1、数值试题1数值计算方法试题一一、 填空题（每空 1 分，共 17 分）1、如果用二分法求方程 043x在区间 2,1内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。2、迭代格式 )2(1kkx局部收敛的充分条件是 取值在（ ） 。3、已知 31)()1()(20)(23 xcxbaxS是三次样条函数，则a=( )， b=（ ） ， =（ ） 。4、 )(,(,10xllxn 是以整数点 nx,10 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nkl0)( )， kkjl0)( )，当 2时 )(3(204xlkk( )。5、设 1326247xxf 和节点 ,1,/xk 则,10nx和 7f 。6、5 个
2、节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5 个节点的求积公式最高代数精度为 。7、 0)(kx是区间 1,上权函数 x)(的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中 )(x，则 104dx。8、给定方程组 21ba， a为实数，当 a满足 ，且 20时，SOR 迭代法收敛。9、解初值问题 0(,)yfx的改进欧拉法 ),(),(201101nnn yxfyxfhy是 阶方法。10、设 10aA，当 （ ）时，必有分解式 TLA，其中 L为下三角阵，当其对角线元素 )3,2(il满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。数值试题2二、 二、选择题（每题 2 分）1、解方程组 bAx的简单迭代格式 gB
3、xkk)()1(收敛的充要条件是（ ） 。（1） 1)(, (2) )(B, (3) A, (4) 1)(B2、在牛顿-柯特斯求积公式： baniiixfCadxf0)()中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1） 8， （2） 7n， （3） 1n， （4） 6n，3、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25所确定的插值多项式的次数是（ ） 。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式 ),(,2(1 nnnn yxfhyxhf
4、y求解初值问题1)0(,2y，试问为保证该公式绝对稳定，步长 的取值范围为（ ） 。(1) h, (2) 2h, (3) 0, (4) 20h三、1、 （8 分）用最小二乘法求形如 2bxay的经验公式拟合以下数据： ix19 25 30 38iy19.0 32.3 49.0 73.32、 （15 分）用 8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxe10时，(1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。四、1、 （15 分）方程 013x在 5.x附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1） 对应迭代格式 31n
5、nx；(2)x对应迭代格式 nnx1；（3） 3对应迭代格式31n。判断迭代格式在 5.0的收敛性，选一种收敛格式计算5.附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立数值试题3Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、 （8 分）已知方程组 fAX，其中413A， 2430f（1） （1） 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2） （2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。五、1、 （15 分）取步长 1.0h，求解初值问题 1)0(ydx用改进的欧拉法求 ).0(y的值；用经典的四
6、阶龙格库塔法求 .的值。2、 （8 分）求一次数不高于 4 次的多项式 )(p使它满足)00xfp, )(11xfp, )(00xfp, 11xf, )(22xf六、 （下列 2 题任选一题，4 分）1、 1、 数值积分公式形如 0 )()()( fDfCBfAfxSdxf（1） （1） 试确定参数 ,使公式代数精度尽量高；（2）设 1,0)(4f，推导余项公式 10)()()(xSdxfR，并估计误差。2、 2、 用二步法),(),( 1101 nnnn yxfyxfhyy 求解常微分方程的初值问题 0,时，如何选择参数 ,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数
7、值计算方法试题二一、判断题：（共 16 分，每小题分）、若 A是 n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L和上三角阵U，使 L唯一成立。 （ ）、当 8时，Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）3、形如)()(1inibaxfAdxf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高数值试题4代数精确度的次数为 12n。 （ ）、矩阵 102A的范数 2A。 （ ）5、设 a，则对任意实数 0a，方程组 bAx都是病态的。 （用 ） （ ）6、设 nRA， nQ，且有 IQT（单位阵） ，则有2。 （ ）7、区间 ba,上关于权函数 )(xW的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）8、对矩
8、阵 A 作如下的 Doolittle 分解： 601321254273ba，则 ba,的值分别为a2， b2。 （ ）二、填空题：（共 20 分，每小题 2 分）1、设 39)(248xxf ，则均差,10 _， 3,910f_。2、设函数 f于区间 ba,上有足够阶连续导数， bap,为 )(xf的一个 m重零点，Newton 迭代公式 )(1kkxfmx的收敛阶至少是 _阶。、区间 ba,上的三次样条插值函数 )(S在 ba,上具有直到_阶的连续导数。4、向量 TX)2,1(,矩阵 1327A，则A_， )(cond_。5、为使两点的数值求积公式： 110)(xffxf 具有最高的代数精确
9、度，则其求积基点应为 1x_， 2x_。6、设 nRA， AT，则 )(（谱半径） _ 2A。 （此处填小于、大于、等于）数值试题57、设 2140A，则 kAlim_。三、简答题：（9 分）1、 1、 方程 x在区间 2,1内有唯一根 *x，若用迭代公式：ln/)l(kkx)0(k，则其产生的序列 k是否收敛于 *？说明理由。2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、 3、 设 01.x，试选择较好的算法计算函数值 2cos1)(xf。四、 （10 分）已知数值积分公式为：)(0)(2)(20 hffhfhdxfh ，试确定积分公式中的参数 ，使其代数精确度
