1、1 数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么2这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。用递推公式表示为d或 。1(2)nad1(1)nad例：等差数列 ， n题型二、等差数列的通项公式： ；1a说明：等差数列（通常可称为 数列）的单调性： 为递增数列， 为常数列， 为递减数列。APd00d0d例：1.已知等差数列 中， 等于（ ）n 124976a， 则， A15 B30 C31 D642. 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号 等于na13d05nn（A）667 （B）668 （C）
2、669 （D）6703.等差数列 ，则 为 为 （填“递增数列”或12,nbn nanb“递减数列” ）题型三、等差中项的概念：定义：如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。其中 aA2abA， ， 成等差数列 即： （ ）Ab2ab21nnamnn例：1设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 （ ）n 23513801213A B C D2010590752.设数列 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ）naA1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；na（2
3、）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列 中，对任意 ， ， ， ；nmnN()nmadnma()（4）在等差数列 中，若 ， ， ， 且 ，则 ；apqpqnpq题型五、等差数列的前 和的求和公式： 。(11()()22nnS nda）（ 2112是等差数列 ),(2为 常 数BAnSna递推公式： 2(2)1(1aSmnnn 2 例：1.如果等差数列 na中， 34512a，那么 127.a（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.设 nS是等差数列 n的前 n 项和，已知 23， 6，则 7S等于( )A13 B35 C49 D 63 3.已知 数
4、列是等差数列， ，其前 10 项的和 ，则其公差 等于( )na10a01dC. D.332 324.在等差数列 n中， 19，则 5的值为（ ）（A）5 （B）6 （C）8 （D）105.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项6.已知等差数列 的前 项和为 ，若 nanS185212 aa， 则7.设等差数列 n的前 项和为 n，若 53a则 95S 8. 设等差数列 na的前 项和为 nS，若 972,则 49a= 9.设等差数列 n的前 n 项和为 ns,若 631
5、as,则 n 10已知数列 bn是等差数列， b1=1， b1+b2+b10=100.，则 bn= 11设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77， S1575， Tn为数列 的前 nSn项和，求 Tn。12.等差数列 的前 项和记为 ，已知 求通项 ；若 =242，求nanS503210a， nanS13.在等差数列 中， （1）已知 ；（2）已知 ；na81214,68,Sad求 和 65810,aSaS求 和(3)已知 35740,求3 题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有 项，则 偶 奇 ； ；2nSnd1nSa奇偶（2）若项数为奇数，设共有 项
6、，则 奇 偶 ； 。 1na中 奇偶题型七.对与一个等差数列， 仍成等差数列。nnnSS232,例：1.等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为 。n3已知等差数列 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 n4.设 为等差数列 的前 项和， = nSa 97104 SS， 则， 5设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 ，则 36612A B C D31013819题型八判断或证明
7、一个数列是等差数列的方法：定义法： 是等差数列）常 数 ） （ Nndan(1 na中项法： 是等差数列)22（通项公式法： 是等差数列,为 常 数bkn n前 项和公式法： 是等差数列),(为 常 数BASn例：1.已知数列 满足 ，则数列 为 （ ）a1naA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列 的通项为 ，则数列 为 （ ）n52nA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列 的前 n 项和 ，则数列 为（ ）a42saA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4
8、.已知一个数列 的前 n 项和 ，则数列 为（ ）nA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列 满足 ，则数列 为（ ）a021naaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列7.数列 满足 =8， （ ）n1 0124 nn， 且 N求数列 的通项公式；a4 题型九.数列最值（1） ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值；0a
9、dnS10adnS（2） 最值的求法：若已知 ， n的最值可求二次函数 2ab的最值；nS可用二次函数最值的求法（ ） ；或者求出 n中的正、负分界项，即：N若已知 ，则 最值时 的值（ ）可如下确定 或 。naS 10na1n1.设 an （ nN *）是等差数列， Sn是其前 n 项的和，且 S5 S6， S6 S7 S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S 5 D.S6 与 S7 均为 Sn的最大值2等差数列 中， ，则前 项的和最大。n121，3已知数列 的通项 （ ） ，则数列 的前 30 项中最大项和最小项分别是 n98Nnna4设等差数列 的前 项和为 ，已
