1、 1高中文科数学知识点 必修 1 数学知识点集合：1、集合的定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做 这个集合中的元素 2、集合元素的特征：确定性 互异性 无序性3、集合的分类：有限集 无限集 空集，记作 4、集合的表示法：列举法 描述法 文氏图法 特殊集合 区间法 常用数集及其记法：自然数集（或非负整数集）记为 正整数集记为 或NN 整数集记为 实数集记为 有理数集记为ZRQ5、元素与集合的关系：属于关系，用“ ”表示；不属于关系，用“ ”表示6、集合间的关系：包含：用“ ”表示 真包含：用“ ”表示 相等 不相等7、集合的交、并、补交集的定义：由所
2、有属于集合 且属于集合的元素组成的集合，叫做 与 的交集，记作 ，AABBA即 BxB且并集的定义：由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，叫做 与 的并集，记作 ，即 或8、全集与补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于 的所有元素组成的集合称为集合 相对于集合AUAA的补集，记作 ，即UCx且,9、交集、并集、补集的运算：(1)交换律： BB(2)结合律: )()()()( CB(3)分配律:. )(AAA(4)0-1 律： ,UU(5)等幂律：(6)求补律： CC UU )(7)反演律： )()()(BBU)()(BCBU10、文氏图的应用：交集、并集、补集的文氏图表示11、重要的等
3、价关系： BAAB12、一个由 个元素组成的集合有 个不同的子集，其中有 个非空子集，也有 个真子集nn212n 12n函数：1、映射：设 是两个集合,如果按照某种对应法则 ，对于集合 中的任何一个元素 ，在集合BA、 fAa中都有唯一的元素 和它对应,则这样的对应（包括集合 以及 到 的对应法则 ）bB、 f叫做从集合 到集合的映射，记作 ，其中 叫做 的象， 叫做 的原象BAf:bab如果在这个映射下，对于集合 中的不同元素，在集合中有不同的象，而且 中的每一个元素UCUA AA BABAB2都有原象，那么这个映射叫做 到 上的一一映射AB2、 函数：设 是两个非空数集，那么从 到 的映射
4、 就叫做函数，记作 ，其 BA、 BAf: )(xfy中 ， 叫做自变量, 是 的函数值自变量的取值集合 叫做函数的定义域，yx,xyx函数值的集合 叫做函数的值域，值域 ，函数三要素：定义域、值域、对应法则;两个函数相同：CC定义域和对应关系都分别相同3、函数的表示方法：（1）列表法 （2）图象法 （3）解析法4、分段函数:在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数5、 （1）函数的定义域的常用求法：分式的分母不等于零 偶次方根的被开方数大于等于零 对数的真数大于零 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1三角函数正切函数 中 ，余切函数 中,tanyx()2
5、kZcotyx)(Zk如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围（2）值域的求法：直接法 分离常数法 图象法 换元法 判别式法 不等式与对勾函数6、求函数解析式的方法:直代 凑配法 换元法 待定系数法 列方程组法 特殊值法7、增减函数的定义：对于函数 的定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值)(xfI 21,x若当 时，都有 ,则说 在这个区间上是增函数21)(21xff)(xf若 当时，都有 ,则说 在这个区间上是减函数8、 （1）单调性的证明：讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二差, 三判断”三个步骤（2）函数单调性的常
6、用结论：若 均为某区间上的增（减）函数,则 在这个区间上也为增（减）函()fxg()fxg数若 为增（减）函数，则 为减（增）函数()fx若 与 的单调性相同，则 是增函数；若 与 的单调性不同，()f ()yf()fxg则 是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减”ygx奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反9、 （1）奇、偶函数的定义：对于函数 )(xf如果对于函数定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 就叫做偶函数)(xff)(xf如果对于函数定义域内任意一个 ，都有 ,那么函数 就叫做奇函数注意：函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 是定义域上的恒等式
7、)()( xffxf或若奇函数 在 处有意义，则f00)(f奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于 轴成轴对称图形 y（2）函数奇偶性的常用结论：如果一个奇函数在 处有定义，则 ，如果一个函数 既是奇函数又是x()f()fx偶函数，则 （反之不成立）()f两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数两个函数 和 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合()yfu()gx函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数基本初等函数31、 （1）一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根。其中axnxanNn,1
8、负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0，记作 0当 是奇数时， ，当 是偶数时，n )(|aan我们规定：(1) (2)ma1,0*mN1nn（2）对数的定义：设 且 ,对于数 ,若能找到实数 ,使得 ,那么数 称为以 为01bNbba底的 的对数,记作 ,其中 叫做对数的底数 , 叫做真数Nbalog注：（1）负数和零没有对数（因为 ） （2） （ 且 ）1log0laa01（3）将 代回 得到一个常用公式 （4）balogblogaNxax（3）幂函数的定义：一般地，我们把形如 函数称为幂函数其中 是自变量, 是常数axyx2、 （1） Qsrsrsr ,0Qsrrsr ,0 bab（
9、2）当 时：,1NMa aalogllog NMNaaalogll Mnaalogl换底公式： ，利用换底公式推导下面的结论：bcl0,1,0bc（1） （2）mnaalogabalogl3、 （1）指数函数的定义：函数 叫做指数函数.函数的定义域是实数集),(yx R（2）对数函数的定义：一般把函数 叫做对数函数,它的自变量为 ,其定义10la且 x域是 ，底数 为常数 ,0表 1 指数函数 1xya对数数函数 log0,1aya定义域 R,x值域 0,yyR图象过定点 (0,1) 过定点 (1,0)性质减函数 增函数 减函数 增函数4零点、二分法：1、 （1）函数的零点：对于函数 ，我们把
10、使 的实数叫做函数 的零点)(xfy0)(xf )(xfy方程 有实根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点0yx)(xfy如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 ，那ba, 0ba么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程)(f bac,0)(cfc的根)(xf(,0)(1,)xy时 ，时 ， (,0)(,1)xy时 ，时 ， (0,)(,)0xy时 ，时 ， (,1)(,0)xy时 ，时 ，abababab表 2 幂函数 ()yxRpq0111pq为 奇 数为 奇 数奇函数pq为 奇 数为 偶 数pq为 偶 数为 奇 数偶函数第一象限性质 减函数 增函数
