1、数学十大猜想“难题”之一：P（多项式算法）问题对 NP（非多项式算法）问题 “难题”之二：霍奇猜想 “难题”之三：庞加莱猜想 “难题”之四：黎曼假设 “难题”之五：杨米尔斯存在性和质量缺口 “难题”之六：纳维叶斯托克斯方程的存在性与光滑性 “难题”之七：贝赫和斯维讷通戴尔猜想 “难题”之八：几何尺规作图问题 “难题”之九：哥德巴赫猜想 “难题”之十：四色猜想美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于 2000 年 5 月 24 日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对 NP
2、（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421 可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为 3607 乘上 3803，那么你就可以用
3、一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文考克（StephenCook）于 1971年陈述的。“千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的
4、进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。“千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二
5、维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。“千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(18261866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数 z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程 z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的 1
6、,500,000,000 个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。“千僖难题”之五： 杨米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于 “夸
7、克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。“千僖难题”之六： 纳维叶斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是 19 世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶斯托克斯方程中的奥秘。“千僖难题”之七： 贝赫(Bir
8、ch)和斯维讷通戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想数学家总是被诸如 x2+y2=z2 那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s)在点 s=1 附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果 z(1)等于 0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果 z(1)不等于
9、 0,那么只存在有限多个这样的点。 世界著名数学家泰勒斯 毕达哥拉斯 芝诺 柏拉图 欧多克索斯 欧几里得 阿基米德 阿波罗尼奥斯 希帕霍斯 海伦 丢番图 刘徽 帕波斯 希帕蒂娅 祖冲之 博伊西斯 阿耶波多 婆罗摩笈多 花拉子米 马哈维拉 田刚田刚，1958 年生，江苏南京人。1982 年毕业于南京大学数学系，1984 年获北京大学硕士学位，1988 年获美国哈佛大学数学系博士学位，现任北京大学教授及美国麻省理工学院西蒙讲座教授。曾做为美国斯坦福，普林斯顿等大学访问教授。自 1998 年起，受聘为教育部“长江计划”在北京大学的特聘教授。 田刚教授解决了一系列几何及数学物理中重大问题，特别是在 K
10、ahler-Einstein 度量研究中做了开创性工作，完全解决了复曲面情形，并发现该度量与几何稳定性的紧密联系。与人合作，建立了量子上同调理论的严格的数学基础，首次证明了量子上同调的可结合性，解决了辛几何 Arnold 猜想的非退化情形。田刚教授在高维规范场数学理论研究中做出杰出贡献，建立了自对偶 Yang-Mills 联络与标度几何间深刻联系。由于他的突出贡献，田刚教授获美国国家基金委 1994 年度沃特曼奖，1996 年，他获美国数学会的韦伯伦奖。丘成桐原籍中国广东，后来迁居香港，1966 年进入香港中文大学数学系。1971 年获美国伯克莱加州大学博士学位。1987 年获美国哈佛大学名誉
