1、面积类1、已知椭圆 ： 与 正半轴、 正半轴的交点分别为 ，动点是椭圆上任一点，求 面积的最大值。【解析】试题分析：先求顶点坐标，再求直线方程，根据椭圆的参数方程表示出点 的坐标，然后再求点到直线的距离，表示出面积，然后求最值 试题解析：依题意 ， ， ，直线 ： ，即设点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离是 ， 当 时， ， 所以 面积的最大值是 考点：椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值2、设点 A（ ，0），B（ ，0），直线 AM、BM 相交于点 M，且它们的斜率之积为 . （）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （）若直线 过点F（1，0）且绕 F 旋转， 与圆 相交于 P、
2、Q 两点， 与轨迹 C 相交于 R、S 两点，若|PQ| 求 的面积的最大值和最小值（ F为轨迹 C 的左焦点）.【解析】（）设 ，则化简 轨迹 的方程为（）设 ， 的距离 ，将 代入轨迹 方程并整理得：设 ，则 ，设 ，则 上递增，考点：椭圆，根与系数关系，基本不等式，坐标表示3、已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 B，离心率为 ，圆 与 轴交于 两点 （）求 的值； （）若 ，过点 与圆 相切的直线 与 的另一交点为 ，求 的面积 【解析】 （）由题意， ， ， ， 得， ,则 ， ， 得 ， , 则 （）当 时， ， ，得 在圆 F 上， 直线 ，则设 由 得 ，又点 到直线 的距离 ，
3、得 的面积考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示等，考查了学生的综合化简计算能力 4、设椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . (1) 求椭圆方程. (2) 过点 的直线与椭圆交于不同的两点 ，当 面积最大时，求 .【解析】 (1)由题意可得 ， ，又 ，解得，所以椭圆方程为 (2)根据题意可知，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 ，设， 由方程组 消去 得关于 的方程由直线 与椭圆相交于 两点，则有 ，即得 由根与系数的关系得故 又因为原点到直线 的距离 ， 故 的面积令 则 ，所以 当且仅当 时等号成立， 即 时，考点：1.椭圆方程；2. 椭圆与直线
4、综合；3. 基本不等式.5、已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，P为椭圆 上任意一点，且 的最小值为 . （1）求椭圆 的方程； （2）动圆 与椭圆 相交于 A、B 、C、D 四点，当 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积.【解析】（1）因为 P 是椭圆 上一点，所以 . 在 中，由余弦定理得 . 因为，当且仅当 时等号成立. 因为，所以 . 因为 的最小值为 ，所以 ，解得 . 又 ，所以 .所以椭圆 C 的方程为. （2）设 ，则矩形 ABCD 的面积 . 因为 ，所以. 所以 . 因为且 ，所以当 时， 取得最大值 24. 此时 ，. 所以当 时，矩形 ABCD
5、的面积最大，最大面积为. 考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数6、已知 、 分别是椭圆 : 的左、右焦点，点在直线 上，线段 的垂直平分线经过点 直线与椭圆 交于不同的两点 、 ，且椭圆 上存在点 ，使，其中 是坐标原点， 是实数 （）求 的取值范围； （）当 取何值时， 的面积最大？最大面积等于多少？【答案】（） ;（）当 时， 的面积最大，最大面积为 .【解析】（）设椭圆 的半焦距为 ，根据题意得 解方程组得 椭圆 的方程为 由 ，得 根据已知得关于 的方程 有两个不相等的实数根. ， 化简得： 设 、 ，则 （1）当 时，点 、 关于原点对称，满足题意； （2）当 时，点 、 关于原点不
6、对称， . 由，得 即 在椭圆 上， ， 化简得： ， ， ，即 且 综合（1）、（2）两种情况，得实数 的取值范围是 （）当 时， ，此时， 、 、 三点在一条直线上，不构成. 为使 的面积最大， . . 原点 到直线的距离 ， 的面积 ， ， . ， “ ” 成立 ，即 当 时， 的面积最大，最大面积为 考点：直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力.7、设椭圆 的离心率 ， 是其左右焦点，点是直线 （其中 ）上一点，且直线 的倾斜角为 . （）求椭圆 的方程； （）若 是椭圆 上两点，满足 ，求（ 为坐标原点）面积的最小值.【解析】（） 则 ,故 （）当直线 的斜率不存在时，可设
