1、1数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分
2、公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法ABSTRACT：第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法 1 定义：设离散型随机变量分布列为 X1x2x nxPpp p则随机变量的数学期望 E(X)= )(1inix注意：这里要求级数 绝对收敛，若级数 不收敛，则随机变量的)(1inipx )(1inixp2数学期望不存在 2例 1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可
3、得佣金 10 元，若不按期则扣 2 元，若货物有损则扣 5 元，若既不按期又有损坏则扣 16 元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有 60把握，不按期到达占 20，货物有损占10，不按期又有损的占 10 。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？解 设表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，的分布为 X8 5 -610P0.6 0.2 0.1 1.0按数学期望定义，该推销人每箱期望可得100.680.250.160.17.5 元)(E1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等） ，则我们就
4、可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。（1） 二点分布： ，则Xp10pXE（2） 二项分布： ， ，则),(nBn)(（3） 几何分布： ,则有pGp1)(（4） 泊松分布： ，有)(PXXE（5） 超几何分布： ,有),MNnhNn)(例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6 道备选题中参赛者甲有4题能正确完成,2题不能完成；参赛者乙每题能正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响. 23分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.解 设参赛者甲正确完成的题数为 ,则
5、服从超几何分布,其中X,6,43NMn 2643)(NMnE设参赛者乙正确完成的题数为 ,则Y,)32(Bp1.3 性质法利用数学期望的性质求期望，主要性质有：3cE)()()(XaEbXaEb)()(其中 为随机变量， 为常数。Xcb,例 3 某工程队完成某项工程的时间 (单位：月)是一个随机变量，它的分布列为10123P4.3.01.（1）试求该工程队完成此项任务的平均月数；（2）社该工程队所获利润为 ,单位为万元。试求工程队的平均利润。)(5XY解（1）根据题意，我们可求平均月数为：月1.032.13.04.)( XE（2）由（1）知 ，则可得)(15)(Y1056)(XE1.5 利用逐
6、项微分法这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质 两边关于参数进行1ip求导，从而解出数学期望。例 5 设随机变量 ，求 。)(pGX)(XE解 因为 ，故 其中 1)(kpkP10p,21k则 （1）)(11kkp对（1）式两边关于 求导得 0)1(1 21k kkpp40111 0)(212 kkkkkk kkkk ppp根据数学期望的定义知： 且知11kXE1)(1kk因此上式可以写成： 01Pp从而解得 XE1.6 利用条件数学期望公式法条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量
7、。在YX,为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：YX,iiyYxXPyE或 jjx例 6 设二维离散随机变量 的联合分布列为,YX0 1 2 30123450 0.01 0.01 0.010.01 0.02 0.03 0.020.03 0.04 0.05 0.040.05 0.05 0.05 0.060.07 0.06 0.05 0.060.09 0.08 0.06 0.05试求 和2YXE0解 要求 ，首先得求 2YXP5 25106.05.301.120 YXP同理可得 52YXP3YXP24 257862543250250 iixYXE用同样的方法，我们可得 XYE1.7 利用重期望公
8、式法重期望是在条件期望的基础之下产生的， 是 的函数，对 的不同取值，yYXEy条件期望 的取值也在变化，因此我们可以把 看作一个随机变量。重期yYX望的公式是 ,此公式的前提是 存在。如果是 一个离散随机变量，EY则重期望公式可改写成为 j jjyYPX例 7 口袋中有编码为 的 个球，从中任取一球，若取到 1 号球，则得 1 分，n,32,1且停止摸球；若取得 号球 ，则得 分，且将此球放回，重新摸球。如此下去，试i)(i求得到的平均总分数。解 记 为得到的总分数， 为第一次取到的球的号码，则XYnPYP121又因为 ，而当 时， 所以1E2iXEiXE nniiXni 111 由此解得
