1、第 1 章 特殊的平行四边形1,1 菱形的性质与判定一、教学目标：1、菱形的性质定理的运用2菱形的判定定理的运用二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解决菱形的相关题型。三、概念：菱形性质：1 两条对角线互相垂直平分；2 四条边都相等；3 每条对角线平分一组对角；4 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形（根据对角线）3、四条边都相等的四边形是菱形（根据四条边）4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形（对角线和角的关系）四、讲课过程：1、例题、例 1.（2006
2、大连）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且DE=BF请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）（1）连接 AF ；（2）猜想： AF = AE ；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：观察图形应该是连接 AF，可通过证AFB 和ADE 全等来实现 AF=AE解答：解：（1）如图，连接 AF；（2）AF=AE；（3）证明：四边形 ABCD 是菱形AB=AD，ABD=ADB，A
3、BF=ADE，在ABF 和 ADE 中ABFADE，AF=AE点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明例 2、（2009贵阳）如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），连接 DP 交对角线 AC于 E 连接 BE（1）证明：APD= CBE；（2）若DAB=60 ，试问 P 点运动到什么位置时，ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ，为什么？考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：证明题；动点型。分析：（1）可先证BCEDCE 得到EBC= EDC，再根据 ABDC 即可得到结论（2）当 P 点运动到 AB 边的中
4、点时，S ADP= S 菱形 ABCD，证明 SADP= ABDP= S 菱形 ABCD 即可解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形BC=CD，AC 平分 BCD（2 分）CE=CEBCEDCE（4 分）EBC=EDC又 ABDCAPD=CDP（5 分）EBC=APD（6 分）（2）解：当 P 点运动到 AB 边的中点时，S ADP= S 菱形 ABCD（8 分）理由：连接 DBDAB=60，AD=ABABD 等边三角形（ 9 分）P 是 AB 边的中点DPAB（10 分）SADP= APDP，S 菱形 ABCD=ABDP（11 分）AP= ABSADP= ABDP= S 菱形 ABCD即
5、ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 （12 分）点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当 P 点运动到 AB 边的中点时，S ADP= S 菱形 ABCD 是难点例 3、（2010宁洱县）如图，四边形 ABCD 是菱形，BE AD、BFCD，垂足分别为 E、F（1）求证：BE=BF；（2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明ABE 与 CBF 全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于
6、对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AB=CB，A=C，BEAD、BF CD，AEB=CFB=90，在ABE 和CBF 中，ABECBF（AAS ），BE=BF（2）解：如图，对角线 AC=8，BD=6，对角线的一半分别为 4、3，菱形的边长为 =5，菱形的面积=5BE= 86，解得 BE= 点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法例 3、（2011广安）如图所示，在菱形 ABCD 中，ABC=60，DEAC 交 BC 的延长线于点 E求证：DE= BE考点：菱形的性质。专题：证明题。分析：由四边形 AB
7、CD 是菱形，ABC=60，易得 BDAC，DBC=30，又由 DEAC，即可证得 DEBD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 DE= BE解答：证明：法一：如右图，连接 BD，四边形 ABCD 是菱形， ABC=60，BDAC，DBC=30，DEAC，DEBD，即BDE=90 ，DE= BE法二：四边形 ABCD 是菱形， ABC=60，ADBC，AC=AD，ACDE，四边形 ACED 是菱形，DE=CE=AC=AD，又四边形 ABCD 是菱形，AD=AB=BC=CD，BC=EC=DE，即 C 为 BE 中点，DE=BC= BE点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知
8、识此题难度不大，注意数形结合思想的应用例 4.（2010 益阳）如图，在菱形 ABCD 中，A=60，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为E（1）求ABD 的度数；（2）求线段 BE 的长考点：菱形的性质。分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又A=60，得到ABD 是等边三角形， ABD 是 60；（2）先求出 OB 的长和BOE 的度数，再根据 30角所对的直角边等于斜边的一半即可求出解答：解：（1）在菱形 ABCD 中，AB=AD，A=60，ABD 为等边三角形，ABD=60；（4 分）（2）由（1）可知 BD=AB=4，又 O 为 BD 的中点，OB=2（
9、6 分），又 OEAB，及 ABD=60，BOE=30，BE=1（8 分）点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握2、巩固练习1.有一组邻边相等的平行四边形是_.2.菱形的两条对角线长分别是 8 cm 和 10 cm,则菱形的面积是_.3.菱形的两邻角之比为 1：2，边长为 2，则菱形的面积为_.4.菱形的面积等于（ ）（20 分）A.对角线乘积 B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平方的一半5.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）（20 分）A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直C.两条对角线相等且垂直 D.两条对
