1、 教师版All Rights Reserved 第 1 页 共 6 页教师姓名 郭鹏 学生姓名 刘晓航 填写时间年级 高一升高二 学科 数学 上课时间阶段 基础（ ） 提高（ ） 强化（ ） 课时计划 第（ ）次课共（ ）次课教学目标1会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值；3通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。教学重难点重点：求三角函数的最值与值域难点：灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域教 学 过 程一、知
2、识检测1在下列说法中：（1）函数 的最大值为 3；（2）函数 最小值是 4；（3）函数xysin2 xy22sini4的值域是 ；(4)存在实数 ，使得 成立正确的是 （ ）xycos1,0)(,1tanxA （1） （2） B （2） （4） C （1） （3） D （1） （4）2函数 的值域为（ ）3,6,inA1，1 B C D 1,22, ,233函数 的最大值为 ，最小值为 xycos2in4 _时，函数 的最大值为_x )4sin()si(xxy5函数 的值域为 2sii1yx6函数 （ 为常数，且 ）的最大值是 1，最小值是 ，则函数 的最baco,0a7xbaycossin大
3、值是_.二、互动平台（）简单三角函数的值域【例 1】 1. 求下列三角函数的值域.（1） （2）xysin 32,sinxy2. 若函数 的最大值是 1，最小值是 ，求 、 .coab7ab教师版All Rights Reserved 第 2 页 共 6 页小结：求基本三角函数值域，一定要结合三角函数的图像，故切记正、余弦函数的图像.（）与三角函数有关的复合函数的值域: 型函数的值域)cos(),sin(xAyxAy【例 2】 4,0),2sin(xy【例 3】 求函数 的值域,cosi小结：对于 的最大值为 ，最小值为 ，若 ，hxAy)sin(hAhAhxy)sin(，先由 求出 的范围，
4、然后结合图像求出，即由内而外逐层求值域,bax,ba（）引入辅助角法：类型一： 型.（此类型通常可以可化为 求其最值（或值域）.）xbaycosin 2sinco()yaxbabx【例 4】 求函数 （ ）的最值.)3in()6(xR解法: ，)12si(4)6si(2cssi xxy函数的最大值为 ，最小值为 .类型二： 型. 形如这种类型的，可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整)0(cosinsi2 axbxay理为 型再利用辅助角公式求出最值.nAB【例 5】求函数 的最值，并求取得最值时 x 的值.)247(cosin4si3c5)(22 xxxxf解： f o1os13)(inc2x
5、)6s(4x ， ，2743623x 21)6cos(2x 的最小值为 ，此时 ， 无最大值.()fx7()f【例 6】 ）求函数 的值域.)cos)(sin(xy教师版All Rights Reserved 第 3 页 共 6 页方法小结：求只含有 ， 的函数的最值问题，通常方法是换元法：令 (sincoxsincx sincoxt)，将 转化为 的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量2tt的取值范围.小试身手 已知： 求 的最大值及此时 的集合213sinco1iyxxR， ， yx分析 此类问题为 的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xcba22 si型
6、求解.xbaycossinmax123sin15cosi44132sin5sin64722, ,.6 4xxxxxkkzy解 ：小试身手 1.已知函数 ， ，直线 xt（t ）与函数 f(x)、g(x)的图像分别xf2sin)()cos2)6g0,2交于 M、N 两点，则|MN|的最大值是多少？2. 求函数 的值域.xxy22 s6csi3sin53. co4. 求函数 的值域.xxycosicsi（）配方法： 型。此类型可化为 在区间 上的)0(in2aba )0(2acbty1,最值问题.【例 6】求函数 （ ）的最值.1si3co2xyR解： 49)23(nisin1 x函数的最大值为
7、，最小值为495【例 8】求函数 （ ， ）的最大值.1si3cos2xayRx教师版All Rights Reserved 第 4 页 共 6 页解： 转化为1sin3cos2xay 2sin3si2yxa配方得： 24)(in2x当 ，即 时，在 sinx=1，123a313maxy当 时，即 时，在 sinx=1，a当 ，即 时，在 时，12a32ax2sin243maxy综上： 2max3()2)4331(ya小结：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数 ，进而转化为二次函数在某个区间上的值域cbtay2问题，但一定要注意新元的范围.小试身手 1. 函数 的值是多少？2()sinco
8、s,1,3fxx在 区 间 上 的 最 大 值 为 则2. 求函数 的最值.5sicy分 析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. 222minmax 535sin1sisin5i1si4811, 63sin.2,2168yxxxxkzyxkzy解 ：3. 设 ，用 表示 的最大值 04sincoaxf afxMa. 解： 令 sinx=t,则.21ii2f ,1t .2422 atatxftg教师版All Rights Reserved 第 5 页 共 6 页（1） 当 ，即 在0，1 上递增， 12atg,2;214
9、3agM（2） 当 即 时， 在0 ，1上先增后减，,0at ;2142ag（3） 当 即 在0，1 上递减，,atg, .4210aga0,4212,2143aaM3. 求函数 在区间 上的值域.xysinco4,（）数形结合: 型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为dxcbafosin)(再利用辅助角公式求其最值；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值.cxbassin【例 9】求函数 的值域ino2y解法 1：将函数 变形为csxcosin2yxy 由 ，2sin()yx2|in()12()解得： ，故值域是3y3,解法 2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(co
10、sx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数 得最值，由几何知识，易求得过 Q 的两切线sinco2xy得斜率分别为 、 。结合图形可知，此函数的值域是 .3 3,课 后 作 业xQPyO教师版All Rights Reserved 第 6 页 共 6 页1.函数 xycos3sin在区间 0,2上的最小值为 2.函数 )(21)(Rxf 的最大值等于 3.函数 ta)y4x且 的值域是_4.当 20x时，函数 xf2sin8co1(的最小值为 1函数 )(6)3sinRxy的最小值等于_2当 04x时，函数2c
11、os(inxf的最小值是_3函数 sinco2y的最大值为_，最小值为_.4函数 tax的值域为 . 5已知函数 ()2sin(0)f在区间 ,34上的最小值是 2，则 的最小值等于_6已知函数 coics1fxxxR，（）求函数 ()的最小正周期；（）求函数 fx在区间 384，上的最小值和最大值7. 已知函数 的定义域为 ，0，值域为5，1，求 2sinsinco0faxaxab2常数 、 的值ab教学反思： 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现.其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程） 。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳家长签名及建议：
