1、第七讲：三角函数的图象与性质知识要点回顾：1三角函数的定义域（1）函数 sin,cosyx的定义域均为 R （2）函数 ta的定义域为 |,2xkZ2三角函数的值域（1）正弦函数和余弦函数的值域为 1,，称为有界性 |sin|1,|cos|1xx ；函数tanyx的值域为 R（2）三角函数式的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数式本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换化简再求值域下列与三角函数有关的常用一些函数的值域要熟悉 sinco2sin()4yxx，当 xR时， 2,y；当 (0,)2x时，(1,2y；当 x为三角形的一个内角时， (1,y sinco2s
2、in)4xx，当 x时， 2,y；当 (0,)2x时 (1,)y tat(,y3三角函数的周期性（1）对周期函数的定义，要抓住两个要点： 周期性是函数的整体性质，因此 ()(0)fxTf必须对定义域中每一个自变量 x成立时，非零常数 T才是 ()fx的周期周期是使函数值重复出现的自变量 x的增加值正弦函数 sinyx和余弦函数 cosy都是以周期 2为最小正周期的周期函数；正切函数 tany和余切函数 cot都是以 为最小正周期的周期函数 在没有特别说明的情况下，周期一般是指最小正周期（2）熟记周期公式： si(),s()(0,)AxyAxA的最小正周期为： 2|T；tan(0,y的最小正周期
3、为： |T（3）三角函数的周期性在三角函数性质中的作用先在一个周期内研究其图象和性质，再由周期性推广到整个定义域内（4）周期函数 ()fx的常见表现形式： 对定义域内的每个 ，都有 ()()0)fxTfx成立，则 2T是函数 ()fx的一个周期 对定义域内的每个 ，都有 1()ff或 1(0)ffx成立，则 2T是函数 ()fx的一个周期 对定义域内的每个 x，都有 ()0fxTfb，则 2T是函数 (f的一个周期4三角函数的奇偶性，单调性（1）研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间 sinyx在的单调增区间是 2,2k，单调减区间是 3,2k，其中kZ cos在的单调增区间是 ,k，单调减
4、区间是 ,k，其中 tanyx在的单调增区间是 ,2k，其中 Z sin()yAx的单调性：当 0A，即 、 同号时，由 2,2kx得到的是增区间，由 32,2k得到的是减区间；当 0A，即 、 异号时，由x32,k得到的是增区间，由 2,2kx得到的是减区间其中 Z注意： 周期函数的单调区间的正确书写格式 求正弦型函数 sin()yAx的单调区间时，一定要注意 A与 的符号 写单调区间时，务必注意函数的定义域，当定义域为 R时，别忘记加注 kZ（2）奇偶性正弦函数、正切函数和余切函数在其定义域内均为奇函数，余弦函数在其定义域内均为偶函数5三角函数的图象（1）画三角函数的图象应先求函数的周期，
5、然后用五点法画出函数在一个周期内的图象，再通过平移拓展得到整个定义域内的图象（2）函数 sinyx的图象关于点 (,0)k中心对称，关于直线 2xk轴对称； cosyx图象关于点 (,0)k中心对称，关于直线 xk轴对称； tany的图象关于点 (,0)2k中心对称，无对称轴其中 kZ（3）函数 sin()yAx的图象关于点 中心对称，关于直线 轴对称，(,0)x其中 kZ6函数 ()i()(0,)f A的图象与性质（1）周期性、单调性、图象的对称性参见前面相关内容（2）奇偶性：当且仅当 kZ时， (fx为奇函数；当且仅当 时，()2kZ()fx为偶函数（3）一个周期内的五个点的坐标、单调性、
6、周期性、对称性间的关系任何两个相邻关键点的横坐标之差为 4T或 ，任何两个相邻的对称中心相距 2T，任何两个相邻最值点横坐标之差为 2，任何相邻两条对称相距 2T，且相邻两对称轴间的区间是函数的一个长度最大的单调区间，任何一个长度最大的单调区间的长度为 ，若函数()fx在区间 ,ab上单调，则 Tba 对称轴与图象的交点为函数的最大值或最小值点（4）图象变换的基本知识 （平移、对称、伸缩变换，数形间的关系及相互转化）（5）对一于函数 sin()AxB，要注意参数 AB、 、 、 对函数图象与性质的影响和制约7注意事项（1）三角函数的图象包括： sincostanyxyx、 、 的图象；“五点法
