1、第 1 页 共 13 页线性规划练习1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如 的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在(,)zaxbyR轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效y避免因画图太草而造成的视觉误差.1.【2012 年高考广东卷 理 5】已知变量 ,xy满足约束条件241yx，则 3zxy的最大值为( )()A12()B1 ()C ()D2. (2012 年高考辽宁卷 理 8)设变量 ,xy满足-10+25xy，则 +3xy的最大值为A20 B35 C45 D553.(2012 年高考全国大纲卷 理 13) 若 ,xy满足约
2、束条件103xy，则 3zxy的最小值为 。4.【2012 年高考陕西卷 理 14】 设函数 ln,0()21xf， D是由 x轴和曲线 ()yfx及该曲线在点 (1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 zy在 上的最大值为 5.【2012 年高考江西卷 理 8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 计，投入资金不超过 54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A50，0 B30，20 C20，30 D0，506. (2012 年高考四川卷 理 9 ) 某公司生产甲、乙
3、两种桶装产品. 已知生产甲产品 1 桶需耗 A原料 1 千克、B原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A原料 2 千克， B原料 1 千克. 每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 B原料都不超过 12 千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元7. (2012 年高考安徽卷 理 11) 若 ,xy满足约束条件：023xy；则 xy的取值范围为 _.年产量/ 亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4 吨 1
4、.2 万元 0.55 万元韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元第 2 页 共 13 页8(2012 年高考山东卷 理 5)的约束条件 ，则目标函数 z=3xy 的取值范围是241xyA ，6 B ，1 C1，6 D6， 323 329(2012 年高考新课标卷 理 14) 设 ,xy满足约束条件：,013xy；则 zxy的取值范围为 .2 . “距离”型考题10.【2010 年高考福建卷 理 8】 设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是 与 关1x-2y+30121于直线 对称,对于 中的任意一点 A 与 中的任意一点 B, 的最小值等于( )3490xy12|ABA. B.4 C.
5、 D.2285511.( 2012 年高考 北京卷 理 2) 设不等式组 20,yx，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是A 4 B C 6 D 43. “斜率”型考题12.【2008 年高考福建卷 理 8】 若实数 x、y 满足 则 的取值范围是 （ ）10,yxyxA.(0,1) B. C.(1,+ ) D.0,1,13.（2012 年高考江苏卷 14）已知正数 abc， ， 满足： 4ln53lbcacab ， ， 则 ba的取值范围是 4. “平面区域的面积”型考题14.【2012 年高考重庆卷 理 10】设平面点集 221(,)()
6、0,(,)1()1AxyBxyyx，则 AB所表示的平面图形的面积为A 34 B 35 C 47 D 215.（2007 年高考江苏卷 理 10）在平面直角坐标系 ，已知平面区域xOy(,)|1,Axy且 ，则平面区域 的面积为 （ ）0,xy(,)|(,第 3 页 共 13 页A B C D21121416.（2008 年高考安徽卷 理 15） 若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从2 连续变化到A02xya1 时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 .xya17.（2009 年高考安徽卷 理 7） 若不等式组 所表示的平面区域被直线 分034xy 43ykx为面积相等的两部分，则 的值
7、是k（A） （B） （C） （D） 高733733418.（2008 年高考浙江卷 理 17）若 ，且当 时，恒有 ，则以 ,b 为坐0,ba1,0yx1byaxa标点 所形成的平面区域的面积等于_.(,)Pab5. “求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定 ”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.19.（2009 年高考福建卷 文 9）在平面直角坐标系中，若不等式组10xya（ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a的值为A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 20.【2012
8、 年高考福建卷 理 9】若直线 xy上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则实数m的最大值为（ ）A 21 B1 C 23 D221.（2008 年高考山东卷 理 12）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，使函190824xy， M数 的图象过区域 的 的取值范围是（ ）(01)xya， MaA1，3 B2， C2 ，9 D ，9010第 4 页 共 13 页22.（2010 年高考北京卷 理 7）设不等式组 1035xy9表示的平面区域为 D，若指数函数 y=xa的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是A (1，3 B 2，3 C (1，2 D 3， 23.（2007