10、角线互相垂直平分6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）（20 分）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个7.如图，四边形 ABCD 是菱形，ABC=120，AB=6cm，则ABD=_，DAC 的度数为_；对角线 BD=_，AC=_；菱形 ABCD 的面积为_（20 分）8、在矩形 ABCD 中， O 是对角线 AC 的中点， EF 是线段 AC 的中垂线，交 AD、 BC 于 E、 F.求证：四边形 AECF 是菱形（20 分）9、如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD=5，ABCDOOABCD=M NOD CBA求：（1）BAC 的度数；（ 2）求 AC 的长。
11、10、四边形 ABCD 是矩形，四边形 AECF 是菱形，若 AB=2cm， BC=4cm，求四边形 AECF 的面积。11、在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CE=CF，过点 C 做 CGEA 交 FA 于 H ，交 AD 于G，若BAE=25，BCD=130，求AHC 的度数。3、作业：一、选择题。1、已知菱形两个邻角的比是 1:5，高是 8cm，则菱形的周长是（ ）。A. 16cm B. 32cm C. 64cm D. 128cm2、已知菱形的周长为 40 cm，两对角线长的比是 3:4，则两对角线的长分别是（ ）。A. 6cm、8cm B. 3cm、4cm
12、C. 12cm、16cm D. 24cm、32cm3、如图：在菱形 ABCD 中， AE BC， AF CD，且 E、 F 分别为 BC、 CD 的中点，那么 EAF 等于（ ）。A. 75 B. 60 C. 45 D. 304、棱形的周长为 8.4cm，相邻两角之比为 5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ）A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A对角相等 B四边相等 C对角线互相平分 D四角相等6、 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，下列条件中，不能判定 ABCD 是菱形的是（ ）。A. AB=AD B.
13、 AC BD C. A= D D.CA 平分 BCD7、下列命题中，真命题是（ ）。A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。C. 对角线互相垂直的矩形是菱形。D. 菱形的对角线相等。8、菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）。A1 条 B2 条 C3 条 D4 条9、已知菱形的两条对角线长为 10cm 和 24cm, 那么这个菱形的周长为_, 面积为_.10、将两张长 10cm 宽 3cm 的长方形纸条叠放在一起, 使之成 60 度角, 那么重叠部分的面积的最大值为_.11、一个菱形面积为 80, 周长为 40, 那么两条对角线长度之和为_.12
14、、已知菱形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 和 CD 上，且B=EAF=60，BAE=15，求CEF 的度数。13、已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且CE=CF。过点 C 作 CGEA 交 AF 于 H，交 AD 于 G，若BAE=25， HGFE DCBABCD=130，求AHC 的度数。14、如图所示，已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上，且 AB=AE，BAE= EAD，AE 交 BD 于 M，试说明21BE=AM。15、 如图，在ABC 中，AB=BC，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 上的中点，（1）求证四边形 BDEF 是菱形。（2
15、）若 AB=12cm，求菱形 BDEF 的周长？16、已知：如图，ABC 中，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB上一点，且 AE=AC，EFBC 交 AD 于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形。17. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC、AC 分别交于点 E、F、O，求证：四边形 AFCE 是菱形。18、已知：如图，C 是线段 BD 上一点，ABC 和ECD 都是等边三角形，R、F、G、H 分别是四边形ABDE 各边的中点，求证：四边形 RFGH 是菱形。R H GFEDCBA19、如图，已知在ABC 中，AB=AC，B，C 的平分线 BD
16、、CE 相交于点 M，DFCE，EGBD，DF与 EG 交于 N，求证：四边形 MDNE 是菱形。1,2 矩形的性质与判定1、教学目标：1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论2 、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算2、教学重难点：矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系三、概念：1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。2矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。（1）角：四个角都是直角。（2）对角线：互相平分且相等。3矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形。（2）对角线相等的平行四边形。（3）有三个角是直角的四边形。4.矩形的对称