11、过定点 01（ ， ）5（2）函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根0)(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函)(xfy数的性质找出零点2、二分法：定义：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 高中数学必修 2 知识点立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等表示：用各顶点
12、字母,如五棱柱 或用对角线的端点字母,如五棱柱 EDCBA AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 P几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态
13、、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 EDCBA几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆 母线与轴平行 轴与底面圆的半径垂直侧面展开图是一个矩形（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆 母线交于圆锥的顶点 侧面展开图是一个扇形（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆 侧面母线交于原圆锥的顶点 侧面展开图是一个弓形（7）球体
14、：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆 球面上任意一点到球心的距离等于半径2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）6注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半4、柱体、锥
15、体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和（2）特殊几何体表面积公式（ 为底面周长， 为高， 为斜高， 为母线）：ChlchS直 棱 柱 侧 面 积 rS2圆 柱 侧 21chS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(21正 棱 台 侧 面 积 lR)(圆 台 侧 面 积lr圆 柱 表 r圆 锥 表 22Rlr圆 台 表（3）柱体、锥体、台体的体积公式：VSh柱 2Shr圆 柱 13VSh锥 hV231圆 锥1()3台 ()()rR圆 台（4）球体的表面积和体积公式： 3R4球 24球 面5、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念： 描述性说明
16、平面是无限伸展的、A、B 平面的表示：通常用希腊字母 表示，如平面 （通常写在一个锐角内） ；也可以用、 两个相对顶点的字母来表示，如平面 C 点与平面的关系：点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作AA点与直线的关系：点 的直线 上，记作： ；点 在直线 外，记作llll直线与平面的关系：直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作（2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理 1： ,AlBl（3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有
17、一个平面推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面7公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据（4）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面 和 相交，交线是 ，记作 符号语言：aa,PABlP公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据（5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面
18、直线性质：既不平行，又不相交 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 a/，则把直线 和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 和 所成的角。两条异面直线b/ ab所成角的范围是 ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂09,直说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义 异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点 是任取的，而和点 的位置无关O（3）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特
19、殊的位置，顶点选在特殊的位置上B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点三种位置关系的符号表示： /aAa（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点： 相交有一条公共直线：b6、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行线线平行 线面平行线面平行的性质定理：如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 ， 经 过 这 条 直 线 的 平 面 和 这 个 平
20、面 相 交 ，那 么 这 条 直 线 和 交 线 平 行 。 线面平行 线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行 面面平行）（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行（线线平行 面面平行）（3）垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行（面面平行 线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条
21、异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直 平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角） ，就说这两个平面垂直（2）垂直关系的判定和性质定理8线面垂直判定定理和性质定理判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：如果
