1、1相似三角形动点问题 一选择题（共 1 小题）1如图，小正方形的边长均为 1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图55 的方格中，作格点三角形和 ABC 相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（ ）A0.5，2.5 B0.5，5 C1，2.5 D1，5解：如图所示，DEF 和GHI 分别是面积最小和面积最大的三角形因为DEF，GHI 和ABC 都相似，AB= ，DE=1，GH= ，所以它们的相似比为 DE：AB=1： ，GH：AB= ： ，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而ABC 的面积为 21=1，故DEF 和 GHI 面积分别为 0.5，
2、5故选 B二填空题（共 10 小题）2如图，P 是 RtABC 斜边 AB 上的动点（P 异于 A、B） ，C=90， B=30，过点 P 的直线截 ABC，使截得的三角形与ABC 相似，当 = 或 或 时，截得的三角形面积为 ABC 面积的 716358解：设 P（l x）截得的三角形面积为 S，S= SABC，则相似比为 1：2，第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点，l 1AC， ，第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点，l 2BC， ，第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且 =九年级相似三角形动点问题2 ，第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，
3、且 ， = ， = ，当 = 或 或 时，截得的三角形面积为 RtABC 面积的 ，故答案为： 或 或 3如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上的动点，N 在 CO 上，且 ，若 AB=1，设 BM=x，当 x= 或 时，以 A、B、M 为顶点的三角形和以 N、C 、M 为顶点的三角形相似相似三角形的性质；正方形的性质7 ，AB=1CN= 1= ，BM=x，CM=1 x，当 CN 与 BM 是对应边时， = ，即 = 解得 x= ，当 CN 与 AB 是对应边时， = ，即 = ，解得 x= 九年级相似三角形动点问题3综上所述，x 的值是 或 故答案为： 或 4.在ABC 中，P 是
4、 AB 上的动点（P 异于 A、B ） ，过点 P 的直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的ABC 的相似线，简记为 P（l x） （x 为自然数） （1）如图，A=90，B=C，当 BP=2PA 时，P （l 1） 、P（l 2）都是过点 P 的ABC 的相似线（其中l1BC，l 2AC） ，此外，还有 1 条；（2）如图，C=90 ，B=30，当 = 或 或 时，P（l x）截得的三角形面积为 ABC 面积的 分析：（1）过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则 APQABC，l 3 是第 3 条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相
5、似线总共有 4 条，注意不要遗漏解：（1）存在另外 1 条相似线如图 1 所示，过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则 APQABC；故答案为：1；（2）设 P（l x）截得的三角形面积为 S，S= SABC，则相似比为 1：2如图 2 所示，共有 4 条相似线：第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点，l 1AC， = ；第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点，l 2BC， = ；第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且 = ， = = ；第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且 = ， = = ， = 故答案为： 或 或 九年级相似三角形动点问题
6、45如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm，AC=12cm，动点 D 从 A 点出发到 B 点止，动点 E从 C 点出发到 A 点止点 D 运动的速度为 1cm/秒，点 E 运动的速度为 2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点 A、D 、E 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动的时间是 3 秒或 4.8 秒 71动点型；分析：如果以点 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似，由于 A 与 A 对应，那么分两种情况：D 与 B 对应；D 与 C 对应根据相似三角形的性质分别作答解：如果两点同时运动，设运动 t 秒时，以点A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似，则 AD=t，CE=2t
7、，AE=AC CE=122t当 D 与 B 对应时，有ADEABCAD：AB=AE：AC，t：6=（122t ）：12 t=3；当 D 与 C 对应时，有ADEACBAD：AC=AE：AB，t：12=（122t ）：6， t=4.8故当以点 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是 3 秒或 4.8 秒三解答题（共 19 小题）1如图，在ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm，动点 M 从点 A 出发，以 1cm秒的速度向点 B 运动，动点 N 从点C 出发，以 2cm秒的速度向点 A 运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻 t，使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与AB