10、知 nanS012133S，求出公差 的范围，d指出 中哪一个值最大，并说明理由。1221S， 5.已知 是等差数列，其中 ，公差 。na13a8d（1）数列 从哪一项开始小于 0？（2）求数列 前 项和的最大值，并求出对应 的值n n6.已知 是各项不为零的等差数列，其中 ，公差 ，若 ,求数列 前 项和的最大值na10ad10Sna7.在等差数列 中， ， ，求 的最大值n125a79Sn5 题型十.利用 求通项1()2nnSa1.设数列 n的前 n 项和 ，则 8a的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）642已知数列 的前 项和 则 na，142nSn3.数列 的前
11、 项和 （1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 是等差数列吗？（3）你能写出 na数列 的通项公式吗？n4.已知数列 中， 前 和na，31n1)(21naS求证：数列 是等差数列求数列 的通项公式n等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示 ，即： ： 。q(0)1na(0)q一、递推关系与通项公式 11q n nmn n naa递 推 关 系 ： 通 项 公 式 ： 推 广 ：1.等比数列 an中， a28， a164， ，则公比 q 为（ ）（A）2 （B）3 （
12、C）4 （D）82.在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 21，则 （ ）n13345aA 33 B 72 C 84 D 1893.在等比数列 中, ，则 na2,1qna4.在等比数列 中, ,则 3719_.5.在等比数列 中， ， ，则 = n24586 二、等比中项：若三个数 成等比数列，则称 为 的等比中项，且为 是成cba,bca与 acbacb2， 注 ：等比数列的必要而不充分条件.1. 和 的等比中项为( )23()1A1B()1C()2D2.设 na是公差不为 0 的等差数列， 12a且 36,a成等比数列，则 na的前 项和 nS=（ ） A274B253nC2
13、4nD 2三、等比数列的基本性质，1.（1） qpnmaaqpm， 则若 ),(Nqpm其 中（2） )2 Naqnnn，（3） 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比 数列.n（4） 既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的常数列.na1在等比数列 中, 和 是方程 的两个根,则 ( )na102510x47a5()2A()B()C1)2D2.等比数列 的各项为正数，且 （ ）na56473133108,logllogaaa则A12 B10 C8 D2+ 53.已知等比数列 n满足 0,12,n ，且2()n，则当 n时，21232logllogaa（ ） A. () B. 2()nC.
14、 2 D. 2(1)4. 在等比数列 ，已知 ， ，则 = n5110918a5.在等比数列 中，a4362na，求 若nn TT求,lglg17 四、等比数列的前 n 项和， )1(1)()(1 qaqaSnn例：1设 ，则 等于（ ）470310()22()nf N ()fnA B C D8)n83281742(81)7n2.已知等比数列 的首相 ，公比 ，则其前 n 项和 a51qnS3.已知等比数列 的首相 ，公比 ，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项和 n 21 nS4设等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，S n+2成等差数列，则 q 的值为 .5
15、.设等比数列 的前 n 项和为 ，已 ，求 和a,62a301anS6设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 S62 S9，求数列的公比 q；五. 等比数列的前 n 项和的性质若数列 是等 比数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等比数列.naS*NkkSk2kS231 设等比数列 n的前 n 项和为 n，若 63S=3 ，则 69=( ) A. 2 B. 73C. 8D.32.一个等比数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为（ ）nnnA83 B108 C75 D633.已知数列 是等比数列，且 na mmSS3201， 则，4.等比数列的判定法
16、8 （1）定义法： 为等比数列；（ 常 数 ）qan1na（2）中项法： 为等比数列； )0(221nnn（3）通项公式法： 为等比数列； 为 常 数 ）qk,a（4）前 项和法： 为等比数列。 n为 常 数 ）（Snn)(n为等比数列。为 常 数 ）（ k,例：1.已知数列 的通项为 ，则数列 为 （ ）nan2naA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列 满足 ，则数列 为 （ ）)0(1nnanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列 的前 n 项和 ，则数列 为（ ）1n2sA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.利用 求通项1()2nnSa例：1.数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， ， n=1，2，3，求 a2， a3， a4的值及数列 an的1nS通项公式 2.已知数列 的首项 前 项和为 ，且 ，证明数列 是等比数列na15,nnS*15()nSN1na