7、 代入椭圆得 ，此时， , 当直线 的斜率存在时，设代入椭圆得： , 设则 由得： 当 时，取等号，又 ，故 的最小值为 . 考点：直线与椭圆的位置关系综合应用.8、已知椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为的菱形的四个顶点. （I）求椭圆 的方程； （II）直线 与椭圆 交于 ，两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，求 （ 为原点）面积的最大值.【解析】 (I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2， 一内角为 的菱形的四个顶点, 所以 ,椭圆 的方程为(II)设 因为 的垂直平分线通过点 ， 显然直线 有斜率， 当直线 的斜率为 时,则 的垂直平分线为 轴, 则 所以因为， 所以 ，当
8、且仅当 时， 取得最大值为 当直线 的斜率不为 时,则设 的方程为 所以 ，代入得到 当 , 即方程有两个不同的解 又 ，所以 ， 又 ，化简得到 代入 ，得到 又原点到直线的距离为 所以化简得到 因为 ，所以当 时，即 时， 取得最大值 综上，面积的最大值为 考点：直线与圆锥曲线的位置关系9、如图，A,B 是椭圆 的两个顶点 , ，直线 AB 的斜率为 求椭圆的方程；（2）设直线 平行于 AB，与 x,y 轴分别交于点M、N，与椭圆相交于 C、D， 证明： 的面积等于 的面积 【解析】（1）解：依题意， ， ， 整理得 解得 所以 椭圆的方程为 （2）证明：由于 / ，设直线 的方程为 ，将
9、其代入 ，消去 ， 整理得 设 ， 所以 证法一：记 的面积是 ， 的面积是 由 ， ， 则因为 ，所以 ，从而 证法二：记 的面积是 ， 的面积是 则线段 的中点重合 因为 ，所以 ， 故线段 的中点为 因为 ， ，所以 线段 的中点坐标亦为 从而 考点：1.斜率公式；2. 直线与曲线的位置关系；3. 韦达定理.10、已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点. （）求椭圆 的方程； （）设椭圆 与曲线的交点为 、 ，求 面积的最大值.【答案】（1） ；（2 ） .【解析】（1）抛物线 的焦点为 ， 又椭圆 离心率， ， 所以椭圆 的方程为 （2）设点
10、，则 ，连 交 轴于点 ， 由对称性知： 由 得： ， （当且仅当 即时取等号） 面积的最大值为 . 考点：椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系.11、已知椭圆 ： 的右焦点 在圆 上，直线 交椭圆于 、 两点. (1)求椭圆 的方程； (2)若( 为坐标原点)，求 的值； (3) 设点 关于 轴的对称点为（ 与 不重合），且直线 与 轴交于点 ，试问 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【解析】 (1)由题设知，圆 的圆心坐标是 ，半径为 ， 故圆 与 轴交与两点 ， . 1 分 所以，在椭圆中 或 ，又 ，所以， 或 (舍去， ), 于是，椭圆 的方程为.
11、(2)设 ， ；直线 与椭圆 方程联立 , 化简并整理得 . ， , ， . ， ,即 得 ， ，即 为定值. (3) ， , 直线 的方程为 令 ，则 , 当且仅当 即 时等号成立. 故 的面积存在最大值考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆位置关系的运用，属于中档题。12、已知两点 F1(-1,0)及 F2(1,0),点 P 在以 F1、F 2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、|F 1F2|、|PF 2|构成等差数列. （1）求椭圆 C的方程; （2）如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两点,且 F1Ml, F2Nl.求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.【解析】 (1)依题意,设椭圆 的方程为 . 构成等差数列, , . 又 , . 椭圆 的方程为 (2) 将直线 的方程 代入椭圆 的方程 中, 得由直线 与椭圆 仅有一个公共点知,
