1、第二十六章 二次函数本章知识要点1 探索具体问题中的数量关系和变化规律2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念3 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质4 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴5 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解6 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L261 二次函数本课知识要点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义MM
2、及创新思维（1）正方形边长为 a（cm ），它的面积 s（cm 2）是多少？（2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平方厘米，试写出 y 与 x 的关系式请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义实践与探索例 1 m 取哪些值时，函数 )1()(2mxmy是以 x 为自变量的二次函数？分析 若函数 )()(2是二次函数，须满足的条件是：02解 若函数 )1()(2mxmy是二次函数，则0解得 ，且 因此，当 0，且 1时，函数 )1()(2mxy是二次函数回顾与反思 形如 cbx
3、ay2的函数只有在 0a的条件下才是二次函数九年级下册数学教案探索 若函数 )1()(2mxmy是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些值？例 2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积 S（cm 2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积 y（cm 2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y（元）与所存年数 x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（cm 2）与一对角线长 x（cm）之间的函数关系解 （1）由题意，得
4、 )0(62aS，其中 S 是 a 的二次函数；（2）由题意，得 4xy，其中 y 是 x 的二次函数；绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L（3）由题意，得 10%98.10xy（x0 且是正整数），其中 y 是 x 的一次函数；（4）由题意，得 )26(32)6(2S ，其中 S 是 x 的二次函数例 3正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子(1)求盒子的表面积 S（cm 2）与小正方形边长 x（
5、cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积解 （1） )2150(4552x；（2）当 x=3cm 时， 893S（cm 2）当堂课内练习1下列函数中，哪些是二次函数？（1） 02xy（2） 2)1()(2xxy（3） 1 （4） 32当 k 为何值时，函数 1)(2kxy为二次函数？3已知正方形的面积为 cm，周长为 x（cm）(1)请写出 y 与 x 的函数关系式；(2)判断 y 是否为 x 的二次函数本课课外作业A 组已知函数 72)3(m是二次函数，求 m 的值绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L绿色圃中小学
6、教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L12 已知二次函数 2axy，当 x=3 时，y= -5 ，当 x= -5 时，求 y 的值3 已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式若圆柱的底面半径 x 为 3，求此时的 y4 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之间的函数关系式这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围B 组5对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是 （ ）A 2)1(xy B 2)1(xy C 2)1(xmy D26下列函数关系中，可以看作二次函
7、数 cbxay2（ 0a）模型的是 （ ）A 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B 我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D 圆的周长与圆的半径之间的关系本课学习体会26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根3理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是
8、实数)交点的横坐标(二)过程与方法1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想3通过学生共同观察和讨论培养大家的合作交流意识(三)情感态度与价值观1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2具有初步的创新精神和实践能力教学重点1体会方程与函数之间的联系2理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标教学难点1探索方程与
9、函数之间的联系的过程2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系教学过程.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程 kx+b=0(k0)和一次函数 ykx+b(k0)后，讨论了它们之间的关系当一次函数中的函数值 y=0 时，一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b0 的解现在我们学习了一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)和二次函数 yax 2+bx+c(a0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课合作交流 解读探究1.二次函
10、数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材 22 页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.应用迁移 巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x 轴的交点情况总结反思 拓展升华本节课学了如下内容：1经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系2理解了二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在
11、判断抛物线与 x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展：教案课后作业 P231.3.5二次函数的图象与性质（1）绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L绿色圃中小学教育网 http:/www.L 绿色圃中学资源网 http:/cz.L262本课知识要点会用描点法画出二次函数 2axy的图象，概括出图象的特点及函数的性质MM 及创新思维我们已经知道，一次函数 1，反比例函数 xy3的图象分别是 、，那么二次函数 2xy的图象是什么呢？（1）描点法画函数 2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当 x 取互为相反数的值
12、时，y 的值如何？（2）观察函数 2的图象，你能得出什么结论？实践与探索例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1） 2xy（2） 2xy解 列表x -3 -2 -1 0 1 2 3 2y 18 8 2 0 2 8 18 x -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图2621共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点不同点： 2x的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升 2y的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在
13、对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接例 2已知 42)(kxy是二次函数，且当 0x时， y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴解 （1）由题意，得 024k， 解得 k=2（2）二次函数为 xy，则顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴例 3已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2（1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长；（3）根
14、据图象，求出 C 取何值时， S4 cm 2 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量 C 的取值应在取值范围内解 （1）由题意，得 )0(162列表：C 2 4 6 8 16S194 描点、连线，图象如图 2622（2）根据图象得 S=1 cm2 时，正方形的周长是 4cm（3）根据图象得，当 C8cm 时，S 4 cm 2回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、S，不要习惯地写成 x、y（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分当堂课内练习1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方
15、向、对称轴和顶点坐标（1） 23xy （2） 23xy （3） 21xy2（1）函数 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；（2）函数 241xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3已知等边三角形的边长为 2x，请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数，并画出图象的草图本课课外作业A 组1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象（1） 24xy （2） 241xy2填空：（1）抛物线 25，当 x= 时，y 有最 值，是 （2）当 m= 时，抛物线 mx2)1(开口向下（3）已知函数 22)(kxky是二次函数，它的图象开口 ，当 x 时，y 随 x 的增大而增大3已知抛物线 102k中，当 时
16、，y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值； （2）作出函数的图象（草图）4已知抛物线 2axy经过点（1，3），求当 y=9 时，x 的值B 组5底面是边长为 x 的正方形，高为 05cm 的长方体的体积为 ycm3（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出 y=8 cm3 时底面边长 x 的值；（4）根据图象，求出 x 取何值时，y45 cm 36二次函数 2ay与直线 交于点 P（1，b）（1）求 a、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小7 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛
17、物线，且过 M（-2，2）（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出MON 的面积本课学习体会262 二次函数的图象与性质（2）本课知识要点会画出 kaxy2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质MM 及创新思维同学们还记得一次函数 xy2与 1的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数 2y与 2x的图象之间的关系吗？ ，那么 与 的图象之间又有何关系？ 实践与探索例 1在同一直角坐标系中，画出函数 2xy与 2的图象解 列表描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2623 所x -3 -2 -1 0 1 2 3 2y 1
18、8 8 2 0 2 8 18 x 20 10 4 2 4 10 20 示回顾与反思 当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数 2y与 2x的图象之间的关系吗？例 2在同一直角坐标系中，画出函数 1与 12xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线 2xy得到抛物线 解 列表描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2624 所示x -3 -2 -1 0 1 2 3 12y -8 -3 0 1 0 -3 -8 x -10 -
19、5 -2 -1 -2 -5 -10 可以看出，抛物线 12xy是由抛物线 12xy向下平移两个单位得到的回顾与反思 抛物线 和抛物线 分别是由抛物线 2xy向上、向下平移一个单位得到的探索 如果要得到抛物线 42xy，应将抛物线 12xy作怎样的平移？例 3一条抛物线的开口方向、对称轴与 21相同，顶点纵坐标是-2 ，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作 )(2axy， 又抛物线经过点（1，1），所以， 21a， 解得 3故所求函数关系式为 2xy回顾与反思 k（a、k 是常数，a 0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向 对称轴 顶点坐标0kaxy2a当堂课内练习1 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 2xy， 21xy， 21xy观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置你能说出抛物线 k2的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2抛物线 941xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线 2向 平移 个单位得到的3函数 32xy，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函数取得最 值，最 值 y=
