 。1a23n例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。（2）通项公式的定义：如果数列 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式a就叫这个数列的通项公式。例如：1 ，2 ，3 ，4，
2、5 ，： 1，数列的通项公式是 = （ 7， ） ，nanN数列的通项公式是 = （ ） 。说明： 表示数列， 表示数列中的第 项， = 表示数列的通项公式；nan naf 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 。 例 如 ， = = ； (1)n,21()kZ不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 （或它的有限子集）的函数 当自变量
3、 从 1 开始依次取值时对应的一系N ()fn列函数值 ， ，通常用 来代替 ，其图象是一群孤立点。(),(),ff()fna例：画出数列 的图像.12an（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列 的前 项和 与通项 的关系：nanSna1(1)2nnS例：已知数列 的
4、前 n 项和 ，求数列 的通项公式32sa让学习成为一种习惯！2 练习：1根据数列前 4 项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2） ， ， ， ；21324251（3） ， ， ， 。*（4）9，99，999，9999（5）7，77，777，7777，(6)8, 88, 888, 88882数列 中，已知na21()3nnN（1）写出 ， ， ， ， ； ,1231a2（2） 是否是数列中的项？若是，是第几项？793 （2003 京春理 14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。4、由前几项
5、猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（ ） ，其通项公式为 .A40 个 B45 个 C50 个 D55 个二、等差数列2 条直线相交，最多有 1 个交点3 条直线相交，最多有 3 个交点4 条直线相交，最多有 6 个交点（1） （4） （7） （ ）（ ）让学习成为一种习惯！3 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么2这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。用递推公式
6、表示为d或 。1(2)nad1(1)nad例：等差数列 ， n题型二、等差数列的通项公式： ；1a说明：等差数列（通常可称为 数列）的单调性： 为递增数列， 为常数列， 为递减数列。APd00d0d例：1.已知等差数列 中， 等于（ ）n 124976a， 则， A15 B30 C31 D642. 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号 等于na13d05nn（A）667 （B）668 （C）669 （D）6703.等差数列 ，则 为 为 （填“递增数列”或12,nbn nanb“递减数列” ）题型三、等差中项的概念：定义：如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。其中 aA2
7、abA， ， 成等差数列 即： （ ）Ab2ab21nnamnn例：1 （14 全国 I）设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 n 31523801213a（ ）A B C D201059072.设数列 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ）naA1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；na（2）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列 中，对任意 ， ， ， ；nmnN()nmadnma()（4）在等差数列 中，若 ， ， ， 且 ，则 ；
8、apqpqnpq题型五、等差数列的前 和的求和公式： 。(11()()22nnS nda）（ 2112是等差数列 ),(2为 常 数BAnSna递推公式： 2(2)1(1aSmnnn 例：1.如果等差数列 n中， 345a，那么 127.a（A）14 （B）21 （C）28 （D）35让学习成为一种习惯！4 2.（2015 湖南卷文）设 nS是等差数列 na的前 n 项和，已知 23a， 61，则 7S等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（2015 全国卷理） 设等差数列 n的前 项和为 nS，若 97,则 249a= 4.（2015 重庆文） （2）在等差数列 a中， 190，则
9、 5a的值为（ ）（A）5 （B）6 （C）8 （D）105.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项6.已知等差数列 的前 项和为 ，若 nanS185212 aa， 则7.（2014 全国卷理）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 53则 95S 8 （2014 全国）已知数列 bn是等差数列， b1=1， b1+b2+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn；9.已知 数列是等差数列， ，其前 10 项的和 ，则其公差 等于( )na01a701SdC. D.3
10、32 BA3210.（2015 陕西卷文）设等差数列 n的前 n 项和为 ns,若 632as,则 na 11 （2013 全国）设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77， S1575， Tn为数列的前 n 项和，求 Tn。Sn12.等差数列 的前 项和记为 ，已知nanS503210a，求通项 ；若 =242，求n13.在等差数列 中， （1）已知 ；（2）已知 ；(3)已na81214,68,Sad求 和 65810,aSaS求 和知 3151740,aS求让学习成为一种习惯！5 题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有 项，则 偶 奇 ； ；2nSn
11、d1nSa奇偶（2）若项数为奇数，设共有 项，则 奇 偶 ； 。 1na中 奇偶题型七.对与一个等差数列， 仍成等差数列。nnnSS232,例：1.等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为 。n3已知等差数列 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 n4.设 为等差数列 的前 项和， = nSa 97104 SS， 则， 5 （2015 全国 II）设 Sn是等差数列 an的前 n 项
