1、第十五章 傅里叶级数的复习题一、 判断题。1 常数没有周期。2 傅里叶级数是三角级数的子集，函数级数也是三角级数的子集。3 一个函数展成傅里叶级数且展成的傅里叶级数收敛，则该傅里叶级数的和函数就等于原函数。4 若 是以 为周期的连续函数，且在- ， 上按段光滑，f2则 的傅里叶级数在- ， 上收敛于 。f二、 填空题。5. 在三角函数系（1， ， ， ， ， ，xcosinx2cosinnxcosi，）中，任何两个不相同的函数的乘积在- ， 上的积分都等于 。6. 若 = ，则 展成傅里xf 10 sinco2n xbaf叶级数，则展开的傅里叶级数是否 收敛。 （填“一定”或“不一定” ）7.
2、 把两个函数 与 在 ， 上可积，且 的函ab0dxba数 与 称为在 ， 上是 的。8. 若在整个数轴上 = 且等xf 10 sinco2n式右边级数一致收敛，则有 ；an。bn三、 在指定期间内把下列函数展开成傅里叶级数。9. = xf0x10. = ， ； ii20x四、 证明： sncodm答案一、 判断题。1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( )二、 填空 题。5. 零； 6. 不一定； 7. 正交； 8. 3,210,cos1nxdfan ibn三、 在指定期间内把下列函数展开成傅里叶级数。9. 解：由于 ()fx是按段光滑的，如下图所示，所以它可以展开成 傅里叶 级数。因为
3、011()2afxdx当 1n时： 0coscosnfnnxd0 020111i|ics|x x 22 ,(cos)n当 n为 奇 数 时 ,当 为 偶 数 时011()isinbfxdxd0cos|conn1 120()()xd 。所以在开区间 (,)上211()(cosinsi2(cos3in)49fxxxx。在 时，上式右边收敛于(0)()022ff。于是在- ， 上 的傅里叶级数的图像如下图所示：10.解：（1） 由于 ()fx是按段光滑的，如下图所示，所以它可以展开成 傅里叶 级数。因为 010 xdfad )(1coscos1 nnxn 0si2ii xdxfbdxn)1(100cs2cs2nndn所以在区间（- ）内，,nxfnxsi12（2）.由于 ()fx是按段光滑的，如下图所示，所以它可以展开成 傅里叶 级数。因为 2202001xdfadnnxxn coscos12020 )1(2ii20 xdxdfbn s1s2020 10coco120 nn所以在（0， ）内，2 110 sisi2nnn xxbafx四、 证明:由 和i1co可得：cnxanxdos1si dxnmmsisi2sico xdn2110coscs21 xn
