1、 1 / 103第 1 课时 二次根式的概念1了解二次根式的概念；(重点 )2理解二次根式有意义的条件；(重点)3理解 (a0)是一个非负数，并会应用 (a0) 的非负性解决实际问题(难点)a a一、情境导入1小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是 8 平方厘米，那么它的边长是多少？2已知圆的面积是 6，你能求出该圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】 二次根式的识别(2015安顺期末)下列各式： ； ； ； ； ，其中二12 2x x2 y2 5 35次根式的个数有( )A1 个 B2 个
2、 C3 个 D4 个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有满足题意故选 B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：含有二次根号“ ”；被开方数为非负数两者缺一不可变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题【类型二】 二次根式有意义的条件代数式 有意义，则 x 的取值范围是( )x 1x 1Ax1 且 x1 Bx 1Cx 1 且 x1 Dx 1解析：根据题意可知 x10 且 x10，解得 x1 且 x1.故选 A.2 / 103方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取
3、值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 4 题探究点二：利用二次根式的非负性求值【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值(1)已知 a，b 满足 | b1|0，求 2ab 的值；2a 8(2)已知实数 a，b 满足 a 3，求 a，b 的值b 2 2 b解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可解：(1)由题意知 得 2a8，b1，则 2a b9；2a 8 0，b 1 0， )(2)由题意知 解得 b2.所以 a0033.b 2 0，2 b 0， )方法总结：当几个非负数的和为 0
4、时，这几个非负数均为 0；当题目中，同时出现 和 时( 即二次根式下的被开方数互为相反数 )，则可得 a0.a a变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题【类型二】 与二次根式有关的最值问题当 x_时， 3 的值最小，最小值为_3x 2解析：由二次根式的非负性知 0，当 0 即 x 时， 3 的3x 2 3x 223 3x 2值最小，此时最小值为 3.故答案为 ，3.23方法总结：对于二次根式 0(a0)，可知其有最小值 0.a变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题三、板书设计3 / 103本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次
5、根式的概念教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件第 2 课时 二次根式的性质1理解和掌握( )2a( a0)和 | a|；( 重点)a a22能正确运用二次根式的性质 1 和性质 2 进行化简和计算(难点)一、情境导入如果正方形的面积是 3，那么它的边长是多少？若边长是 ，则面积是多少？3如果正方形的面积是 a，那么它的边长是多少？若边长是 ，则面积是多少？你会计a算吗？二、合作探究探究点一：利用二次根式的性质进行计算【类型一】 利用( )2a( a0)计算a计算：(1)( )2; (2)( )2；0.3 13(3)(2 )2; (4)(2 )2.3
6、 x y解析：(1)可直接运用( )2a(a0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用a(ab)2a 2b2，再利用( )2a(a0)进行计算a解：(1)( )20.3；0.3(2)( )2(1) 2( )2 13；13 13(3)(2 )22 2( )212；3 3(4)(2 )22 2( )2 4(xy )4x4y .x y x y方法总结：形如(n )2(m0)的二次根式的化简，可先利用(ab) 2a 2b2，化为 n2( )m m2(m0)后再化简变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 3 题【类型二】 利用 |a| 计算a2计算：(1) ； (2) ； (3)
7、 .22（ 23）2 （ ）2解析：利用 |a| 进行计算a2解：(1) 2；224 / 103(2) | | ；（ 23）2 23 23(3) |.（ ）2方法总结： |a| 的实质是求 a2 的算术平方根，其结果一定是非负数a2变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 9 题【类型三】 利用二次根式的性质化简求值先化简，再求值：a ，其中 a2 或 3.1 2a a2解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答解：a a a|a1| ，当 a2 时，原式1 2a a2 （a 1）22| 2 1|21 1；当 a3 时，原式3 |31|347.方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本
8、题的关键是先化简，再求值变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 10 题探究点二：利用二次根式的性质进行化简【类型一】 与数轴的综合如图所示为 a，b 在数轴上的位置，化简 2 .a2 （a b）2 （a b）2解析：由 a，b 在数轴上的位置确定 a0，ab0，ab0.再根据 |a|进行化a2简解：由数轴可知2a1，0b1，则 ab0，ab0.原式2| a| |ab| |ab|2aab(ab) 2a2b.方法总结：利用 |a| 化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包a2括两个步骤：把被开方数的底数移到绝对值符号中；根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号变式训练：见学
9、练优本课时练习“课堂达标训练”第 7 题【类型二】 与三角形三边关系的综合已知 a、b、c 是ABC 的三边长，化简 （a b c）2 （b c a）2.（c b a）2解析：根据三角形的三边关系得出 bca，bac，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可解：a、b、c 是ABC 的三边长，bca，bac，原式|a b c| |b c a| c ba| abc(bca) ( bac )abcb caba c3abc.5 / 103方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简变式训练：见学