17、性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有 2 条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。5.矩形的周长和面积：矩形的周长= 矩形的面积=长 宽= （ 为矩形的长与宽）)(2baab,注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。 一一一一 一一一一90一一 一两 组 对 边 平 行两 组 对 边 平 行 一一一一一一一一一一90等 腰 梯 形两 腰 相 等四、讲课过程：【经典例题:】例 1：已知：O 是矩形 ABCD 对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、
18、OD 上的点，AE=BF=CG=DH，求证：四边形 EFGH 为矩形.分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明证明：ABCD 为矩形AC=BD AC、BD 互相平分于 OAO=BO=CO=DOAE=BF=CG=DHEO=FO=GO=HO又 HF=EGEFGH 为矩形例 2：判断（1）两条对角线相等四边形是矩形（ ）（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（ ）（3）有一个角是直角的四边形是矩形（ ）（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（ ）分析及解答：（1）如图四边形 ABCD 中，AC=BD，但 ABCD 不为矩形，（2）对角线互相平分的四边形即平行四边形，对角线相等的
19、平行四边形为矩形（3）如图，四边形 ABCD 中，B=90，但 ABCD 不为矩形 （4）矩形对角线的交点 O 到四个顶点距离相等 ，如图，【课堂练习题:】1判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A对角线相等 B对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线互相垂直且相等。2矩形的两边长分别为 10cm 和 15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（ ）A6cm 和 9cm B5cm 和 10cm C4cm 和 11cm D7cm 和 8cm3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A对角线互相平分且相等 B四个角相等C是轴对称图形 D对角线互相垂直平分4 在矩形 A
20、BCD 中, 对角线交于 O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么AOB 的面积为 ; 周长为 .5 一个矩形周长是 12cm, 对角线长是 5cm, 那么它的面积为 .6.若一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，则斜边上的中线等于 .7.矩形的两条对角线的夹角是 60，一条对角线与矩形短边的和为 15，那么矩形对角线的长为 ，短边长为 .8.矩形的两邻边分别为 4和 3，则其对角线为 ，矩形面积为 cm 2.9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40，则两条对角线相交所成的锐角是 .10矩形的对角线相交所成的钝角为 120，矩形的短边长为 5 cm，则对角线之长为 cm。11矩
21、形 ABCD 的两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，AOB=2BOC，若对角线 AC 的长为 18 cm，则 AD= cm。 12、已知：如图所示，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，且 AE=BC， 15EDC求证：AD=2AB【课后练习题:】 1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。A对角相等 B. 对边相等 C对角线相等 D. 对角线互相平分2.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB=5，AC=13，则矩形 ABCD 的面积_。题 2 题 43已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为 24 c
22、m，则矩形的面积为 cm 2。4如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，在 CD 上取一点 E，使 AE=AB，则EBC= 。5如图，已知ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上一点，DEAB，DFAC，BM 为高，求证：DE+DF=BM。BCD EAAB CDEMFAB E CD=PHD CBA6.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折 B、 D，使 BC、 AD 恰好落在 AC 上。设 F、 H 分别是 B、 D 落在 AC 上的两点，E、 G 分别是折痕 CE、 AG 与 AB、 CD 的交点。（1）求证：四边形 AECG 是平行四边形；（2）若 AB 4cm， BC 3cm，求线段 E
23、F 的长。7、已知：如图，在ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为点 D，AN 是ABC 的外角CAM 的平分线，CEAN，垂足为点 E，求证：四边形 ADCE 为矩形。8、如图, 在矩形 ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分 CBH.9、如图，矩形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，EFCE 交 AB 于 F，若 DE=2，矩形 ABCD的周长为 16，且 CE=EF，求 AE 的长10、已知：如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形。11、已知：如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的，M、N分别为 BC、AD 的中点求证：四边形 BMDN 是矩形12、如图，已知在四边形 中， 交于 ， 、 、 、 分别是四边的中点，ABCDBOEFGH求证：四边形 是矩形EFGH1,3 正方形的性质与判定一、教学目标：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法。二、教学重难点：探索正方形的性质与判定。掌握正方形的性质和判定的应用方法三、概念：BACDN MHGOFE DCBA
