1、第 1 页 共 23 页高中数学知识汇总1.集合与常用逻辑用语概念 一组对象的全体. 。,xA元素特点：互异性、无序性、确定性。子集 。B真子集 0,xAB关系相等 ,；A,C个元素集合子集数 。n2n交集 |,x且并集 A集合运算补集 |UC且()()UUCB概念 能够判断真假的语句。原命题：若 ，则pq逆命题：若 ，则否命题：若 ，则命题 四种命题逆否命题：若 ，则原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。充分条件 ， 是 的充分条件pq必要条件 ， 是 的必要条件p充要条件充要条件 ， 互为充
2、要条件,若命题 对应集合 ，命题 对应集合pAq，则 等价于 ，BqB等价于 。或命题 ， 有一为真即为真， 均为假时才为假。, 类比集合的并且命题 ， 均为真时才为真， 有一为假即为假。pq, p类比集合的交逻辑连接词非命题 和 为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 量词存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。2.复数虚数单位 规定： ；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、21i乘运算律仍成立。 。414243,()kkkiiiiZ复数 形如 的数叫做复数， 叫做复数的
3、实部， 叫做复(,)abRab数的虚部。 时叫虚数、 时叫纯虚数。00,b复数相等 (),icdicdR概念共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即 ，则 。zizai加减法 ， 。()()(,)bR乘法 ，()abiab,c运算除法 22,()() 0)adcdi复数几何意义复数 复平面内的点 向量zabi 一 一 对 应 (,)Zab 一 一 对 应 OZ向量 的模叫做复数的模，OZ2z大多数复数问题，主要是把复数化成标准的 的类型来处理，若是分数形式 z= ，则首zidicba第 2 页 共 23 页先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数） ，在进行四则运算时，可以把 i 看作成一个独
4、立的字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时把 i2换成-13.平面向量向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。向量0长度为 ，方向任意的向量。 【 与任一非零向量共线】00平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是 。 的夹角记为 。,ab,ab重要概念投影 ， 叫做 在 方向上的投影。 【注意：投影是数量】,abcosba基本定理 不共线，存在唯一的实数对 ，使 。若 为 轴12e(,)12e12,e,xy上的单位正交向量， 就是向量 的坐标。(,)一般表示 坐标表示（向量坐标上下文理
5、解）共线条件 （ 共线 存在唯一实数 ，,ab0ab12121(,)(,)xyxy重要法则定理垂直条件 。0A 。10法则 的平行四边形法则、三角形法则。 。21(,)ab加法运算 算律 ，ab()()c与加法运算有同样的坐标表示。法则 的三角形法则。 12,xy减法运算 分解 。MNO 。()NM概念为向量， 与 方向相同，0a与 方向相反， 。0a。,a数乘运算算律 ， ，)()(b与数乘运算有同样的坐标表示。概念 cos,abaA。12abxyA主要性质 ， 。2b ，22121xyx平面向量 各种运算 数量积运算算律 ， ，abA()caA。)()与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表
6、示方法。圆的方程 圆心 半径x 2+ y 2= r 2 （0，0） r标准方程 (x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2 （ a，b） r一般方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 2E,DFE412第 3 页 共 23 页4.算法、推理与证明顺序结构 依次执行条件结构 根据条件是否成立有不同的流向逻辑结构 循环结构按照一定条件反复执行某些步骤程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。算法基本语句 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。归纳推理 由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。合情推理 类比推理 由一类对象具有的特
7、征推断与之相似对象的某种特征的推理。推理演绎推理 根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理综合法 由已知导向结论的证明方法。直接证明 分析法 由结论反推已知的证明方法。数学证明间接证明 主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。推理与证明数学归纳法数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当 n 取第一个值 n0（例如n0=1）时结论正确；然后假设当 n=k 时结论正确，证明当 n=k+1 时0(,)kN结论也正确5.不等式、线性规划 （1） ；abca，（2） ；00bcabc， ； ，（3） ；两
