数学归纳法经典例题及答案.doc

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1、1数学归纳法 (2016.4.21)一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是:(1)证明当 取第一个值 (如 或 2 等)时结论正确; n0n01(2)假设当 时结论正确,证明 时结论也正确 (N,)k1nk综合(1)、(2),注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。二、题型归纳:题型 1.证明代数恒等式例 1用数学归纳法证明: 12127513nn证明:n=1 时,左边 ,右边 ,左边=右边,等式成立33假设 n=k 时,等式成立,即:12127511 kk当 n=k+1 时 321217531 kk3212kk1312k这就说明,当 n=k+1 时,等式亦成立,由、可知,对一切自然

2、数 n 等式成立2题型 2.证明不等式例 2证明不等式 (nN)21321证明:当 n=1 时,左边=1 ,右边=2 左边右边,不等式成立假设 n=k 时,不等式成立,即 k21321那么当 n=k+1 时, 1312k 21k1k这就是说,当 n=k+1 时,不等式成立由、可知,原不等式对任意自然数 n 都成立说明:这里要注意,当 n=k+1 时,要证的目标是,当代入归纳假设后,就是要证明:121321k1kk认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标题型 3.证明数列问题例 3 (x1) na 0a 1(x1)a 2(x1) 2a 3(x1) 3a n(x1)

3、 n(n2,nN *)(1)当 n5 时,求 a0a 1a 2a 3a 4a 5 的值(2)设 bn ,T nb 2b 3b 4b n.试用数学归纳法证明:当 n2 时,T na22n 3.n(n 1)(n 1)3解: (1)当 n5 时,3原等式变为(x1) 5a 0a 1(x1)a 2(x1) 2a 3(x1) 3a 4(x1) 4a 5(x1) 5令 x2 得 a0a 1a 2a 3a 4a 53 5243.(2)因为(x1) n2 (x 1) n,所以 a2C n22n2bn 2C n2n(n1)(n2)a22n 3当 n2 时左边T 2b 22,右边 2,左边右边,等式成立2(2 1)(2 1)3假设当 nk( k2,k N *)时,等式成立,即 Tk 成立k(k 1)(k 1)3那么,当 nk1 时,左边T kb k1 (k1)(k 1) 1 k(k1)k(k 1)(k 1)3 k(k 1)(k 1)3k(k1) (k 13 1) k(k 1)(k 2)3 右边(k 1)(k 1) 1(k 1) 13故当 nk1 时,等式成立综上,当 n2 时,T n .n(n 1)(n 1)3

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