8、C 相似，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由九年级相似三角形动点问题5动点型分析：首先设经过 t 秒时，AMN 与ABC 相似，可得 AM=t，CN=2t，AN=122t（0t 6） ，然后分别从当 MNBC 时，AMNABC 与当AMN=C 时， ANMABC 去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案解：存在 t=3 秒或 4.8 秒，使以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似（无此过程不扣分）设经过 t 秒时，AMN 与ABC 相似，此时，AM=t， CN=2t，AN=12 2t（0t 6） ，（1）当 MNBC 时，AMN ABC， （1 分）则 ，即 ， （3
9、分）解得 t=3；（5 分）（2）当AMN=C 时，ANM ABC， （6 分）则 ，即 ， （8 分）解得 t=4.8；（ 10 分）故所求 t 的值为 3 秒或 4.8 秒2已知AOB=90，OM 是AOB 的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与边 OA，OB 交于点 C，D 在图甲中，证明：PC=PD；在图乙中，点 G 是 CD 与 OP 的交点，且 PG= PD，求POD 与PDG 的面积之比；（2）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，一直角边与边 OB 交于点 D，OD=1，另一直角边与直线 OA，直线 OB 分别交
10、于点 C，E，使以 P，D，E 为顶点的三角形与OCD 相似，在图丙中作出图形，试求 OP 的长分析：（1）可通过构建全等三角形来求解； 可根据相似比来求面积比（2）分两种情况进行讨论：当 C 在 OA 上上时； 当 C 在 OA 延长线上时；解：（1）证明：过 P 作 PHOA，PN OB，垂足分别为 H，N，得 HPN=90HPC+CPN=90CPN+NPD=90HPC=NPDOM 是AOB 的平分线 PH=PN又PHC=PND=90 PCHPDNPC=PDPC=PDPDG=45POD=45PDG=PODGPD=DPOPODPDG 九年级相似三角形动点问题6（2）若 PC 与边 OA 相交
11、，PDECDO令PDEOCDCDO=PEDCE=CDCOEDOE=ODOP= ED=OD=1若 PC 与边 OA 的反向延长线相交过 P 作 PHOA，PN OB，垂足分别为 H，N，PEDEDC令PDEODCPDE= ODCOEC=PEDPDE=HCPPH=PN，RtPHC RtPNDHC=ND，PC=PD PDC=45PDO=PCH=22.5OPC=180POCOCP=22.5OP=OC设 OP=x，则 OH=ON= HC=DN=ODON=1HC=HO+OC= +x1 = +xx=即 OP=3如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm ，AD=3cm，CE=2cm，动点 P 从 A 出发以每秒
12、 2cm 的速度向终点 B 运动，同时动点 Q 也从点 A 出发以每秒 1cm 的速度向终点 E 运动设运动的时间为 t 秒解答下列问题：（1）当 0t3 时，以 A、P、Q 为顶点的三角形能与ADE 相似吗？（不必说理由）（2）连接 DQ，试求当 t 为何值时？ ADQ 为等腰三角形（3）求 t 为何值时？直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积716358 分析：（1）不能相似，因为相似时，只能AQP=90， QPA=30，而 ADE 中的锐角不能为 30；（2）分为三种情况：当 AD=AQ=3cm 时，当 DA=DQ 时，过 D 作 DMAE 于 M，当 QA=QD 时，求出 AQ 长即可
13、；（3）连接 AC，取 AC 中点 O（即 AO=OC） ，当直线 PQ 过 O 时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积，根据ROCPOA，求出 CR=AP=2t，得出 RE=2t2，EQ=5 t，根据RQEPQA 得出 = ，代入求出即可解：（1）不能相似；（2）四边形 ABCD 是矩形，九年级相似三角形动点问题7DC=AB=6cm，ADC=90，分为三种情况：当 AD=AQ=3cm 时，此时 t=3； 当 DA=DQ 时，过 D 作 DMAE 于 M，在 RtADE 中，AD=3，DE=DCCE=6cm 2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面积公式得：S ADE= A
14、DDE= AEDM， DM= cm，在 RtADM 中，由勾股定理得：AM= = （cm） ，DMAQ，AD=DQ，AQ=2AM= cm（三线合一定理） ，即 t= ； 当 QA=QD 时，过 Q 作 QNAD 于 N，则 AN=ND= ，ADC=ANQ=90QNDC，DN=AN，EQ=AQ= AE= 5cm= cm，即 t=综合上述，当 t 为 3 秒或 秒或 秒时， ADQ 是等腰三角形（3）连接 AC，取 AC 中点 O（即 AO=OC） ，当直线 PQ 过 O 时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积，四边形 ABCD 是矩形，DCAB， OCR=OAP，在 ROC 和POA 中，R