9、 年高考浙江卷 理 17）设 为实数，若 ，则m250(,)xym2(,)|5xy的取值范围是_.m24.（2010 年高考浙江卷 理 7） 若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 9，则xy30,21,xyxy实数 （ ）A B C 1 D 226. “求目标函数中的参数”型考题规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、 “点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.25.（2009 年高考陕西卷 理 11）若 x，y 满足约束条件12xy，目标函数 2zaxy仅在点（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是 （ ）A （ ，2） B （ 4，2） C (4,0
10、D (,4) 26.（2011 年高考湖南卷 理 7）设 m1，在约束条件 目标函数 z=x+my 的最大值小于 2，下 ，1yxm则 m 的取值范围为A B C （1，3） D)21,(),21(),3(7. 其它型考题27. （2009 年高考山东卷 理 12） 设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数0,26yx的值是最大值为 12，则 的最小值为（ ） (0,)zaxby3ab第 5 页 共 13 页A. B. C. D. 4625383128. （2010 年高考安徽卷 理 13）设 满足约束条件 ，若目标函数,xy208 ,xy的最大值为 8，则 的最小值为_.0,zabxyab第
11、6 页 共 13 页线性规划问题 答案解析1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如 的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在(,)zaxbyR轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效y避免因画图太草而造成的视觉误差.1、选 B 【解析】约束条件对应 ABC内的区域( 含边界)，其中 53(2,),(,)2ABC 画出可行域，结合图形和 z 的几何意义易得 38,1zxy2、选 D； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点 5,1A时， 2+xy的最大值为 55，故选 D.3、答案： 【解析】利用不等式组，作出可行域，
12、可知区域表示的为三角形，当目标函数过点 (3,0)时，目标函数最大 ，当目标函数过点 (0,1)时最小为 .4、答案 2； 【解析】当 x 0 时， xf1， f，曲线在点 (,)处的切线为 y，则根据题意可画出可行域 D 如右图：目标函数 zxy21， 当 ， 1y时，z 取得最大值 25、选 B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x、y 亩，总利润为 z 万元， 则目标函数为 (0.41.2)(0.36.9)0.zx. 线性约束条件为 50,1.294,.xy即5,43180,.yx作出不等式组表示的可
13、行域, 易求得点 ,5,20,45ABC. 平移直线 0.9zxy，可知当直线 0.9zxy，经过点 32，即 3,xy时 z 取得最大值，且 max8z（万元）. 故选 B.第 7 页 共 13 页点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目 标函数是什么？(2)转化设元写出 约束条件和目标函数;(3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边 界直线斜率间的关系；(4)作答就应用题提出的问题作出回答6、答案 C 【解析 】 设公司每天生产甲种产品 X 桶，乙种产品 Y 桶，公司共可获得利润为 Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y，且
14、012Y，画可行域如图所示，目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= 4zx3这是随 Z 变化的一族平行直线，解方程组 12y ， 4yx ，即 A（4,4） 2801620max7、答案 3,； 【解析】约束条件对应 ABC内的区域(含边界) ， 其中 3(0,),(1,)2BC，画出可行域，结合图形和 t 的几何意义易得 3,0txy8、选 A； 【解析】 作出可行域和直线 ： ，将直线 平移至点 ),(处有最大值，点ll)3,21(处有最小值，即 623z. 应选 A.9、答案3，3；【解析】约束条件对应区域为四边形 OABC内及边界，其中(0,),(1,),0OBC， 则 23
15、,xy2 . “距离”型考题10、选 B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。【解析】由题意知，所求的 的最小值，即为区域 中的点到|AB1直线 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示3490xy的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线第 8 页 共 13 页图 3yxO-11的距离最小，故 的最小值为 ，所以选 B。3490xy|AB|3149|25评注：在线性约束条件下，求分 别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最 值问题，通常 转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最 值问
16、题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.11、选 D；【解析】题目中 20yx表示的区域为正方形，如图所示，而动点 M 可 以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 421P，故选 D.3. “斜率”型考题12、选 C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域， 表示平面区域内的动点 与原yx(,)x点 之间连线的斜率，由图易知， ，选 C.(0,)Oyx1,评注：在线性约束条件下，对于形如 的目 标函数的取(,)bzaR值问题，通常转化为求点 、 之间连线斜率的取 值. 结合图形易(,)xy,a知，可行域的顶点是求解斜率取 值问题的关键点.