8、个实数的顺序关系： 0ab（4） ；abcdacd，（5） ；0b，不等式的性质（6） *1nnnabN， ， ；的充要条件1ab是 。0一元二次不等式解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根） ，再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集基本不等式 2ab（ ）0,（ ） ； （ ） ；2ab,02()ab,R （ ） ； 。2,02ba二元一次不等式组二元一次不等式 的解集是平面直角坐标系中表示 某一侧所0AxByC0AxByC有点组成的平面区域
9、。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分。第 4 页 共 23 页6.计数原理与二项式定理分类加法计数原理完成一件事有 类不同方案，在第 类方案中有 种不同的方法，在第 类方案n11m2中有 种不同的方法，在第 类方案中有 种不同的方法那么完成这件2mnn事共有 种不同的方法12Nm基本原理分步乘法计数原理完成一件事情，需要分成 个步骤，做第 步有 种不同的方法，做第 步有1种不同的方法做第 步有 种不同的方法.那么完成这件事共有2 n种不同的方法. n21定义从 个不同元素中取出 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n()个不同元素中取出 个元素的一个排列，所
10、有不同排列的个数，叫做m从 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示。mnA排列排列数公式，规!(1)2(1)()mn nAn 且定 0!定义从 个不同元素中，任意取出 个元素并成一组叫做从 个不同元素中(n取出 个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中取()出 个元素的组合数，用符号 表示。nCmn组合数公式 ， 1()C!m A组合性质 ( )； ( )nN且, 11mnmn nN且,定理 （ 叫做二项式系数）01()nrrabCababC r通项公式 （其中 ）1rnrTkN且排列组合二项式定理二项式定理 系数和公式； ；12rnr nrnn 2210 35024 3
11、1; .nn C 7.函数基本初等函数 I 的图像与性质01a单调递减， 时 ， 时(,)0x1y0x1y指数函数 xy单调递增， 时 ， 时,函数图象过定点 (0,)01a在 单调递减， 时 ， 时(0,)01x0y1xy对数函数 logayx在 单调递增， 时 ， 时,0函数图象过定点 (1,)0在在 单调递增，图象过坐标原点()基本初等函数 幂函数yx在在 单调递减, 函数图象过定点 (1,)第 5 页 共 23 页8. 函数与方程函数模型及其应用概念 方程 的实数根。方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交()0fx()0fx()yfx点 函数 有零点()yf函数零点存在定理 图象在 上
12、连续不断，若 ，则 在 内存在零点。,ab()fab()f,ab方法对于在区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断把函数,0f yfx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点fx近似值的方法叫做二分法第一步 确定区间 ，验证 ，给定精确度 。,ab()0fab第二步 求区间 的中点 ；,c二分法步骤第三步计算 ：（1）若 ，则 就是函数的零点；（2）若fc0fc，则令 （此时零点 ） ；（3）若0ab0,xac，则令 （此时零点 ） （4）判断是否达到fab精确度 即若 ，则得到零点近似值 （或 ） ；否则重复:（2）（4） 概念 把实际问表达的数量变化规律用函数关系
13、刻画出来的方法叫作函数建模。阅读审题 分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果。函数建模解题步骤解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。第 6 页 共 23 页9. 导数及其应用概念 函数 在点 处的导数 。()yfx0 000()()limxfxff概念与几何意义 几何意义为曲线 在点 处的切线斜率，切线方程是0f()f,x。0()基本公式（ 为常数） ； ；C1()nN；sincos()sixx且（ ，且 ） ；()lxea0a（ ，且 ）1llgoe且 a；21x。(
14、ln)运算运算法则；()()fxfx， ；()fgxAA()()Cfxf， 20)()ffggxx 21()gx复合函数求导法则 。()(yff单调性 的各个区间为单调递增区间； 的区间为单调递减区间。()0f)极值 且 在 附近左负（正）右正（负）的 为极小（大）值点。x()fx0 0x研究函数性质 最值 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极,ab大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。概念在区间 上是连续的，用分点fx,将区间 等分成 个小区间，在每个011iinxxb ,an小区间 上任取一点 （ ） ，,i1,2。1lmnb iaiba
