1、1第一章计数原理11 分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：2 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：引入课
2、题先看下面的问题：从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理（1）提出问题问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题 1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班，汽车有
3、 2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方m法，在第 2 类方案中有 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n种不同的方法.mN（3）知识应用例 1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学 B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能
4、选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）.变式：若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第 21m2类方案中有 种不同的方法，在第 3 类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有2m3m多少
5、种不同的方法？如果完成一件事情有 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何n计数呢？一般归纳：完成一件事情，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 种不同的方法，在第 2 类办法中有1种不同的方法在第 n 类办法中有 种不同的方法.那么完成这件事共有2 n种不同的方法.N2理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题 2.1：用前 6 个大写英文字母和 19 九个阿拉伯数字，以 , ,， , ,的方式给教室里的
6、座位编1A21B2号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码： 我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 69 = 54 个不同的号码探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第 2 类方案中有 种不同的方法. 那么完成这件mn事共有 种不同的方法.nN（3）知识应用例 2.设某班有男生 30 名，女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，
7、可以分两个步骤第 l 步选男生第 2 步选女生解：第 1 步，从 30 名男生中选出 1 人，有 30 种不同选择；第 2 步，从 24 名女生中选出 1 人，有 24 种不同选择根据分步乘法计数原理，共有 3024 =720 种不同的选法探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有1m种不同的方法，做第 3 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？2m3m如果完成一件事情需要 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？n一般归纳： 完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做1第 2 步有 种不同的方法
8、做第 n 步有 种不同的方法.那么完成这件事共有2种不同的方法.nN1理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何
9、其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例 3. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 33层放 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本书” ，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.要完成的事是“从书架的第 1、2、3 层中各取一本书” ，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第
10、1、2、3 层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.要完成的事是“取 2 本不同学科的书” ，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各 1 本，再要考虑取 1 本计算机书或取 1 本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取 1 本书，有 3 类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法根据分类加法计
11、数原理，不同取法的种数是=4+3+2=9;3Nm( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是=432=24 .2（3） 。6例 4. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在
12、左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=32=6 . 6 种挂法可以表示如下：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事教学反思：课堂小结1分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题
13、的基本思想.2理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两4类的方法都是不同的方法，即“不重不漏“. 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这 n 个步骤，这件事才算完成.121 排列教学目标：知识与技能：了解排列数
14、的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念 奎 屯王 新 敞新 疆 教学难点：排列数公式的推导 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆 课时安排：2 课时 奎 屯王 新 敞新 疆 教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆内容分析：分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后
15、在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础 奎 屯王 新 敞新 疆分类计数原理和分步计数原理既
16、是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 教学过程：一、复习引入：1奎 屯王 新 敞新 疆 分类加法计数原理：做一件事情，完
17、成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有 种m2mnm不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 那么完成这件事共有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆1N2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 种不同1的方法，做第二步有 种不同的方法，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这2 m件事有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆1nN分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是 “分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一
18、类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 奎 屯王 新 敞新 疆 应用两种原理解题 :1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立， “步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解新课：1 奎 屯王 新 敞新 疆 问题：问题 1从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙 3
19、名同学中每次选取 2 名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有 6 种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素 奎 屯王 新 敞新 疆解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法根据分步乘法计数原5理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 32=6 种，如图 1.2 一
20、1 所示图 1.2 一 1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从 3 个不同的元素 a , b ， 。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 32=6 种问题 2从 1,2,3,4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在 4 个字母中任取 1 个，有 4 种方法；第二步确定中间的数，从余下的 3 个数中取，有 3 种方法；第三步确定右边的数，从余下的 2 个数中取，有 2 种方法 奎 屯王 新
21、敞新 疆由分步计数原理共有：432=24 种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列 奎 屯王 新 敞新 疆由此可写出所有的排法 奎 屯王 新 敞新 疆显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数
