1、1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点 P(x,y)对应到点 ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示 ,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射线 ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标
2、设 M 是平面内一点,极点 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 为始边,射线 为终边的角 叫做点 M 的极角,记为 .有序数对叫做点 M 的极坐标,记作 .一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数 .特别地,当点 在极点时, 它的极坐标为(0, )( R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示 ;同时 ,极坐标 表示的点也是唯一确定的 .3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景: 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:
3、设 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ,极坐标是( ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 直角坐标 极坐标互化公式在一般情况下,由 确定角时 ,可根据点 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为 的圆圆心为 ,半径为 的圆圆心为 ,半径为 的圆过极点,倾斜角为 的直线(1)(2)过点 ,与极轴垂直的直线过点 ,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 点 可以表示为 等多
4、种形式,其中,只有 的极坐标满足方程 .二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数的函数 ,并且对于 的每一个允许值,由方程组 所确定的点都在这条曲线上 ,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数 中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 ,那么 就是曲线的参数方程,在
5、参数方程与普通方程的互化中,必须使 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆 的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动，设 ，则 。这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是转过的角度。圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，它的参数方程为： 。4椭圆的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为 ，其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标准方程是 其参数方程
6、为其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为 0，2 ）。注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也有 ，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为 ，其中焦点在 轴上的双曲线的标准方程是 其参数方程为以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 的参数方程为7直线的参数方程经过点 ，倾斜角为 的直线 的普通方程是而过 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为 ，其中 表示直线 上以定点 为起点，任一点 为终点的有向线段 的数量，当点 在 上方时， 0；当点 在 下方时， 0；当点 与 重合时， =0。我们也可以把参数 理解为以 为原点，直线 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