7、”画出sin()Ax的简图；利用平移和伸缩变换画出 i()的图象对三角函数图象要从对称轴和有界性双角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个关键要素，这是高考命题的一个热点 （2）三角函数的性质包括：奇偶性，单调性，周期性，最值，图象的对称性其中对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上而求三角函数的定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法（3）对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换化简为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究（4）三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶
8、点、零点、对称中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应熟练掌握用“五点法”作图的基本原理并能快速、准确地作图；“五点法”中五个点的坐标与周期、单调区间的长度、对称性、最值间的关系，明确A、 、的取值对它们的制约与影响（5）在图象变换中，注意周期与最值的大小变化与伸缩间的关系当平移变换与伸缩变换均需使用时，应注意实施两种变换的先后顺序对变换结果的影响（6）角的取值区间或取值集合的正确表示，注意区分何时只能用区间，何时表示形式不限，还要注意是否需要加注“ kZ”解题方法与策略分析1处理三角函数的图象与性质问题时，其基本解题方法与策略是通过三角变换将函数的解析式化为 sin()(0,)AxBA或 tan
9、()(0,)AxBA的形式，然后直接利用函数 或 tanx的图象与性质，必要时充分利用 “五点法”用作出一个周期内的简图，数形结合处理当然，有时不能化为上述形式，此时需考虑“二次型：2()afxbfc”与分式型“ 2()fbfcmd”两种形式，其中 ()fx为确定的三角函数式2解决函数图象变换问题时应抓住数形间的内在关系，明确形变与数变的联系（见附注），充分利用对应点的坐标或图象特殊点的变化过程附注：函数图象变换中形与数间的变化规律设 0a、 ，箭头指向的一边为平移变换的结果，则有： (,0)() ()amaxafx fxAAAAA上上 ,()x上上 0,() ()bnbybfx fxAAAA
10、A上上 (,)y上上2()(xafxfx 上0()yafa 上若 1，则：1() ()xfx fx 上上若 0，则： 注意：三角函数的图象变换当沿 轴需进行平移和伸缩且沿 y轴也需进行平移和伸缩时，按实施变换的先后顺序的不同共有 24 种不同方法先平移变换后伸缩变换与先伸缩变换再平移变换两种变换方式中伸缩变换不变，平移的方向也不变，要特 别注意的是平移的单位长度并不相同事实上，设 0，则有： 1(,0)() () ()amfxfx fxm横 坐 标 伸 长 或 缩 短 到 原 来 的沿 向 量 平 移 1(,0)amf横 坐 标 伸 长 或 缩 短 到 原 来 的 沿 向 量 平 移(0,)(
11、)() ()Abnfxfxnfxn纵 坐 标 伸 长 或 缩 短 到 原 来 的 倍沿 向 量 平 移 (0,)() +Aanfx纵 横 坐 标 伸 长 或 缩 短 到 原 来 的 倍 沿 向 量 平 移3对于涉及单调性、值域与最值、周期、对称性等的三角函数问题，大多需要把函数解析式化为 sin()Ax的形式来处理，解题时要充分注意自变量的取值范围，并由此求出角 x的范围，再结合函数图象解决，必要时可利用 tx换元化简要充分留意最值、对称性、周期性、单调性之间的内在联系，并把它们与 A、 、 有机地结合起来，注意一个关键点的坐标与 A、 、 的关系对于形如 cosinmxyab的函数值域，常将
12、函数关系看作关于 x的方程，变形后利用正弦或余弦函数的有界性得到关于 y的不等式求出值域；也可利用分式的几何意义 直线的斜率数形结合解决当函数的定义域限制在 0,2内的一个真子区间上时，利用几何意义处理更为方便简捷和准确4会由给定函数 y= sin()Ax的一段图象求其函数解析式典型范例分析1三角函数的图象例 1函数 yxcosx 的部分图象是（ ）变式 1函数 y=x+sin|x|，x ，的大致图象是（ ）变式 2函数 lncos()2yx的图象是 （ ）变式 3：函数 tansitansiyxx在区间 3(,)2内的图象是 学科网学科网变式 4：已知 是实数，则函数 的图象不可能是（ ）2
13、1 世纪教育网 a()1sinfxaxA B C Dxo32yA2-Bo32-xoyC- xo32yD2-2、三角函数的性质例 2函数 的定义域是（ ）12logsin3yxA、 B、,6kkZ ,36kkZC、 D、2,3 ,例 3、函数 的最小正周期 满足 ，求正整数 ，并就最小的)sin(kxyT)3,1(k值求出其单调区间及对称中心.k例 4如果函数 的图象关于直线 对称，求 的值.xay2cossin8xa例 5、设 = ，其中 a，b R， ab 0，若 对一切则 x()fxsin2cosabx()6fxfR 恒成立，则 来源:学科网 ZXXK 既不是奇函数也不是偶函1()0f7(