10、尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、 （8 分）已知求 )(a的迭代公式为：2,10210 kxxkk证明：对一切 , ，且序列 kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。六、 （9 分）数值求积公式 30 )2(1)(fdxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、 （9 分）设线性代数方程组 bAX中系数矩阵 A非奇异， X为精确解， 0b，若向量 是 的一个近似解，残向量 Abr，证明估计式： brcondX)(（假定所用矩阵范数与向量范数相容） 。八、(10 分) 设函数 )(xf在区间 3,0上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式 )(xH
11、，并导出其余项。 i0 1 2ix0 1 2数值试题6)(ixf-1 1 3i3 九、(9 分) 设 )(xn是区间 ,ba上关于权函数 )(xw的直交多项式序列， 1,2,(xi 为 )(1xn的零点，1li 是以 i为基点的拉格朗日 (Lagrange)插值基函数， 1)()(kkbafAdxwf为高斯型求积公式，证明：（1） （1）当 jnj,0时， 0)(1ijikni xA（2） bajk kdxlx)()()(（3） 12nk baw十、 （选做题 8 分）若 )()()()( 101 nn xxxf ，,0ix互异，求 ,pf 的值，其中 1np。数值计算方法试题三一、 （24
12、分）填空题(1) (1) (2 分) 改变函数 fxx()1 ( 1)的形式，使计算结果较精确。(2) (2) (2 分)若用二分法求方程 0xf在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 次。(3) (3) (2 分)设21xf，则 xf (4) (4) (3 分)设 21,0,23cbaS是 3 次样条函数，则a= , b= , c= 。数值试题7(5) (5) (3 分)若用复化梯形公式计算 10dxe，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。(6) (6) (6 分)写出求解方程组 24.0161x的 Gauss-Seidel 迭代公式，迭代矩阵为 ，
13、此迭代法是否收敛 。(7) (7) (4 分) 设A543,则 A ， CondA 。(8) (8) (2 分) 若用 Euler 法求解初值问题 10,1yy，为保证算法的绝对稳定，则步长 h 的取值范围为 二. (64 分)(1) (1) (6 分)写出求方程 1cos4x在区间0,1 的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2) (2) (12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 15的近似值，并利用余项估计误差。(3) (3) (10 分)求 xef在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。(4) (4) (10 分)用复化 Simpson 公式计算积分10si
14、ndxI的近似值，要求误差限为 510.。(5) (5) (10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：数值试题8276234534211xx(6) (6) (8 分)求方程组 1251x的最小二乘解。(7) (7) (8 分)已知常微分方程的初值问题：2)1(2.,yxydx用改进的 Euler 方法计算 y(.)1的近似值，取步长 2.0h。三(12 分，在下列 5 个题中至多选做 3 个题)(1) (1) (6 分)求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足：1p， 20， 01p， 572p， 2(2) (2) (6 分) 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
15、 12010 fAfdxf(3) (3) (6 分) 用幂法求矩阵 10的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值为 T0,。(4) (4) (6 分)推导求解常微分方程初值问题0, yabxyxfy的形式为 101iiii fh,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高，其中 iiyx, ihaxi, i=0,1,N,数值试题9Nabh(5) (5) (6 分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题0, ,byabxarxqp所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题三一、 （24 分）填空题(9) (1) (2 分) 改变
16、函数 fxx()1 ( 1)的形式，使计算结果较精确。(10)(2) (2 分)若用二分法求方程 0xf在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 次。(11)(3) (2 分)设21xf，则 xf (12)(4) (3 分)设 21,0,23cbaS是 3 次样条函数，则a= , b= , c= 。(13)(5) (3 分)若用复化梯形公式计算 10dxe，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。(14)(6) (6 分)写出求解方程组 24.0161x的 Gauss-Seidel 迭代公式，迭代矩阵为 数值试题10，此迭代法是否收敛 。(15)(7) (4
17、 分) 设A543,则 A ， CondA 。(16)(8) (2 分) 若用 Euler 法求解初值问题 10,1yy，为保证算法的绝对稳定，则步长 h 的取值范围为 二. (64 分)(8) (1) (6 分)写出求方程 1cos4x在区间0,1 的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(9) (2) (12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 15的近似值，并利用余项估计误差。(10)(3) (10 分)求 xef在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。(11)(4) (10 分)用复化 Simpson 公式计算积分10sindxI的近似值，要求误差限为 510.。(12)(5) (10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：276234534211xx(13)(6) (8 分)求方程组 1251x的最小二乘解。(14)(7) (8 分)已知常微分方程的初值问题：
