1、4.3 平面向量的数量积教学内容：平面向量的数量积（2 课时）教学目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系教学重点：平面向量数量积的运算及其应用（解决有关长度、角度和垂直的问题） 教学难点：平面向量数量积的几何意义教学用具：三角板教学设计：一、知识要点1.平面向量的数量积的定义（1）向量的夹角：已知两个非零向量 ， ，过 点作 ， ，则abOaAbBAO叫做向量 ， 的夹角. 当且仅当两个非零向量 ， 同向时， ；当)80( 0且仅当两个非零向量 ， 反向时， ；当且仅当两个非零向量 ， 的夹角ab
2、1809时，称 与 垂直，记作 .注：两个向量 ， 平移成有公共起点时两个向量所成的角才是向量的夹角；要注意它的取值范围是 ；零向量与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.180（2）向量的数量积：两个非零向量 ， 的夹角为 ，则 叫做向量 ， 的数abcos|baab量积（或内积） ，记作 .b（3）向量数量积的几何意义： 叫做 在 方向上的投影， 等于 的长度与cos| 在b方向上的投影的乘积.a2. 向量的运算运算 运算法则 运算性质数量积是一个实数，bacos|, ， cos|ae ab)()(bc0与 同向时，a|ba与 反向时，b，2|2|，|cosba|注：与实数乘法比较，虽然乘
3、法公式仍然适用，但是结合律不成立，即 ；)()(cba消去律不成立，即由 不能得到 ；此外由 也不能得到 或 .cabcb0ba03. 重要定理、公式的坐标表示二、典型例示例 1 已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 ； ；3|a2|bab135ba)(ba；2)(b； .( )()注：数量积的计算是基本的技能，在展开时与多项式乘法类似（乘法公式仍然适用） ，但与乘法的法则比较，数量积除了模的乘积之外还有夹角的余弦.例 2（1）设 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，求 和 ；ab1|ab60ba|2|（2）已知两个单位向量 与 的夹角为 ，若 ， ，求 与2cd3c夹d角的余弦；（4）已知 ， ， ，
4、求向量 在向量 方向上的投影.3|a5|b1aba注：本例中的问题是向量的数量积所涉及到的基本问题（数量积的计算及有关长度、角度） ，体现了向量的工具性，要切实把握好解决这些问题的基本方法；其中角度的计算是以数量积和向量长度的计算为基础的.例 3（1）已知平面上三个向量 ， ， 的模均为 ，它们相互之间的夹角都是 ，c 120求证： ；cba)(（2）设 ， 满足 ， ， ，若向量 与 互相垂直，求3|a4|b6abka实数 的值（是否存在实数 ，使得向量 与 互相垂直？说明理由）.kkk（3）若 , 是两个非零向量，且 与 垂直， 与 垂直，试 57427求与 的夹角.ab注：向量垂直的充要
5、条件的应用是重要而且关键的知识点，需要通过举一反三的方式训练落实，这里根据向量满足的不同条件列出方程（组）求解是确定参数值的基本方法.例 4 已知 ， ， 与 的夹角为 ，求当向量 与 的夹角2|a3|ba45bka是钝角时，实数 的取值范围.k解：由已知得 ，因为向量 与 的夹角是钝角，所以45cos bka， 且 与 不反向共线 ，0)()(babka由得 ，即 ，122 0312解得 ；68685k由得 ，有 且 ，解得 ，则有 ，)(bakk1k1综上所述，当向量 与 的夹角是钝角时，实数 的取值范围是且 68516851k1注：根据向量满足的不同条件列出不等式（组）求解是确定参数值取
6、值的基本方法；不可忽略向量的特殊位置关系的探讨.三、课堂练习1. 已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 等于（ ）3|a2|ba30|baA. B. C. D. 1332532. 已知 ， ，则向量 与 的位置关系是（ ）|a4|bba34A. 平行 B. 夹角为 C. 垂直 D. 不平行也不垂直53. 设 ， 满足 ，且 ，若 与 互相垂直，则实数 的值是1| 2bak4k（ ）A. B. C. D. 66334. 若 , 是两个非零向量，且 ， ，则 与 的夹角是（ ）abab)()(A. B. C. D. 3265四、课堂小结 向量的数量积所涉及到的基本问题包括：数量积的计算、有关长度和角度
7、的计算、垂直问题的探讨，体现了向量的工具性.五、课外作业1设 ， ， 是任意的非零向量，且相互不共线，则 不与 垂直；abc bacb)()(c ； ；0)()( |ab224|932a中，是真命题的有 （ ）A B C D 2已知下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；|ab2 22)(bab（4） ，其中正确的有 （ ）22)(baA 1 个 B2 个 C 3 个 D 4 个3. 已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 =（ ）. 60|A B C D47104已知 ， ， ，则 等于 （ ）|a5|ba|baA 23 B 35 C D 23355. 若向量 与 的夹角为 ， ， ，
8、则向量 的模为（ 6|72)()(ba）A 2 B 4 C 6 D 126已知 ， ， ，则 与 的夹角是 （ ）3|a1|b9aaA B C D 1050037. 若 ， ， ，且 ，则向量 与 的夹角为 ( )|2|ccbA30 B60 C120 D1508已知向量 ，| | ，对任意 ，恒有| t | |，则 （ ae1Rtae）A B ( ) C ( ) D ( )( )aeea9已知 ， ，则 的取值范围是 （ ）8|5|A|A B C D,3,3(13, )13,10. 已知正方形 的边长为 ， ， ， ，则 的模等于（ CD1aABbcAbc）A0 B3 C D 2211. 中，
9、 ， ， ， 则 . C|4|5|A ABCB12等腰 中， ，则 .Rt | CB13设 为 内一点， ，则 是 的_心。OABOO 14已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 和 3|a4|ba150)(23(ba|2|15已知 ， ， ，求向量 与 的夹角.21)(bab16. 已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 与 的夹角.|17. 已知 ， ， ，求证： .37 )()(18. 设 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，若 ，求实数 的值.ab1|ab60ba19. 已知 ， ， 与 的夹角为 ， ，求实数 的2| 15)2()(值.已知不共线的 ， ， 三向量两两所成的角相等，并且 ， ， ，试c|3|c求向量 的长度以及与已知三向量的夹角。ab19设 与 是两个互相垂直的单位向量，问当 为何整数时，向量 与kmkab的nk夹角能否等于 ，证明你的结论。 60
