1、第六讲 数理统计第一章 基本概念考试要求：数学一、三理解：总体，简单随机样本，统计量，样本均值样本方差和样本矩数学一了解： 分布， 分布， 分布，分位数并会查表计算，2tF正态总体的常用抽样分布数学三了解：产生 变量， 变量， 变量的典型模式2t理解：标准正态， 分布， 分布， 分布的分位数并会查表计算，经验分布F掌握：正态分布的常用抽样分布1 总体和样本一总体：所研究对象的某项数量指标 全体。X二样本，如果 相互独立且都与总体 同分布，则称 为来自12,.nX 12,.nX总体的简单随机样本，简称样本。样本容量，样本值，观测值，则 的联合分布()Fx:12,.nX121,.)()niiFx，
2、则 的联合密度()Xfx:12,.n121,.)()niiffx例 设总体 ，则来自总体 的样本 的联合概率密度()e:X12,.nX_12(,.nfx2 统计量和样本数字特征一统计量样本 的不含未知参数的函数 。如果12(,.)nX12(,.)nTX是样本 的样本值，则数值 为统计量.x12,.nX,x的观测值。12(,)nT二样本数字特征1样本均值 ；1niiX2样本方差 ，221()niiSX样本标准差 ；21()nii3样本 阶原点矩 ；k1nkkiiAX,4样本二阶中心矩 221()niiB， ，()EX2()DXn22()ESDX如果 ， 。()k1PknikiA 例 设总体 的概
3、率密度为 ，来自总体 的样本为X2,01()xf其 他 X则 的概率密度 _.1234,X()1234max,X(4)Xfx3 常用统计抽样分布常用统计抽样分布：正态分布， 分布， 分布和 分布。除正态分布外不必记忆这2tF些分布的概率密度，但要了解其典型模式，分布曲线示意图和分位数，会查表。一 分布21典型模式： 相互独立且均服从 ，则称12,.nX(0,1)N服从自由度为 的 分布，记2n22()n:122,0()()0,xnefx， ；2()En2()Dn2可加性：设 ， ，且 相互独立11:22():21和则 ；22()+3上 分位点 ：设 ，对于给定的 ，称满足条件n2(n(0)的点
4、 为 分布的上 分位点。2()P( )例 已知 ，则 =_。2()n:2()E二 分布t1典型模式： 独立， ， ，则,XY(0,1)N:2()Yn:()Ttn，121()nxfxnx是偶函数， 充分大时， 近似 。()f ()t(0,)N2上 分位点()t， ， ， ，Tn01()PTtn1()()tnt2()Pt三 分布F1典型模式： 独立， ，则,XY221(),()nY:122(,)XnFY:112212(),0()()0,nnxxfx如果 ，则12(,)Fn:21(,)Fn:2上 分位点， ，12(,)012(,)P1221,(,)Fnn4 正态总体的抽样分布一一个正态总体设 ， 来
5、自总体 的样本 2(,)XN:12,.nXX样本均值 ，样本方差 ，则S（1） ，2(,)n:(0,1)UNn:（2） 与 相互独立，且X2S22()sXn（3） (1)Ttn:（4） 221()()iiX二两个正态总体设 ， ， 和 ，分别来自 的21(,)XN:2(,)Y:112,.nX2,.nYXY和样本，相互独立， ，12,S（1） ，211(,)XYNn: 122()()(0,1)XYUNn:（2）如果 ，则211212()()()XYTtnSn:其中2221()()S（3）2112(,)SFn:5 典型例题分析例 1设总体 服从参数为 的 01 分布，则来自总体 的简单随机样本Xp
6、X的概率分布为_。2,.n例 2设总体 ，则来自总体 的样本 的样本均值 的分布律为()XP:X12,.nX_。例 3 （98）设 是来自正态总体 的样本，已知1234, 2(0,)N服从 分布，其中 为常数，则2 24()()aXbXn,ab_。n例 4设随机变量 ，则 服从的分布及参数为_。()Ttn:2例 5 （05）设 为来自总体 的简单随机样本， 为样本均值，12,.nX()(0,1)NX为样本方差，则2S()A(0,1)nXN:()B2()nS:CtSD212(,)niiXFn例 6设 ，从总体 中抽样取样本 ，试确定 的值，使得2(0,)XN:X129,.X为最大，其中 。(13P91ii例 7已知 相互独立，且服从 ，123,X2(0,)N证明 服从 分布。231)t例 8设总体 服从正态 ， 从该总体中抽取简单随机样本X2(,)N(0)，其样本均值为 ，求统计量12,.n21niiX的数学期望 。21()niniiYX()EY例 9 （04）设总体 服从正态分布 ，总体服从正态分布 ，X21(,)N2(,)N和 分别是来自总体 的简单随机样本，则112,.n2,.nYXY和_。12212()()nni ji jXYE例 10 （06）设总体 的概率密度为 ， 为总体X1()()2xfe112,.nX的简单随机样本，其样本方差为 ，则 。S2E