12、和，若 ，则 361612A B C D31013189题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列）常 数 ） （ Nndan(1 na中项法：是等差数列)221nn（ n通项公式法：是等差数列),(为 常 数bkanna前 项和公式法：是等差数列),(2为 常 数BASnn例：1.已知数列 满足 ，则数列 为 （ ）na21nnaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列 的通项为 ，则数列 为 （ ）n5nnA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列 的前 n 项和 ，则数列 为（
13、 ）a42saA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列 的前 n 项和 ，则数列 为（ ）nA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断让学习成为一种习惯！6 5.已知一个数列 满足 ，则数列 为（ ）na021nnanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列 满足 =8， （ ）n1 124nn， 且 N求数列 的通项公式；a7 （14 天津理，2）设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比
14、数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列题型九.数列最值（1） ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值；0adnS10adnS（2） 最值的求法：若已知 ， n的最值可求二次函数 2ab的最值；nS可用二次函数最值的求法（ ） ；或者求出 n中的正、负分界项，即：N若已知 ，则 最值时 的值（ ）可如下确定 或 。naS 10na1n例：1等差数列 中， ，则前 项的和最大。12910Sa，2设等差数列 的前 项和为 ，已知nn 013123S，求出公差 的范围，d指出 中哪一个值最大，并说明理由。1221S， 3 （12 上海）设 an （ nN *）是等差数列，
15、Sn是其前 n 项的和，且 S5 S6， S6 S7 S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S 5 D.S6 与 S7 均为 Sn的最大值让学习成为一种习惯！7 4已知数列 的通项 （ ） ，则数列 的前 30 项中最大项和最小项分别是 na98Nnna5.已知 是等差数列，其中 ，公差 。n13a8d（1）数列 从哪一项开始小于 0？a（2）求数列 前 项和的最大值，并求出对应 的值n n6.已知 是各项不为零的等差数列，其中 ，公差 ，若 ,求数列 前 项和的最大na10ad10Sna值7.在等差数列 中， ， ，求 的最大值na125179Sn题型十.利用 求通项1
16、()2nnSa1.数列 的前 项和 （1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 是等差数列吗？（3）你能写出nna数列 的通项公式吗？a让学习成为一种习惯！8 2已知数列 的前 项和 则 na，142nSn3.设数列 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 的通项公式；a4.已知数列 中， 前 和na，31n1)(21naS求证：数列 是等差数列求数列 的通项公式n5.（2015 安徽文）设数列 na的前 n 项和 2nS，则 8a的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列
17、就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示 ，即： ： 。q(0)1na(0)q一、递推关系与通项公式 mnnqa推 广 ：通 项 公 式 ：递 推 关 系 ： 111 在等比数列 中, ，则 2,41na2 在等比数列 中, ,则 n37q19_.3.（2014 重庆文）在等比数列 an中， a28， a164， ，则公比 q 为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）84.在等比数列 中， ， ，则 = na25让学习成为一种习惯！9 5.在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 21，则 （ ）na13345aA 33 B 72 C 84 D 189二、等
18、比中项：若三个数 成等比数列，则称 为 的等比中项，且为 是成cb,bca与 acbcb2， 注 ：等比数列的必要而不充分条件.例：1. 和 的等比中项为( )23()1A1B()1C()2D2.（2013 重庆卷文）设 na是公差不为 0 的等差数列， 1a且 136,a成等比数列，则 na的前n项和 nS=（ ） A274B253C234nD 2n三、等比数列的基本性质，1.（1） qpnmaaqpnm， 则若 ),(Nqpm其 中（2） )2 Naqnn，（3） 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比 数列.n（4） 既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的常数列.na例：1在等比数
19、列 中, 和 是方程 的两个根,则 ( )na102510x47a5()2A2()B()C1()2D2. 在等比数列 ，已知 ， ，则 = na51109a18a3.在等比数列 中， 4362n，求 n若 nTaaT求,lglg21让学习成为一种习惯！10 4.等比数列 的各项为正数，且 （ ）na564731323108,logllogaaa则A12 B10 C8 D2+ 3l5.（2014 广东卷理）已知等比数列 n满足 0,n ，且25()n，则当1n时， 212321logllogaa （ ） A. ()n B. 2()C. 2 D. 2(1)n2.前 项和公式 )1(1)()(1 q
20、aqaSnnn例：1.已知等比数列 的首相 ，公比 ，则其前 n 项和 n512nS2.已知等比数列 的首相 ，公比 ，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项aq和 nS3.设等比数列 的前 n 项和为 ，已 ，求 和nS,62a301anS4 （2015 年北京卷）设 ，则 等于（ ）4710310()22()nfnN ()fnA B C D2(81)7n18)8428175 （2014 全国文，21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 S62 S9，求数列的公比 q；6设等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，S n+2成等差数列，则 qna的值为 .3.若数列 是等 比数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等比数列.nanS*NkkSk2kS23例：1.（2014 辽宁卷理）设等比数列 na的前 n 项和为 n，若 63=3 ，则 69= A. 2 B. 73C. 8D.32.一个等比数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为（ ）nnnA83 B108 C75 D63