22、两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面8、空间角问题（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为 0两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角两条异面直线所成的角：过空间任意一点 ，分别作与两条异面直线 平行的直线 Oba,，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直ba,角的角叫做两条异面直线所成的角（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为 平面的垂线与平面所成的角：规定为0 90平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角求斜线与平面所成角的
23、思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这
24、两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 直线与方程1、直线的倾斜角定义： 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 轴平 x x行或重合时,我们规定它的倾斜角为 度。因此，倾斜角的取值范围是0 00182、直线的斜率定义：倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率09常用 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度ktank当 时， 当 时，
25、当 时， 不存在 ,18,90k9k过两点的直线的斜率公式： )(212xxy注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 9019(2) 与 的顺序无关 k21,P(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到3、直线方程点斜式： 直线斜率 ，且过点)(11xkyk1,yx注意：当直线的斜率为 时， ，直线的方程是o0当直线的斜率为 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。但因 上每一点的横9 l坐标都等于 ，所以它的方程是1 1斜截式： ，直线斜率为 ，直线在 轴上的截距为bkxykyb两点式
26、： （ ）直线两点 ，1212212,x1,x2,y截矩式： ，其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距abl(0)ay(0)lxy分别为 ,一般式： （ 不全为 0）0CByAxBA,注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于 轴的直线： （ 为常数） ；平xby行于 轴的直线： （ 为常数） ax4、两直线平行与垂直当 ， 时， ；11:bxkyl22:bkyl 212121,/bkl1221kl注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否5、两条直线的交点： 相交01CBA0:CyBxA交点坐标即方程组 的一组解221yx方程组无解 方程组有无数解
27、与 重合/l1l26、两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，12(,),， （ ）则 2|(ABxy7、点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0,xP0:1CByAxl 20BACyxd8、两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径2、圆的方程（1）标准方程 ，圆心 ，半径为22rbyaxba,r（2）一般方程 0FED当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为042)2,(EDFEDr21当 时，表示一个点；当 时，方程不表示任何图形2042F（3）求圆方程的方法
28、：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 ；若利用一般方程，需要求出 ，另外要注意多利用圆的几何性质：如rba、 ED、弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置3、直线与圆的位置关系：10直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 ，圆 ，圆心 到 的距离为0:CByAxl 22:rbyaxbaC,l，则有 ； ；2bad相 离与lrd相 切与ld相 交与rd（2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个:l 22:一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有相 离与l0相 切与0 相 交与l0注：如果
29、圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中20ryx0,yx表示切点坐标， 表示半径r(3)过圆上一点的切线方程：圆 ，圆上一点为 ，则过此点的切线方程为22y),(0yx 20ryx圆 ，圆上一点为 ，则过此点的切线方程为2)()(bax),(0200 r4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ ）之间的大小比较来确定d设圆 ，121:byaxC2222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ ）之间的大小比较来确定当 时两圆外离，此时有公切线四条rRd当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条当 时两圆相交，连心
30、线垂直平分公共弦，有两条外公切线当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线当 时，两圆内含 rd当 时，为同心圆0高一数学必修 3算法初步1、秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个 次多项式，只要作 次乘 nn法和 次加法即可。表达式如下：n122111 . axxaxaxann 2、理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的 含义（1）描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）（2）算法的特征：有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确
31、切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度（3）算法含有两大要素：操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构3、流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图 形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改 注意：（1） 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯（2）拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时