11、博士学位。曾任美国斯坦福大学、普林斯顿高等研究院、圣地亚哥加州大学数学教授；1987 年至今，任哈佛大学数学教授。他自幼迷恋数学，经过不懈的努力，在大学三年级时就由于出众的才华被一代几何学宗师陈省身发现，破格成为美国加州大学伯克利分校的研究生。在陈省身教授的亲自指导下，年仅22 岁的丘成桐获得了博士学位。28 岁时，丘成桐成为世界著名学府斯坦福大学的教授，并且是普林斯顿高级研究所的终身教授。 丘成桐的第一项重要研究成果是解决了微分几何的著名难题卡拉比猜想，从此名声鹊起。他把微分方程应用于复变函数、代数几何等领域取得了非凡成果，比如解决了高维闵考夫斯基问题，证明了塞凡利猜想等。这一系列的出色工作
12、终于使他成为菲尔兹奖得主。丘成桐博士的主要科学技术成就与贡献有: 1. 解决 Calabi 猜想， 即一紧 Kahler 流形的第一陈类0 时，任一陈类的代表必有一 Kahler 度量使得其 Ricci 式等于此陈类代表。这在代数几何中有重要的应用。 2. 与 R.Schoen 合作解决正质量猜想（或称 Einstein 猜想） ， 即广义相对论一个非平凡孤立系统中， 包括由物质与引力的贡献的整个能量为正。 3. 与郑绍远合作解决实 MongeAmpere 方程的 Dirichlet（边值）问题并对minkowski 问题（即有关凸超曲面问题）给以完整的证明。 4. 与肖荫堂合作证明单连通 K
13、ahler 流形若有非正截面曲率时必双全纯等价于复欧氏空间， 并给 Frankel 猜想一个解析的证明。 5. 与 P.Li 合作在各种 Ricci 曲率条件下估计紧黎曼流形上 Laplace 算子的第一与第二特征值。 6. 与 Meeks 合作用三维流形的拓扑方法解决极小曲面的一系列问题，反过来他们用极小曲面理论推导三维拓扑方面的结果， 并导致 Smith 猜想的解决。 7. 1984 年与 Uhlenbeck 合作解决在紧 Kahler 流形上稳定的全纯向量丛与YangMillsHermite 度量是一一对应的猜想，并得出陈氏的一 个不等式。 8. 最近丘成桐正研究的镜流形， 是 Cala
14、bi丘流形的一特殊情形， 与理论物理的弦理论有密切关系， 引起数学界的广泛注意。 丘成桐教授是第一位荣获菲尔兹奖的华裔人士。他热心于帮助发展我国的数学事业。自 1979 年以来多次到中国科学院进行高质量的讲学。由科学出版社出版了专著微分几何，内容主要是他的研究结果。他还直接指导培养我国的数学博士生，至今已有 10 余人，成绩显著。1994 年 6 月 8 日当选为首批中国科学院外籍院士。陈省身(上面丘成桐的恩师)男，1911 年 10 月 28 日生于浙江嘉兴秀水县，美籍华人，20 世纪世界级的几何学家。少年时代即显露数学才华，在其数学生涯中，几经抉择，努力攀登，终成辉煌。他在整体微分几何上的
15、卓越贡献，影响了整个数学的发展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物。曾先后主持、创办了三大数学研究所，造就了一批世界知名的数学家。晚年情系故园，每年回天津南开大学数学研究所主持工作，培育新人，只为实现心中的一个梦想：使中国成为世纪的数学大国。1922 年告别秀州中学，来到天津。1923 年考入扶轮中学（今天津铁路一中）1926 年从四年制的扶轮中学毕业，岁考入南开大学本科研修数学（南开理学院） ，在这里开始了他的数学历程。1930 年从南开大学毕业，到清华大学任助教并就读清华大学研究生，随孙光远先生研究射影微分几何。1932 年在清华大学理科报告上发表第一篇学术论文
16、具有一一对应的平面曲线对 。1934 年夏毕业于清华大学研究生院。动身去德国汉堡。1935 年 10 月完成博士论文关于网的计算和维空间中维流形三重网的不变理论 。在汉堡大学数学讨论会论文集上发表。1936 年 9 月来到巴黎大学做学术访问。1937 年受聘为清华大学的数学教授。1943 年 7 月在美国普林斯顿全身心投入大范围微分几何研究。发表了几篇匠心独运的微分几何论文。1948 年数学研究所正式成立，陈省身任代理所长，主持数学所一切工作。入选中央研究院第一届院士。1949 年陈省身到达芝加哥，担任芝加哥大学的几何学正教授。十年中，复兴了美国的微分几何，形成了美国的微分几何学派。1960
17、年迁往柏克利，在那一直工作到退休。1961 年被美国科学院推举为院士，这是美国科学界的最高荣誉职位，并入美国国籍。1972 年继杨振宁 71 年回国访问之后于 72 年 9 月首次偕夫人回国，与当时中科院院长郭沫若等会见。1981 年退休后，担任美国数学科学所第一任所长，任期三年，后任名誉所长。1984 年 5 月获得世界数学最高奖项沃尔夫奖。1984 年中华人民共和国教育部聘请陈省身担任南开大学数学研究所所长。 （该所 1985 年 10月 17 日正式成立。 ）1984 年 8 月 25 日邓小平同志在北京会见陈省身夫妇。89 年、96 年、99 年据不完全了解，江泽民同志三次会见陈省身教授，其中 89 年党和国家主要领导分别会见并宴请，规格很高。1995 年当选为首批中国科学院外籍院士。2000 年 回到祖国，定居南开大学。2004 年 9 月获得首届邵逸夫奖。2004 年 12 月 3 日因病逝世刘徽 生平 (生于公元 250 年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东临淄或淄川一带人。终生未做官。 著作 刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有：