9、2E第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的，只要在离散随机变量的数学期望定义中用密度函数 代替分布列 ，用积分是代替和式，即得xpixp到连续场合下数学期望的定义。2.1 定义法 4设连续随机变量 有密度函数 ，如果积分Xx6有限（收敛） ，dxp则称 为 的数学期望。dxpXEX若 无限（不收敛） ，则说 的数学期望不存在。x例 8 设随机变量 服从均匀分布，求它的数学期望。解 由于 ，则它的密度函数为baU,01xp其 他 x则根据定义它的数学期望为badxdxpXE12122ba可见，均匀分布的数学期望位于区间 的中点，
10、即均匀分布具有对称性，下一节中我们ba,将介绍利用分布图像的对称性来求数学期望。例 9 密度函数为 的分布称为柯西分布。21xpx其数学期望不存在，这是因为积分 无限。dx22.2 特殊积分法连续型随机变量 的数学期望为 ，在计算连续型随机变量 的XpXEX数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如基函数在对称区间的积分值为 0，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便。例 10 设随机变量 ，证明 2,N证 在 的积分表达始终做变换XE dzxdzxz 即1,可得 dxe2217dzedzez22221由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为 0，第二个积分恰为
11、，故2得 XE2.3 利用特征函数特征函数的定义：设 是一个随机变量，称 , ，为XitXeEtt的特征函数，设连续随机变量 有密度函数 ，则 的特征函数为xpdxpetitt根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：求出数学期望，即 kkiXE0iXE0例 11 设随机变量 ，求 2,N解 因为随机变量 ，则 的特征函数为X2exptit其一阶导数为 22exptitit 则 i0由特征函数的性质得 iXE0注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。2.4 逐项微分法这种方法同样适用于密度
12、函数 中含有参数的连续型随机变量分布，也是对xp两边对参数求导数来解出数学期望。1dxp例 12 设随机变量服从指数分布即 ，求ExXX8解 因为 ，则 的密度函数 ExpXX0 ,0xexp，则由 ， 得 1ddx0xee对 两边关于参数 求导得0010XEedxedxe从而解得 12.5 条件数学期望公式在连续型随机变量场合下，条件数学期望同样适用，其计算公式为dxypyYXE例 13 设二维随机变量 的联合密度函数为YX,其 他 ,01, yxxyp试在 YEy时 ， 求10解 由题意知， yxydxypYXEyyxpxydyYyY 13221 1 1021, 1241222时 ，当 9
13、312162132yy2.6 利用重期望公式在 是一个连续随机变量时，重期望公式 可改写成为YYXEdypXEY例 14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力 服从 上的均匀分布，kW4103,单 位 ：而该工厂每月实际需要的电力 服从 上的均匀分布。如果工厂能从k4102,单 位 ：电力公司得到足够的电力，则每 电可以创造 30 万元的利润，若工厂得不到足够的kW410电力，则不足部分由工厂通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每 获利 10 万k410元，失球该厂每个月的平均利润。解 从题意知，每月供应电力 ,而工厂实际需要电力 。若301UX2,UY设工厂每月的利润为 万元，则按题意可得Z
14、YY当当 ,103 ,在 给定时， 仅是 的函数，于是当 时， 的条件期望为xX201xZ22220x1045 013 xxdyydyppZEx YY当 时， 的条件期望为02Z4501303201 dydypxXEY然后用 的分布对条件期望 再作一次平均，即得xXZE104325670325 5011 322200dxdxpXZEpXZExXZE所以该厂每月的平均利润为 433 万元第三节 随机变量数学期望的计算技巧3.1 利用数学期望的性质，化整为零当一个随机变量的分布列较为复杂时，若直接求它的数学期望会很困难，我们可以通过将它转化成比较常见的简单的随机变量之和来解决。主要是利用数学期望的
15、性质来时问题简单化。niiniiXE11例 15 设一袋中装有 只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取 次，以mn表示在 次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求Xn XE解 直接写出 的分布列较为困难，其原因在于：若第 种颜色的球被取到过，则此种Xi颜色的球又可被取到过一次、二次 次，情况较多，而其对立事件 “第 种颜色的球n i没被取到过”的概率容易写出为 nmiP 1一 次 也 被 摸 到 过种 颜 色 的 球 在 次 摸 球 中第为此令 niiXi ,21 ,01 一 次 也 没 被 摸 到 ，种 颜 色 的 球 在 次 摸 球 中第 至 少 被 摸 到 一 次 ；种 颜 色 的 球 在 次 摸 球 中第这些 相当于是计数器，分别记录下第 种颜色的球是否被取到过，而 是取到过的不同i i X颜色总数，所以 由 可得miiX1,10nimPniiiPXE所以 nimXE1例 16 设 ，求5pnB,解 由题意知， ，10 ,1pCkPknkn
