1、二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为 P（x1 ，y） ，Q（x2，y）(1)线段对称轴是直线 2x1(2)AB 两点之间距离公式： 2121)()(yxPQ中点公式：已知两点 ，则线段 PQ 的中点 M 为 。21y,x211y,x2、两直线的解析式为 与 1bxky2bxky如果这两天两直线互相垂直，则有 23、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当 k1=k2，b1 b2 ，L1L2（2）当 k1k2 ， ，L1 与 L2 相交（3）K1 k2= -1 时， L1 与 L2 垂直二、三角形的存在
2、性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线） 。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于 60，三线合一，具有等
3、腰三角形的一切性质。判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。总结：（1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与 A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB 垂直的直线上。（二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同，1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图上找出存在点的个数，只找不求。2、等腰三角形求点方法：以已知
4、边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分顶点进行讨论，如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段 AB BC AC 的长度，第二步，作假设， （1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即 CA=CB第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。如：已知两点
5、 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段 AB BC AC 的长度，第二步，作假设， （1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC（3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即 CA=CB第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。（三）关于直角三角形找点和求点的方法1、 直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边
6、为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。2、具体方法（ 1） ；12k（ 2） 三 角 形 全 等 （ 注 意 寻 找 特 殊 角 ， 如 30、 60、 45、 90）（ 3） 三 角 形 相 似 ； 经 常 利 用 一 线 三 等 角 模 型（ 4） 勾 股 定 理 ；当 题 目 中 出 现 了 特 殊 角 时 ， 优 先 考 虑 全 等 法 三、二次函数的应用： 1、应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值：这类问题常见有面积、利润销售量的最大（小
7、）值，一般这类问题的解题方法是：先表示出二次函数关系式，再根据二次函数的最值问题来求解即可。2、应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题:3、应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；四、等腰三角形的例题解析例题 1、 （扬州）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（-1，0） 、B（3，0） 、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理
8、由解：（1）将 A（-1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）代入抛物线 y=ax2+bx+c 中，得到抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3（2）点 A、B 关于直线 l 对称，连接 BC，直线 BC 与直线 l 的交点为 P；p 点即为所求的点。设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0 ） ，将 B（3，0） ，C（0，3）代入上式，得：直线 BC 的函数关系式 y=-x+3；当 x=1 时，y=2 ，即 P 的坐标（1 ，2） （3）抛物线的对称轴为：x=1，设 M（1 ，m ） ，已知 A（-1 ，0） 、C（0，3） ，则：MA2=m2+4， MC2=（m -3） 2+1=m2-
9、6m+10， AC2=10；（1）MA=MC，则 MA2=MC2，得： m2+4=m2-6m+10，得：m=1 ；若 MA=AC，则 MA2=AC2，得：m 2+4=10，得：m= 6；若 MC=AC，则 MC2=AC2，得：m 2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6 ；设直线 AC 的解析式为 y=k1x+b1（k 0） ，将 A（-1，0 ） ，C（0，3）代入上式，得Y=3x+3，与 直线 x=1 的交点坐标为（1,6） ，所以：当 m=6 时，M、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M（1，1） ， （1，-6 ） ， （1，
10、6） ， （1，0） 易错点及方法总结：当以 C 为顶点的两条腰相等时，求出的点 M 有可能与 AC 共线，所以要进行检验，这一点非常关键。以其它两点为顶点的两条腰相等时，不可能存在共线问题，所以不用检验。五、直角三角形存在性问题汇总例 1、如图：A(0，1) B(4，3) 是直线 y=1/2x+1 上的两点，点 p 是 x 轴上一点，若ABP 是直角三角形，则点 p 的坐标是多少？解：（1）当BAP 为 90时，因为 LAB: y=1/2x+1 LAP1: y= -2x+1 所以p1（ 1/2，0）（2）当PBA=90 时，因为 LAB: y=1/2x+1 LAP2: y= -2x+11 所