17、 在本题 中，要合理运用极限思想，判定 的最小值无限 趋近于 1.y13、答案 7e，；【解析】条 件 4ln53lbcaaccab ， 可化为：54acabcbe.设 =abxyc，则题目转化为：已知 xy，满足第 9 页 共 13 页ABO ab1图 53540xye，求 yx的取值范围.作出（ y）所在平面区域（如图） ，求出 =xye的切线的斜率 e，设过切点 0Pxy，的切线为=exm， 则 00ex，要使它最小，须 0m. yx的最小值在 Py，处，为 e. 此时，点 0Pxy，在 =xe上 ,AB之间. 当（ xy，）对应点 C时，=452=7301xyy， 的最大值在 C处，最
18、大值为 7. 的取值范围为 7e， 即 ba的取值范围是 e，4. “平面区域的面积”型考题14、选 D；【解析】由对称性： 221,()(1)yxy围成的面积与221,()(1)yx围成的面积相等，得： AB所表示的平面图形的面积为y围成的面积既 2R15、选 B；【解析】令 ，则 ，,axyb1(),()2xaby代入集合 A，易得 ，其所对应的平面区域如图阴影0a部分，则平面区域的面积为 211，选 B.2评注：本题涉及双重约束条件，解 题的关键是采用换元的思想去 寻求平面区域 所对应的约束条件，从而准确画出相 应的平面区域 .B16、答案 ；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区
19、域 ，74 A其中： .12:,:,:1lxyalxylxy当 从2 连续变化到 1 时，动直线 扫过的平面区域即为 与 之a 1l2间的平面区域，则动直线 扫过 中的那部分平面区域的面积即为四边lA形 的面积，由图易知，其面积为： .BOCD74ABODCS评注：本题所求平面区域即为题设平面区域 A 与动直线 在xya从2 连续变化到 1 时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画 图是解题的关键.aDl图6l2CBAyxO11-2-22l1第 10 页 共 13 页）（ 3,0）（ 0,3），（ 23-0),(mxy217、选 A； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC
20、由 得 A（1，1） ，又 B（0，4） ，C（0， ）34xy 43 ABC = ，设 与 的交点为 D，S()23ykxy则由 知 ， ， 2BCD1D52D，选 A. 5147,k18、答案 1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有 成立，只须平面区域顶点 的坐标都满足不等式byax ,AOB，易得 所以 所形成的平面区域的01,ab()Pab面积等于 1.评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只 须考 虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的 产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而
21、不简单 .5. “求约束条件中的参数”型考题19、选 D；【解析】 作出不等式组10xya所围成的平面区域. 如图所示，由题意可知，公共区域的面积为 2；|AC|=4，点 C 的坐标为（1，4）代入得 a=3，故选 D. 10axy点评：该题在作可行域时，若能抓住直 线方程 中含有参数 a 这个0axy特征，迅速与“ 直线系”产生联系，就会明确 可变形为 的形11x式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致” 情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解. 20、选 B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像. 解答：可行域如图：所以，若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则 m3，即 1。评注：题设不等式组对应的平面区域随参数 m 的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.图7x+y=111O xyABAxDyCOy=kx+ 436422410 5 5 10o ACB