15、OCPOA（ASA） ， CR=AP=2t，CE=2， RE=2t2，EQ=5t，DCAB，RQEPQA ， = ，= ，解得：t 1=3，t 2=0（舍去） 即 t=3 秒时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积九年级相似三角形动点问题84已知：Rt OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为 OB 的中点，点 C 为折线 OAB 上的动点，线段PC 把 RtOAB 分割成两部分在图上画出所有线段 PC，使分割得到的三角形与 RtOAB 相似，并直接写出点 C的坐标7163分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得 PCAB，PC OA 时，分割得到的三角形
16、与 RtOAB 相似，根据网格结构写出此时点 C 的坐标即可；又当 PCOB 时，分割得到的三角形与 RtOAB 也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出 OB 的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 BC 的长度，再求出 AC 的长度，从而得到此时点 C 的坐标解：如图，PC AB 时，OCP OAB，此时点 C 的坐标为（3，0） ，PCOA 时， PCBOAB，此时点 C 的坐标为（6，4） ，PCOB 时，CPBOAB ，根据勾股定理得，OB= =10，P（ 3，4）为 OB 的中点，PB= OB=5， = ，即 = ，解得 BC= ，AC=ABBC=8 = ，此时点 C 的坐标
17、为（6， ） ，综上所述，点 C 的坐标为（3 ，0） ， （6，4） ， （6， ） 5如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？九年级相似三角形动点问题9（2）是否存在时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由动点型分析：（1）关于动点问题，可设时间为 x，根据速度表示出所涉
18、及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的 t 值即可说明存在，反之则不存在解：（1）设经过 x 秒后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ，则有： （62x ）x= 36，即 x23x+2=0， （2 分）解方程，得 x1=1，x 2=2， （3 分）经检验，可知 x1=1，x 2=2 符合题意，所以经过 1 秒或 2 秒后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 （4 分）（2）假设经过 t 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似
19、，由矩形 ABCD，可得CDA= MAN=90，因此有 或 （5 分）即 ，或 （6 分）解，得 t= ；解，得 t= （7 分）经检验，t= 或 t= 都符合题意，所以动点 M，N 同时出发后，经过 秒或 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与 ACD 相似6RtABC 中， C=90，AC=6 厘米，BC=8 厘米，动点 P 从点 A 开始在线段 AC 上以 1 厘米/秒的速度向点 C 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以 2 厘米/秒的速度向点 A 移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束设点 P、Q 移动的时间为 t 秒（1）设APQ 的面积为 y（厘米 2）
20、，请你求出 y 与 t 的函数关系式，写出自变量 t 的取值范围，并求出当 t 为何值时，APQ 的面积最大；（2）在整个运动过程中，是否会存在以点 A、P 、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，请你求出此时 t 的值；若不存在，请你说明理由71分析：（1）根据已知条件求出 AB 的长，再过点 Q 作 QHAC，交 AC 与点 H，的长QHA BCA，求出 ，即可求出 QH 的值，最后求 SAPQ 的值 ；（2）存在在以点 A、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，此小题要分两种情况进行讨论，当 APQ=90时，APQABC，求出 t 的值； 当PQA=90时，APQABC，求出 t
21、 的值，经检验它们都符合题意即可九年级相似三角形动点问题107如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与ABC 相似的三角形分析：可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题解：观察可以发现 AC= AB，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为 EBF 中，BF= ，EF= ，BF=5，DIB 中，DI=2，DB=2 ，BI=2 ，HFE 中，HF= ，HE=2，EF= ，ABC 中，AB=1，AC= ， BC= ，计算对应边比值即可求得EBFDIBHFEABC8如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=2 ，BC=10 ，对角线 AC=
22、4，动点 E 从点 B 出发，以 2cm/s 的速度向点C 运动，运动时间为 t（s） （0t 5） 那么当 t 为何值时，以 A、E、C 为顶点的三角形与ADC 相似解：（1）BC=8，AC=6，得 AB=10，AP=t，CP=6 t，BQ=2t，AQ=10 2t，过点 Q 作 QHAC，交 AC 与点 H，QHABCA， ， ，QH=8 t，SAPQ= APQH= t（8 t）=4t t2；当 t= = 时，面积有最大值，是 4 （ ） 2=5 = ；（2）当APQ=90 时，APQABC，则 ， ，t= ；当 PQA=90时，APQABC，则 ，则 ，解得 t= ，当 t 为 或 时，经检验，它们都符合题意，此时 AQP 和 ABC 相似，故存在以点 A、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似
