1、1构造三角形重心巧定两平面法向量的方向利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小，由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小，许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向，来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角。这种方法虽然简单，但由于空间任意两个向量都是共面的，要从图形上直接判定他们的方向，需要很强的空间想象能力，好多学生是达不到这种境界的。在最后的复习中，我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时，而学生不知道如何找二面角内的点 P，结果给解题带来麻烦。为了帮助学生更好更快的解题，我们在二面角内总可以找到一个三角形，将此三角形的重心作为二面角内的点 P，可以不加思索
2、的让学生很方便的正确求解，偶有所得，现结合近年的年高考题，写出来与大家同享。为了解决问题的方便，现给出如下的两个定理：定理 1：向量 m是平面 的一个法向量，点 O 在平面 内，点 P 在平面 外。若0OP，则向量 与向量 P指向平面 的同侧（如图 1） ；若 0Om，则向量与向量 指向平面 的异侧（如图 2） 。证明：当 0OPm时， cosOPm ， s0， 2，向量与向量 指向平面 的同侧。同理可证当 时， co0， ，向量 与向量 指向平面 的异侧。定理 2：点 P是二面角 l内一点，点 O 是棱 l上一点，向量 nm,分别是平面,的一个法向量，二面角 大小为 。若 P与 O同号，则n
3、m,；若 O与 Pn异号，则 n,（如图 3）Pm图 1 图 2图 3mO2证明：（一）若 OPm与 n异号1）当 0且 时，由定理 1 易知：向量 m与向量 OP指向平面 的同侧；向量 n与向量 指向平面 的异侧，而 OP始终都是指向两平面外部的，所以向量 m与向量 与两平面的指向互异，所以 n,2）同理可证当 0OP且 n时， m（二）若 与 同号1）当 m且 时，由定理 1 易知：向量 与向量 OP指向平面 的同侧；向量 n与向量 OP也指向平面 的同侧，而 始终都是指向两平面外部的，所以向量 与向量 与两平面的指向一致，所以 nm,；2）同理可证：当 0m且 n时， ,例 1、 （20
4、08 年全国高考数学北京卷文）如图，在三棱锥 P-ABC 中， AC=BC=2， ACB=90， AP=BP=AB， PC AC.（）求证： PC AB；（）求二面角 B-AP-C 的大小.解：（）略（）由题易知： APC BPC， CBP，以 C 为坐标原点，CB，CA，CP 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系。)0,2(A，则 )0,(， ),(， )2,0(， A中点1,M， 2,P， )0,(，)0(C。设平面 BAP 的一个法向量为,11zyxn，则由 01APnB，可得,021z即 zyx，故可取 )1,(n.设平面 APC 的一个法向量为),(22yxn，则
5、由 02PCnA，可得 ,022zy即 02zy，故可取)0,1(2，由于二面角的棱 AP 的中点 )1,(M，而 BPC在二面角 CAP内，图 4MA BCPzxy3则 BPC的重心 Q )32,0(， 1,M， 321nM， 32nQ， 1nMQ与 2异号，二面角 APB的大小 与 21,的大小相等，所以3,cos2121n，故二面角 CAPB的大小为 3arcos点评：利用三角形重心判定两平面法向量的方向，先在棱上找一点，为方便期间，一般找二面角棱的中点，再结合定理就可以求出二面角的大小。例 2. （2008 年全国高考数学全国卷理科 18 题） ，四棱锥 DE中，底面 BCE为矩形，侧
6、面 ABC底面 DE， 2BC， ， ABC（）证明： ；（）设 与平面 所成的角为 45，求二面角 的大小解：（）略。（）取 CB 的中点 O, AB，AOCB，又侧面 AB底面 CDE，AO底面BCDE，以 O 为坐标原点，OC，Oy，OA 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系，则 )0,1(B，)0,1(C， 2,D， ),2(E，设 ),0(a，因此aA， C， 2DE，二面角的棱 AD 的中点 )2,1(M，设平面 CAD 的法向量为),(11zyxn，则由 ADnC,，可得 0211azyx1yazx，故可取 )1,0(1an，同理可得平 ADE 的一个法向量为
7、 ),(2n，由于棱 AD 的中点 )2,(M，而ABC在二面角 EA内，且 ABC的重心 Q 的坐标为 )3,0a， )6,21(aMQ， 321anM， 22n， 1n与 同号，所求的二面角大小 与 21,的大小互补，所以图 5MBCEDxyOzA421,cos22121 ann ，由于 CE 与平面 ABE 成 45的角，由题易知平面 ABE 的一个法向量为 ),0(，而 )0,(CE，所以61245sinaCE32a， 1,cos21n， 0,cos21n，故二面角 CADE的大小 = 10arcos.点评: 法向量的夹角与二面角的大小可能相等也可能互补，要注意法向量的方向。利用法向量
8、确定两平面的夹角的基本思想是：根据所求得的法向量的坐标，确定两法向量的指向（可以以坐标原点为起点，以两坐标对应的点分别为终点）若两法向量的指向互异，则它们的夹角与二面角的大小相等；若两法向量的指向一致，则它们的夹角与二面角的大小是互补的。即向量 21,n指向互异，则 2121,cosn， 21arcosn；若向量 21,指向一致，则 2121,sn， 21r参考文献：1、 袁智斌.由动手操作上升到计算推理，中学数学教学参考（高中） （J）2007.62、 严勇.立体几何中的轨迹问题，中学数学杂志（高中） （J）2007.33、 王克亮.不妨回到最朴素的判定方法，中学教研（数学） （J） ，2008.1