15、fxdf基本定理如果 是 上的连续函数，并且有 ，则, FxfbafF性质（ 为常数） ；bbaakfxdfxdk； bxagfgd bcdaacff导数及其应用定积分简单应用区间 上的连续的曲线 ，和直线 所围成的曲, ()yf.(),0xbay边梯形的面积 。()baSfxd第 7 页 共 23 页10. 三角函数的图像与性质定义 任意角 的终边与单位圆交于点 时， (,)Pxysin,cos,tanyyx同角三角函数关系 。22sinsinco1,ta基本问题诱导公式 ， ， ， “奇变偶不变，符号看象限” 360,890,27值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴sinyx（
16、）R1,2k增 2,k减 3,奇函数 (,0)k2xcosyx（ ） 1,2k增 2,k减 偶函数(,0)2kxk三角函数的性质与图象 tanyx( )2kRk增 ,2k奇函数 ,02k无上下平移 图象平移 得 图象， 向上， 向下。()yfx()yfxkk平移变换左右平移 图象平移 得 图象， 向左， 向右。ff0轴方向x图象各点把横坐标变为原来 倍得 的图象。()yfx1()yfx伸缩变换轴方向 图象各点纵坐标变为原来的 倍得 的图象。f Af中心对称 图象关于点 对称图象的解析式是()yx(,)ab2()ybax三角函数的图象与性质图象变换对称变换轴对称 图象关于直线 对称图象的解析式是
17、 。fxf第 8 页 共 23 页11. 三角恒等变换与解三角形和差角公式 倍角公式正弦 sin()cosinsi2incos余弦s()si22cois1s变换公式正切tanttan()12tanta2tani1t2cosin1定理 。siisinbcABC变形 （ 外接圆半径）2,2sinaRR。正弦定理类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。射影定理： cosabCBA定理 。222222cos,cos,cosabAbaBab变形 等。()cos 1A余弦定理类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程） 、三边。基本公式 。111sinsisin222abcShh
18、abCcAacB面积公式 导出公式 （ 外接圆半径） ； （ 内切圆半径） 。4cR()Sr基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。仰角视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。俯角视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。方向角方 向 角 一 般 是 指 以 观 测 者 的 位 置 为 中 心 ， 将 正 北 或 正 南 方 向 作 为 起 始 方向 旋 转 到 目 标 的 方 向 线 所 成 的 角 （ 一 般 是 锐 角 ， 如 北 偏 西 30） 。三
19、角恒等变换与解三角形实际应用常用术语方位角某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。第 9 页 共 23 页12. 等差数列等比数列通项公式 数列 中的项用一个公式表示，na()naf一般数列na前 项和 12nnS1,2.nnSa累加法 型1()naf累乘法 型转化法111(0,)nnn aapqpqqp简单的递推数列解法待定系数法1 1(,)()n nncdc 。比较系数得出 ，转化为等比数列。解决递推数列问题的基本思想是“转化” ，即转化为两类基本数列-等差数列、等比数列求解。概念 满足 （常数） ， 递增、 递减、 常数数列。1na0d0d通项公式 1()()nman
20、。mnpqaanpq。22等差数列na前 项和公式11()()2nnSd为等差数列。232,mmSS概念 满足 （ 的常数） ，单调性由 的正负， 的范围确定。:naq01aq通项公式1nnma ，mnpqnp2a数列、等差数列等比数列等比数列na前 项和公式11(),.nnnqSaq公比不等于 时，1成等比数列。232,mmSS第 10 页 共 23 页13. 数列求和及其数列的简单应用等差数列 ，特别 。11()()2nnaSad(1)1232n等比数列 ，特别 。11(),.nnnqSaq 211n自然数平方和 。222()()211312)36nn 常用求和公式自然数立方和 。2332()() 公式法 如 。2,nna分组法如 ，。(1)nn裂项法 如 。()a错位相减法 如 。21nn常用求和方法倒序相加法 如 。01knnnCC 常用裂项方法： ；11()()nknk；2；4121nn。()2()等差数列 基本特征是均匀增加或者减少。等比数列 基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。数列求和及数列的简单应用数列模型 一个简单递推数列基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长率为 ，每年年底要拿20%出 （常数）作为下年度的开销，即数列 满足 。ana1.nna注：表中 均为正整数,nk