22、字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，共有 432=24 种不同的排法， 因而共可得到 24 个不同的三位数，如图 1. 2 一 2 所示由此可写出所有的三位数： 123，124, 132, 134, 142, 143，213，214, 231, 234, 241, 243，312，314, 321, 324, 341, 342，412，413, 421, 423, 431, 432 。同样，问题 2 可以归结为：从 4 个不
23、同的元素 a, b, c，d 中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,6cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有 432=24 种.树形图如下a b 2排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定nmn的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆n说明：（1）排列的定义包括两个方面
24、：取出元素，按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同 奎 屯王 新 敞新 疆3排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取nnn出 元素的排列数，用符号 表示 奎 屯王 新 敞新 疆mmnA注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 个元nm素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取 （）个元素的所有排列的个数，是一个数 奎 屯王 新 敞新 疆 所以符号 只表示排列数，而不表示具体n mnA的排列 奎 屯王 新 敞新 疆4排列数公式及其推导：由 的意义：假定有排好
25、顺序的 2 个空位，从 个元素 中任取 2 个元素去2nA 12,na填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数 由分步计数原理完成A上述填空共有 种填法， = 奎 屯王 新 敞新 疆(1)nA(1)由此，求 可以按依次填 3 个空位来考虑， = ，求 以按依次3n 3n()mn填 个空位来考虑 ，m()2mm排列数公式：(1)21nA（ ）,Nn说明：（1）公式特征：第一个因数是 ，后面每一个因数比它前面一个少 1，最后一n个因数是 ，共有 个因数；m（2）全排列：当 时即 个不同元素全部取出的一个排
26、列 奎 屯王 新 敞新 疆全排列数： （叫做 n 的阶乘） 奎 屯王 新 敞新 疆 另外，我们规定 0! =1 .(1)2!nA巩固练习：书本 20 页，,4,5,6课外作业：第 27 页 习题 1.2 A 组 1 , 2 , 3,4,5教学反思：排列的特征：一个是“取出元素” ；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。对于较复杂的问题，一般都有两个
27、方向的列式途径，一个是“正面凑” ，一个是“反过7来剔” 前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。122 组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数 与组合数 之间的联系，掌握组合数mnA公式，能运用组合数公式进行计算。情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
28、教学重点：组合的概念和组合数公式 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点：组合的概念和组合数公式 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：2 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题
29、的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解
30、排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1奎 屯王 新 敞新 疆 分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有种不同的方
31、法，在第二类办法中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有 种m2mnm不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 那么完成这件事共有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆1N2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 种不同1mnC8的方法，做第二步有 种不同的方法，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这2mnm件事有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆1nN3排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆4排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）
32、个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示 奎 屯王 新 敞新 疆n mnA5排列数公式： （ ）(1)2(1)mnA ,Nn6 奎 屯王 新 敞新 疆 阶乘： 表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘 奎 屯王 新 敞新 疆 规定 ! 0!17排列数的另一个计算公式： = 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆mn!()8.提出问题： 示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不
33、同的选法？引导观察：示例 1 中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列” ，而示例 2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的 奎 屯王 新 敞新 疆 引出课题：组合 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解新课：1 奎 屯王 新 敞新 疆 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个nmnn不同元素中取出 个元素的一个组合 奎 屯王 新 敞新 疆m说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同 奎 屯王 新 敞新 疆例 1判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中
34、部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 nmnn个不同元素中取出 个元素的组合数用符号 表示mC3组合数公式的推导：（1）从 4 个不同元素 中取出 3 个元素的组合数 是多少呢？,abcd34启
35、发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 可以34A求得，故我们可以考察一下 和 的关系，如下：34CA组 合 排列9dcbbcdcbcd aaa,由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 ，可以分如下两步： 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共34A有 个； 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 种方法由分步计数原理34C A得： ，所以， 34AC334A（2）推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 ，可以分如下两mnA步： 先求从 n 个不同元素中取
36、出 m 个元素的组合数 ；nC 求每一个组合中 m 个元素全排列数 ，根据分步计数原理得： nCm（3）组合数的公式：或 奎 屯王 新 敞新 疆(1)2(1)!mnAnC )!(mn),N且规定: .0n三、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 奎 屯王 新 敞新 疆 学生探究过程：（完成如下表格）名 称 排 列 组 合定义种数符号计算公式关系性质四、课后作业： 奎 屯王 新 敞新 疆五、板书设计（略） 奎 屯王 新 敞新 疆六、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵
37、活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。名称内容 分类原理 分步原理定 义相同点不同点10教科书在研究组合数的两个性质 ， 时，给出了组mnC11mnnC合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。教学反思：1 注意区别“恰好”与“至少”从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共
38、有多少种2 特殊元素（或位置）优先安排将 5 列车停在 5 条不同的轨道上，其中 a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑” ， “不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第 5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有 10
39、 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多少种分法?(3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份,每份 2 件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛,每校至少有 1 人,这样有几种选法?131 二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 奎 屯王
40、新 敞新 疆教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：3 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点二项式定理的证明是一个教学难点这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质 2、需要用到不太熟悉的数学归纳法在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习教学过程：
