1、*校本课程 数学计算方法第一讲 生活中几十乘以几十巧算方法1.十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。例：1214=？解: 11=11214=168注：个位相乘，不够两位数要用 0 占位。.头相同，尾互补(尾相加等于 10)：口诀：一个头加后，头乘头，尾乘尾。例：2327=？解： 212327=621注：个位相乘，不够两位数要用 0 占位。 .第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加后，头乘头，尾乘尾。例：3744=？解：3+1=444=1674=283744=1628注：个位相乘，不够两位数要用 0 占位。 .几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：2141=？解：24
2、=82+4=611=12141=861 .11 乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：1123125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72 和 5 分别在首尾1123125=254375注：和满十要进一。 .十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13326=？解：13 个位是 333+2=1132+6=1236=1813326=4238注：和满十要进一。第二讲 常用巧算速算中的思维与方法（1）【顺逆相加】用“ 顺逆相加 ”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数
3、求和” 题，可以计算为1+2 +99+100所以，123499100=1011002=5050“3+5+7+97+99=？3+57 97+99= （ 993）492= 2499。这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的张丘建算经 。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“ 有女不善织 ”这一名题：“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了 5 尺布，最后一天织了 1 尺，一共织了30 天。问她一共织了多少布？张丘建在算经上给出的解法是：“并初末日织尺数，半之，余
4、以乘织讫日数，即得。 ”“答曰：二匹一丈” 。这一解法，用现代的算式表达，就是1 匹=4 丈， 1 丈=10 尺，90 尺=9 丈=2 匹 1 丈。张丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直到第 30 天所织的布都加起来，算式就是：51在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来，则算式便是 ：1+5此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”这一特点，那么，
5、就会出现下面的式子：所以，加得的结果是 630=180（尺）但这妇女用 30 天织的布没有 180 尺，而只有 180 尺布的一半。所以，这妇女30 天织的布是1802=90（尺）可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。第三讲 常用巧算速算中的思维与方法（2）方法一：分组计算一些看似很难计算的题目，采用“分组计算” 的方法，往往可以使它很快地解答出来。例如：求 1 到 10 亿这 10 亿个自然数的数字之和。这道题是求“10 亿个自然数的数字之和 ”，而不是 “10 亿个自然数之和”。什么是“数字之和 ”？例如，求 1 到 12 这 12 个自然数的数字之和，算式是12345+6+78+9
6、+10+1+1+1+1 2=5l。显然，10 亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这 10 亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将它们分组：0 和 999，999，999；1 和 999，999，998；2 和 999，999，997；3 和 999，999，996；4 和 999，999，995；5 和 999，999， 994； 依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他的自然数与添上的 0 共 10 亿个数，共可以分为 5 亿组，各组数字之和都是 8
7、1，如0+9+9+9+999999=811+9+9999+9+9+9 8=81最后的一个数 1，000，000，000 不成对，它的数字之和是 1。所以，此题的计算结果是（81500，000 ，000）1=40，500 ，000 ，0001=40，500 ，000 ，001方法二：由小推大计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如：（1）计算下面方阵中所有的数的和。这是个“100100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小，再由小推大。先观察“55”的方阵，如下图（图 4.1）所示。容易看到，对角线上五个“5” 之和为 25。这
8、时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图 4.2 那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是 25。所以， “55”方阵的所有数之和为 255=125，即 53=125。于是，很容易推出大的数阵“100100”的方阵所有数之和为1003=1，000 ，000。（2）把自然数中的偶数，像图 4.3 那样排成五列。最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三第五列。那么 2002 出现在哪一列：因为从 2 到 2002，共有偶数 20022=1001（个） 。从前到后，是每 8 个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一
9、列（偶数都是按由小到大的顺序） 。所以，由10018=1251，可知这 1001 个偶数可以分为 125 组，还余 1 个。故2002 应排在第二列。方法三：凑整巧算用“凑整方法 ”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。例如（1）99.9+11.1=（9010）+ （9+1）（0.9+0.1）=111（2）9979986=（9+1）（973）（9982）=10100 1000=1110（3）125125125125120125125125=155 125 125125（120+5 ）125125+125-5=1258-5=1000-5=995第四讲 常用巧算速算中的思维与方法（3）方法一：巧妙
10、试商除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。（1）用“商五法 ”试商。当除数（两位数）的 10 倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。如 7014=5，12525=5。当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五” 。 “无除”指被除数前两位不够除， “半商五” 指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“ 5”。例如 124824=52，238545=53（2）同头无除商八、九。“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。 “无除”仍指被除数前两位不够除。这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商 8 或商 9。57425
11、8=99， 417648=87。（3）用“商九法 ”试商。当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的 10 倍时，可以一次定商为“9”。一般地说，假如被除数为 m，除数为 n，只有当 9nm10n 时，n 除 m 的商才是 9。同样地，10nmn11n。这就是我们上述做法的根据。例如 450849=92，648072=90。（4）用差数试商。当除数是 11、12、1318 和 19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法 ”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。若差数是 1 或 2，则初商为 9；差数是 3 或 4，
12、则初商为 8；差数是 5 或 6，则初商为 7；差数是 7 或 8，则初商是 6；差数是 9 时，则初商为 5。若不准确，只要调小 1 就行了。例如147618=82（ 18 与 14 差 4，初商为 8，经试除，商 8 正确） ；127817=75（ 17 与 12 的差为 5，初商为 7，经试除，商 7 正确） 。为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：差一差二商个九，差三差四八当头；差五差六初商七，差七差八先商六；差数是九五上阵，试商快速无忧愁。方法二：恒等变形恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答
13、。例如（1）183268=（1832-32 ）（68+32 ）=1800 100=1900（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）=359.8-10=349.8第五讲 常用巧算速算中的思维与方法（4）方法一：拆数加减在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。（1） 拆成两个分数相减。例如又如（2） 拆成两个分数相加。例如又如方法二：同分子分数加减同分子分数的加减法，有以下的计算规律：分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。例如