14、)1f()5ff数 的单调递增区间是()fx2,()63kkZ存在经过点（a，b）的直线与函数的图 像不相交fx以上结论正确的是 （写出 所有正确结论的编号）变式 1函数 )0,)(sin)( Axxf 的图象如图所示，则 2732ff 的值等于 变式 2下列命题：若 )(xf是定义在1，1上的偶函数，且在1，0 上是增函数， )2,4(，则)cossin；若锐角 、 满足 ,sin 则 2; 在 ABC中， “ ” “ BAi”;要得到函数 )42cos(xy的图象, 只需将 sinxy的图象向左平移 4个单位.其中真命题的个数有（ ）A1 B2 C3 D4变式 3.设定义在 R上的函数 (
15、)fx满足 ()2)13fxf，若 ()2f，则 (9)f（ ）A13 B2 C D 13变式 4：给出四个命题：存在实数 ，使 ；存在实数 ，使cosin； 是偶函数； 是函数 的3cosin)5sin(xy8x)452sin(xy一条对称轴方程；若 是第一象限角，且 ，则 。其中所有的正, sin确命题的序号是_。变式 5：已知函数 ，其中 为实数，若 对 恒成立，()sin2)fx()6fxfxR且 ，则 的单调递增区间是()2fff（A） （B）,()36kkZ,()2kkZ（C） （D）2,()63kkZ ,()2kkZ变式 6已知函数 若对任意 ，都有)sin,()3cos()fx
16、gxxRx，则 =_3()(xf)3(变式 7：设 和sin,0()1)()xffx 1cs,()2(),xgx求 的值.4365()341(fgfg变式 8：设 ，其中 m、n、 、 都是非零实数，)cos()sin21xxm12若 则 .,20f20f3、三角函数图象的应用例 6已知电流 I 与时间 t 的关系式为 。sin()IAt（）右图是 （0， ）sin()A|2在一个周期内的图象，根据图中数据求 si()It的解析式；（）如果 t 在任意一段 秒的时间内，电流 都能取得最大值和最小150in()IAt值，那么 的最小正整数值是多少？变式 1已知函数 ()2sin()fx的图像如图
17、所示，则 72f 。变式 2已知函数 ()sin(),fxAxR（其中 0,2A）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 2，且图象上一个最低点为 (,)3M.()求 )f的解析式；（）当 ,1x，求 ()fx的值域 .30-301180-190oIt4、三角函数的最值例7设 0a，对于函数 ，下列结论正确的是（ ）sin(0)xaf A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值变式 1若将函数 tan04yx的图像向右平移 6个单位长度后，与函数tan6yx的图像重合，则 的最小值为A 1 B. 14 C. 13 D. 12变式 2 （1）
18、若 ，求函数 的最值及相应的 的值,3x2tancosyxx（2）求函数 的最大值为 1 时 的值.sin2xay:变式 3：已知 的定义域为0， ，函数的最大值为 1，最小值bxaxf)32sin()(2为-5，求 a,b 的值.5、数形结合思想的应用例 8当 时10x，不等式 kx2sin成立，则实数 k的取值范围是_.变式 1定义在区间 ,上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_。变式 2判断方程 的根的个数。0sinx6、三角函数的综合题例9
19、设 )2,0(，函数 )(xf的定义域为 1,0，且 ,0)(f1)(f，当 yx时，)(sin1si( yfxfyf ，求：(1) )1及 4(的值；(2)函数 的单调递增区间.)2sin(xxg变式 1已知函数 ( ， )为偶函数，且其图像上相邻的)sin(xf 0一个最高点和最低点之间距离为 .求 的解析式；24xf变式 2：已知函数 f（x ）是定义在（ ， ）上的奇函数且为减函数，又函数满足31f（1sinx ）+ f（1sin 2x）0，求 x 的取值范围变式 3：已知函数 f（x ）=sin（x+） （ 0，0 ）是 R 上的偶函数，其图象关于点 M对称，且在区间0， 上是单调函数，求 和 的值)43(2变式 4：若函数 f（x ）=+ bcosx+csinx 的图象过点 A（0，1）和 B（ ，1）且2x0， 时 f（x）2 恒成立，试求实数 的取值范围2