11、以p2（ 11/2，0 ）（3）当APB=90 时， ，如图过点 B 作 BDX 轴于 D例 2、 （攀枝花）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（-3 ，0） ，B（1，0） ，C（0 ，-3） （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点 P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为 D，DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由于抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（-3，0） ，B（1，0） ，可设抛物线的解析式
12、为：y=a（x+3 ） （x-1 ） ，将 C 点坐标（0，-3）代入，得： a（0+3） （0-1）=-3，解得 a=1，则 y=（x+3） （x-1 ）=x 2+2x-3，所以抛物线的解析式为：y=x 2+2x-3；（2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AC 于点 N设直线 AC 的解析式为 y=kx+m，由题意，得直线 AC 的解析式为：y= -x-3设 P 点坐标为（x ，x 2+2x-3） ，则点 N 的坐标为（x，-x-3） ，PN=（-x-3 ） -（x 2+2x-3）=-x 2-3xSPAC=SPAN+S PCN， 当 x=-2/3 时，S 有最大值 27/8，此时点 P 的坐
13、标为（- 3/2，- 15/4） ；（3）在 y 轴上是存在点 M，能够使得ADM 是直角三角形理由如下：y=x 2+2x-3=y=（x+1） 2-4， 顶点 D 的坐标为（ -1，-4） ，A（-3，0 ） ，AD 2=（-1+3） 2+（-4-0） 2=20设点 M 的坐标为（ 0，t） ，分三种情况进行讨论：(1)A 为直角顶点时，如图 3，由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2，即（0+3） 2+（t-0 ） 2+20=（0+1） 2+（t+4） 2，解得 t=3/2， 所以点 M 的坐标为（0，3/2 ） ；FF当 D 为直角顶点时，如图 3， 由勾股定理，得 DM2+AD2=AM2
14、，即（0+1） 2+（t+4 ） 2+20=（0+3 ） 2+（t-0 ） 2，解得 t=- 7/2， 所以点 M 的坐标为（0，- 7/2） ；当 M 为直角顶点时，如图 3， 由勾股定理，得 AM2+DM2=AD2，即（0+3） 2+（t-0） 2+（0+1） 2+（t+4） 2=20，解得 t=-1 或-3 ， 所以点 M 的坐标为（0，-1）或（ 0，-3） ；综上可知，在 y 轴上存在点 M，能够使得ADM 是直角三角形，此时点 M 的坐标为（0，3/2）或（0，- 7/2）或（0，-1）或（0，-3） 例 3、如图，抛物线 2xk与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（
15、0， 3） 在抛物线上求点 Q，使BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形分析：定解法：有 45可以考虑几何法。代数法虽然可以，但求解太麻烦，还有四次方。解法 1：（1）：BCQ=90；作 QFy 轴因为：OC=OB=3, OBC 为等腰直角三角形。所以：OCB=45；FCQ=45 。则 QF=CF.设 Q（x, x2-2x-3） ，则 -（x 2-2x-3）-3=x ，解得： 舍 去 ）(0;12x所以 Q(1, -4)（2）：CBQ=90 ；作 QFx 轴 易得：QBF=45；则QFB 为等腰直角三角形设 Q（m，m 2-2m-3）, m2-2m-3=3-m，解得：m1=3( 舍去） m2
16、=-2 Q(-2,5)综上所述： Q1（-2 ，5） 、Q2 （1，-4 ）解法： )3,(2x1832BC2)(xQ222 3后面利用勾股定理建立方程（过程略）解法：如图，过点 B 作 BQ1BC，交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 点 E 的坐标为（0，3） 直线 BE 的解析式为 3x 12 分由2yx，解得125xy，；=-30.， 点 Q1 的坐标为（-2，5） 13 分如图 14（4 ） ，过点 C 作 CFCB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2 CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 点 F 的
17、坐标为（-3，0 ） 直线 CF 的解析式为 3y 14 分由23yx，解得103xy， ；=-214， -点 Q2 的坐标为（1，-4） 综上，在抛物线上存在点 Q1（-2，5） 、Q2（1，-4 ） ，使BCQ1、BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三角形点睛：（）解法 1 在设点的坐标时，要考虑长度转化为坐标时，坐标所处的象限。（）解法：关键抓住点是直线和抛物线的交点，所以可以联立两个解析式求交点坐标。（值得学习的一种求交点的方法。 ）例 4、 （东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（1，0） ，如图所示，抛物线 y
18、=ax2-ax-2 经过点 B（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，BCD+ACO=90，AC0+ OAC=90 ， BCD=CAO ，又BDC=COA=90 ，CB=AC， BDCCOA ，BD=OC=1，CD=OA=2，点 B 的坐标为（3，1） ；（2）抛物线 y=ax2-ax-2 过点 B（3，1） ，1=9a-3a-2 ，解得：a=1，抛物线的解析式为 y=x2-x-2；（
19、3）假设存在点 P，使得ACP 是等腰直角三角形，若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点，则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1Mx 轴，如图（1） ，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90 ，MP1C DBC，CM=CD=2 ，P1M=BD=1 ，P1（-1，-1） ，经检验点 P1 在抛物线 y=x2-x-2 上；若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2Ny 轴，如图（ 2） ，同理可证AP 2NCAO，NP 2=OA=2，AN=OC=1，P2（-2，1 ） ，经检验 P2（-2 ，1）也在抛物线 y=x2-x-2 上；若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3CA，且使得 AP3=AC，得到等腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作 P3Hy 轴，如图（ 3） ，同理可证AP3H CAO ， HP3=OA=2 ，AH=OC=1，P3（2，3） ，经检验 P3（2，3）不在抛物线 y=x2-x-2 上；故符合条件的点有 P1（-1，-1） ，P2（-2，1）两点
