1、1、 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付 20 万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付 5 万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为 0.0002，因其他愿意死亡的概率为 0.0010，求公司赔付金额的分布律。解：设 X 为公司的赔付金额， X=0,5,20P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988P（X=5）=0.0010P（X=20）=0.0002X 0 5 20P 0.9988 0.0010 0.00022.(1) 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球，
2、以 X 表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律.解：方法一: 考虑到 5 个球取 3 个一共有 =10 种取法，数量不多可以枚举来解此题。35设样本空间为 SS=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 易得，PX=3= ；PX=4= ；PX=5 = ；110 310 610方法二：X 的取值为 3,4,5当 X=3 时，1 与 2 必然存在 ，PX=3 = = ;2235 110当 X=4 时，1,2,3 中必然存在 2 个， PX=4= = ；2335 310当 X=5 时，1,2,3,4 中必然存在 2 个， PX=5= = ；2435 6
3、10(2)将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，试求 X 的分布律.解：PX=1= P ( 第一次为 1 点)+P（第二次为 1 点）- P（两次都为一点）= = ；16+16- 136 1136PX=2= P (第一次为 2 点，第二次大于 1 点)+P（第二次为 2 点，第一次大于 1点）- P （两次都为 2 点）= = ；1656+1656- 136 936PX=3= P (第一次为 3 点，第二次大于 2 点)+P（第二次为 3 点，第一次大于 2点）- P （两次都为 3 点）X 3 4 51/10 3/10 6/10X 3 4 51/10 3/10 6/10= =
4、 ；1646+1646- 136 736PX=4= P (第一次为 4 点，第二次大于 3 点)+P（第二次为 4 点，第一次大于 3点）- P （两次都为 4 点）= = ；1636+1636- 136 536PX=5= P (第一次为 5 点，第二次大于 4 点)+P（第二次为 5 点，第一次大于 4点）- P （两次都为 5 点）= = ；1626+1626- 136 336PX=6= P (第一次为 6 点，第二次大于 5 点)+P（第二次为 6 点，第一次大于 5点）- P （两次都为 6 点）= = ；1616+1616- 136 136X 1 2 3 4 5 611/36 9/3
5、6 7/36 5/36 3/36 1/363.设在 15 只同类型的零件中有 2 只是次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样.以 X 表示取出的次品的只数 .(1)求 X 的分布律 .解：PX=0= = ;313315 2235PX=1= = ;213 12315 1235PX=2= = ;11322315 135X 0 1 222/35 12/35 1/35(2)画出分布律的图形.22/3512/351/350.00_0.10_0.20_0.30_0.40_0.50_0.60_0.70_分 布 律 图 形XPX=k0 1 24、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为 p，失败
6、概率为 q=1-p（03,即P（ X3） =1P（ X3） =1P（ X=0） P（ X=1） P（ X=2） P（ X=3）=14444242! 4343!=17134=0.566513.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数 X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） 。（1） 求某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率；（2） 求某一天中午 12 点至下午 5 点至少收到 1 次紧急呼叫的概率。解：(1)设某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率为 P，时间间隔长度 t=3，依题意有 P（ X=0）=(2)t
7、2! =(32)0320! =32=0.2231(2)依题意，即 X1，时间间隔长度 t=5，则 P（ X1） =1P（ X=0）=1(2)t2!=1(52)0520!=152=0.917914.某人家中在时间间隔 t（小时）内接到电话的次数 X 服从参数为 2t 的泊松分布。（1）若他在外出计划用时 10 分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为 0.5，问他外出应控制最长时间是多少？解：(1)设其间有电话铃响一次的概率为 P，t=1/6，依题意有P（ X=1） =(2)2! =(13)1131! =1313=0.2388(2)外出时没有电话的概率至少
8、为 0.5,即为 P（ X=0） 0.5P（ X=0） =(2)2! =(2)020! 0.5即 20.5求解得（小时） 12ln2=0.3466即外出时间不得超出 20.79 分钟.15.保险公司在一天内承保了 5000 张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付 3 万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过 30 万元的概率（利用泊松定理计算） 。解：设投保人在一年内死亡人数为 X,则 Xb（5000,0.0015） ，若公司赔付不超过 30 万元，则死亡人数不该超过 =10
9、 个人，303PX10= 10=0(5000)(0.0015)(0.9985)5000根据泊松定理，=np=50000.0015=7.5PX10 .10=07.57.5! =0.862216.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001。在某天的该时间段内有 1000 辆汽车通过。问出事故的车辆数不小于 2 的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为 X，则 Xb（1000,0.0001） ，所求为 PX 2=1-PX=0-PX=1.其中，根据泊松定理，=np=1000 0.0001=0.1.PX=k= .(1)
10、 !所以，PX 2=1-PX=0-PX=11- 0.10.10.1=0.0047.17.（1）设 X 服从（0-1）分布，其分布律为 PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求 X 的分布函数，并作出其图形。（2）求第 2 题（1）中的随机变量的分布函数。解：（1） X 服从（0-1）分布，即，当 X=0， ；当 X=1，=1 =.当 x0，0， 0. （1）P至多 3 分钟.（2）P至少 4 分钟.（3）P3 分钟至 4 分钟之间.（4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟.（5）P恰好 2.5 分钟.解：（1）P至多 3 分钟=PX3= （3）=1- =1- 0.43 1.2（2）P至少 4 分钟=PX4=1-PX4=1- （4） = = 0.441.6（3）P3 分钟至 4 分钟之间=P3X4= （4）- （3）=（1- ）-（1- 0.44）= -0.43 1.21.6（4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟=PX3UX4=PX3+PX4=（1- ）+1.21.6=1+ -1.61.2（5）P恰好 2.5 分钟=PX=2.5=020.设随机变量 X 的分布函数为 （x）= 0， ， 1， 1 ，1， . （1）求 PX2，P0X3，P2X2.5.（2）求概率密度 （x）.解：（1）根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得PX2= （2）=ln2