10、练优本课时练习“课后巩固提升”第 9 题三、板书设计二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯性质 1 和性质 2 容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第 1 课时 二次根式的乘法1掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2会进行二次根式的乘法运算(重点、难点) 一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长 m，宽 m，那么这个长方形菜地的面积是多少？6 3二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子 成立的条件是
11、( )x 1 2 x （x 1）（2 x）Ax2 Bx 1C1x2 D1x 2解析：根据题意得 解得1x 2.故选 C.x 1 0，2 x 0.)方法总结：运用二次根式的乘法法则： (a0，b0) ，必须注意被开方数是a b ab6 / 103非负数这一条件变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题探究点二：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法运算计算：(1) ；53 27125(2)9 ( )；181654(3) 2 ( )；135 3 3416(4)2a ( ) (a0，b0)8ab236a2b 3a解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2) ，(3)，(
12、4) 小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘解：(1)原式 ；5327125 35(2)原式(9 ) 27 ；16 1854 321823 3(3)原式(2 ) ；34 85316 3245 355(4)原式2a 16a 3b.238ab6a2b3a方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 4 题【类型二】 逆用性质 3(即 ，a0，b0)进行化简ab a b化简：(1) ； (2) ；1960.25（ 19）（ 6481
13、）(3) (a0，b0)225a6b2解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号7 / 103解：(1) 140.57；1960.25 196 0.25(2) ；（ 19）（ 6481） 196481 19 6481 13 89 827(3) 15a 3b.225a6b2 225 a6 b2方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题【类型三】 二次根式的乘法的应用小
14、明的爸爸做了一个长为 cm，宽为 cm 的矩形木板，还想做一个与588 48它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径( 结果保留根号) 解析：根据“矩形的面积长宽” “圆的面积半径的平方”进行计算解：设圆的半径为 rcm.因为矩形木板的面积为 168(cm) 2，588 48所以 r 2168，r2 (r2 舍去)42 42答：这个圆的半径为 2 cm.42方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 9 题三、板书设计本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数
15、为非负数在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算第 2 课时 二次根式的除法8 / 1031会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)2掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点)3掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用(重点) 一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？(1) _； _3649 3649(2) _； _916 916_ ； _ .3649 3649 916 916二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算：(1) ； (2) ； (3) ；4872 612518 27a2b312a
16、b2(4) ( )(a0，b0)12a3b5 23a2b6解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简解：(1) ；4872 4872 23 63(2) ；612518 651218 6523 256(3) ；27a2b312ab2 27a2b312ab2 9ab4 32ab(4) ( )12a3b5 23a2b6 ( ) .12 32 a3b5a2b6 34ab 34bab方法总结：二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式
17、中有负号时，要先确定商的符号；二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；最后结果要化为最简二次根式9 / 103变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( )A. B.8a 3aC. D.a3 a2 a2b解析：A 选项 中含能开得尽方的因数 4，不是最简二次根式； B 选项是最简二次根8a式；C 选项 中含有分母，不是最简二次根式；D 选项 中被开方数用提公因式法a3 a2 a2b因式分解后得 a2a 2ba 2(1 b
18、)含能开得尽方的因数 a2，不是最简二次根式故选 B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值若 ，则 a 的取值范围是( )a2 a a2 aAa2 Ba2C0a2 Da0解析：根据题意得 解得 0a2.故选 C.a 0，2 a 0，)方法总结：运用商的算术平方根的性质： (a0，b
19、0)，必须注意被开方数是ba ba非负数且分母不等于零这一条件【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1) ；179(2) (a0，b0，c0)3c34a4b2解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根解：(1) ；179 169 169 4310 / 103(2) .3c34a4b2 3c34a4b2 c2a2b3c方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题探究点四：二次根式除法的应用已知某长方体的体积为 30 cm3，长为 cm，宽
20、为 cm，求长方体的高10 20 15解析：因为“长方体的体积长宽高” ，所以“高长方体的体积(长宽)” ，代入计算即可解：长方体的高为30 ( )30 30 (cm)10 20 15102015 130 30方法总结：本题也可以设高为 x，根据长方体体积公式建立方程求解三、板书设计二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率第 1 课时 二次根式的加减1经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则；2掌握二次根式的加减运算(重点、难点) 一、情境导入计算：(1)2x5x； (2)3a 2a 22a 2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的 x 换成 ，a 2 换成 ，这时上述两小3 5
